теорияtheory/00/математический анализmathematical analysis

00.1 — Письменный, «Конспект лекций по высшей математике»00.1 — Pismenny, «Lecture Notes on Higher Mathematics»

Математический анализMathematical analysis

Конспект по изданию Д. Т. Письменного, дополненный авторским разбором: интуиция, связи между темами, разделы «Грабли», расширенные примеры. Главы I–IV (линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве) заполнены полностью.Notes based on D. T. Pismenny's textbook, extended with original commentary: intuition, cross-topic connections, "Gotchas" sections, expanded worked examples. Chapters I–IV (linear algebra, vector algebra, analytic geometry in the plane and in space) are fully filled in.

Глава I. Элементы линейной алгебрыChapter I. Elements of linear algebra

§1 МатрицыMatrices
1.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 1.2 Действия над матрицамиOperations on matricesзаполненоfilled in
§2 ОпределителиDeterminants
2.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 2.2 Свойства определителейProperties of determinantsзаполненоfilled in
§3 Невырожденные матрицыNon-singular matrices
3.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 3.2 Обратная матрицаInverse matrixзаполненоfilled in 3.3 Ранг матрицыRank of a matrixзаполненоfilled in
§4 Системы линейных уравненийSystems of linear equations
4.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 4.2 Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–КапеллиSolving systems of linear equations. The Kronecker–Capelli theoremзаполненоfilled in 4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы КрамераSolving non-singular linear systems. Cramer's ruleзаполненоfilled in 4.4 Решение систем линейных уравнений методом ГауссаSolving systems of linear equations by the Gauss methodзаполненоfilled in 4.5 Системы линейных однородных уравненийHomogeneous systems of linear equationsзаполненоfilled in

Глава II. Элементы векторной алгебрыChapter II. Elements of vector algebra

§5 ВекторыVectors
5.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 5.2 Линейные операции над векторамиLinear operations on vectorsзаполненоfilled in 5.3 Проекция вектора на осьProjection of a vector onto an axisзаполненоfilled in 5.4 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусыDecomposition of a vector along coordinate-axis unit vectors. Magnitude of a vector. Direction cosinesзаполненоfilled in 5.5 Действия над векторами, заданными проекциямиOperations on vectors given by their projectionsзаполненоfilled in
§6 Скалярное произведение векторов и его свойстваThe dot product of vectors and its properties
6.1 Определение скалярного произведенияDefinition of the dot productзаполненоfilled in 6.2 Свойства скалярного произведенияProperties of the dot productзаполненоfilled in 6.3 Выражение скалярного произведения через координатыExpressing the dot product via coordinatesзаполненоfilled in 6.4 Некоторые приложения скалярного произведенияSome applications of the dot productзаполненоfilled in
§7 Векторное произведение векторов и его свойстваThe cross product of vectors and its properties
7.1 Определение векторного произведенияDefinition of the cross productзаполненоfilled in 7.2 Свойства векторного произведенияProperties of the cross productзаполненоfilled in 7.3 Выражение векторного произведения через координатыExpressing the cross product via coordinatesзаполненоfilled in 7.4 Некоторые приложения векторного произведенияSome applications of the cross productзаполненоfilled in
§8 Смешанное произведение векторовThe scalar triple product of vectors
8.1 Определение смешанного произведения, его геометрический смыслDefinition of the scalar triple product, its geometric meaningзаполненоfilled in 8.2 Свойства смешанного произведенияProperties of the scalar triple productзаполненоfilled in 8.3 Выражение смешанного произведения через координатыExpressing the scalar triple product via coordinatesзаполненоfilled in 8.4 Некоторые приложения смешанного произведенияSome applications of the scalar triple productзаполненоfilled in

Глава III. Аналитическая геометрия на плоскостиChapter III. Analytic geometry in the plane

§9 Система координат на плоскостиThe coordinate system in the plane
9.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 9.2 Основные приложения метода координат на плоскостиBasic applications of the coordinate method in the planeзаполненоfilled in 9.3 Преобразование системы координатTransformation of the coordinate systemзаполненоfilled in
§10 Линии на плоскостиCurves in the plane
10.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 10.2 Уравнения прямой на плоскостиEquations of a line in the planeзаполненоfilled in 10.3 Прямая линия на плоскости. Основные задачиA straight line in the plane. Basic problemsзаполненоfilled in
§11 Линии второго порядка на плоскостиSecond-order curves in the plane
11.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 11.2 ОкружностьThe circleзаполненоfilled in 11.3 ЭллипсThe ellipseзаполненоfilled in 11.4 ГиперболаThe hyperbolaзаполненоfilled in 11.5 ПараболаThe parabolaзаполненоfilled in 11.6 Общее уравнение линий второго порядкаThe general equation of second-order curvesзаполненоfilled in

Глава IV. Аналитическая геометрия в пространствеChapter IV. Analytic geometry in space

§12 Уравнения поверхности и линии в пространствеEquations of a surface and a curve in space
12.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 12.2 Уравнения плоскости в пространствеEquations of a plane in spaceзаполненоfilled in 12.3 Плоскость. Основные задачиThe plane. Basic problemsзаполненоfilled in 12.4 Уравнения прямой в пространствеEquations of a line in spaceзаполненоfilled in 12.5 Прямая линия в пространстве. Основные задачиA straight line in space. Basic problemsзаполненоfilled in 12.6 Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачиA line and a plane in space. Basic problemsзаполненоfilled in 12.7 Цилиндрические поверхностиCylindrical surfacesзаполненоfilled in 12.8 Поверхности вращения. Конические поверхностиSurfaces of revolution. Conical surfacesзаполненоfilled in 12.9 Канонические уравнения поверхностей второго порядкаCanonical equations of second-order surfacesзаполненоfilled in

Глава V. Введение в анализChapter V. Introduction to analysis

§13 Множества. Действительные числаSets. Real numbers
13.1 Основные понятияBasic conceptsзаполненоfilled in 13.2 Числовые множества. Множество действительных чиселNumber sets. The set of real numbersзаполненоfilled in 13.3 Числовые промежутки. Окрестность точкиNumeric intervals. The neighborhood of a pointзаполненоfilled in
§14 ФункцияFunction
14.1 Понятие функцииThe concept of a functionзаполненоfilled in 14.2 Числовые функции. График функции. Способы задания функцийNumeric functions. The graph of a function. Ways to define a functionзаполненоfilled in 14.3 Основные характеристики функцииBasic characteristics of a functionзаполненоfilled in 14.4 Обратная функцияThe inverse functionзаполненоfilled in 14.5 Сложная функцияThe composite functionзаполненоfilled in 14.6 Основные элементарные функции и их графикиBasic elementary functions and their graphsзаполненоfilled in
§15 ПоследовательностиSequences
15.1 Числовая последовательностьA numeric sequenceзаполненоfilled in 15.2 Предел числовой последовательностиThe limit of a numeric sequenceзаполненоfilled in 15.3 Предельный переход в неравенствахPassing to the limit in inequalitiesзаполненоfilled in 15.4 Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e. Натуральные логарифмыThe limit of a monotonic bounded sequence. The number e. Natural logarithmsзаполненоfilled in
§16 Предел функцииThe limit of a function
16.1 Предел функции в точкеThe limit of a function at a pointзаполненоfilled in 16.2 Односторонние пределыOne-sided limitsзаполненоfilled in 16.3 Предел функции при x → ∞The limit of a function as x → ∞заполненоfilled in 16.4 Бесконечно большая функция (б.б.ф.)An infinitely large functionзаполненоfilled in
§17 Бесконечно малые функции (б.м.ф.)Infinitely small functions
17.1 Определения и основные теоремыDefinitions and basic theoremsзаполненоfilled in 17.2 Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функциейThe relation between a function, its limit, and an infinitely small functionзаполненоfilled in 17.3 Основные теоремы о пределахBasic theorems on limitsзаполненоfilled in 17.4 Признаки существования пределовCriteria for the existence of limitsзаполненоfilled in 17.5 Первый замечательный пределThe first remarkable limitзаполненоfilled in 17.6 Второй замечательный пределThe second remarkable limitзаполненоfilled in
§18 Эквивалентные бесконечно малые функцииEquivalent infinitely small functions
18.1 Сравнение бесконечно малых функцийComparing infinitely small functionsзаполненоfilled in 18.2 Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о нихEquivalent infinitely small functions and the basic theorems on themзаполненоfilled in 18.3 Применение эквивалентных бесконечно малых функцийApplications of equivalent infinitely small functionsзаполненоfilled in
§19 Непрерывность функцийContinuity of functions
19.1 Непрерывность функции в точкеContinuity of a function at a pointзаполненоfilled in 19.2 Непрерывность функции в интервале и на отрезкеContinuity of a function on an interval and on a closed intervalзаполненоfilled in 19.3 Точки разрыва функции и их классификацияPoints of discontinuity and their classificationзаполненоfilled in 19.4 Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функцийBasic theorems on continuous functions. Continuity of elementary functionsзаполненоfilled in 19.5 Свойства функций, непрерывных на отрезкеProperties of functions continuous on a closed intervalзаполненоfilled in
§20 Производная функцииThe derivative of a function
20.1 Задачи, приводящие к понятию производнойProblems leading to the concept of a derivativeзаполненоfilled in 20.2 Определение производной; её механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривойDefinition of the derivative; its mechanical and geometric meaning. The equation of the tangent and normal to a curveзаполненоfilled in 20.3 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функцииThe relation between continuity and differentiability of a functionзаполненоfilled in 20.4 Производная суммы, разности, произведения и частного функцийThe derivative of a sum, difference, product, and quotient of functionsзаполненоfilled in 20.5 Производная сложной и обратной функцийThe derivative of a composite and an inverse functionзаполненоfilled in 20.6 Производные основных элементарных функцийDerivatives of the basic elementary functionsзаполненоfilled in 20.7 Гиперболические функции и их производныеHyperbolic functions and their derivativesзаполненоfilled in 20.8 Таблица производныхTable of derivativesзаполненоfilled in
§21 Дифференцирование неявных и параметрически заданных функцийDifferentiating implicit and parametrically defined functions
21.1 Неявно заданная функцияAn implicitly defined functionзаполненоfilled in 21.2 Функция, заданная параметрическиA parametrically defined functionзаполненоfilled in
§22 Логарифмическое дифференцированиеLogarithmic differentiation
22 Логарифмическое дифференцированиеLogarithmic differentiationзаполненоfilled in
§23 Производные высших порядковHigher-order derivatives
23.1 Производные высших порядков явно заданной функцииHigher-order derivatives of an explicitly defined functionне начатоnot started 23.2 Механический смысл производной второго порядкаThe mechanical meaning of the second-order derivativeне начатоnot started 23.3 Производные высших порядков неявно заданной функцииHigher-order derivatives of an implicitly defined functionне начатоnot started 23.4 Производные высших порядков от функций, заданных параметрическиHigher-order derivatives of parametrically defined functionsне начатоnot started
§24 Дифференциал функцииThe differential of a function
24.1 Понятие дифференциала функцииThe concept of the differential of a functionне начатоnot started 24.2 Геометрический смысл дифференциала функцииThe geometric meaning of the differential of a functionне начатоnot started 24.3 Основные теоремы о дифференциалахBasic theorems on differentialsне начатоnot started 24.4 Таблица дифференциаловTable of differentialsне начатоnot started 24.5 Применение дифференциала к приближённым вычислениямApplying the differential to approximate calculationsне начатоnot started 24.6 Дифференциалы высших порядковHigher-order differentialsне начатоnot started
§25 Исследование функций при помощи производныхInvestigating functions using derivatives
25.1 Некоторые теоремы о дифференцируемых функцияхSome theorems on differentiable functionsне начатоnot started 25.2 Правила ЛопиталяL'Hôpital's rulesне начатоnot started 25.3 Возрастание и убывание функцийIncrease and decrease of functionsне начатоnot started 25.4 Максимум и минимум функцийMaximum and minimum of functionsне начатоnot started 25.5 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезкеThe greatest and least values of a function on a closed intervalне начатоnot started 25.6 Выпуклость графика функции. Точки перегибаConvexity of a function's graph. Inflection pointsне начатоnot started 25.7 Асимптоты графика функцииAsymptotes of a function's graphне начатоnot started 25.8 Общая схема исследования функции и построения графикаThe general scheme for investigating a function and plotting its graphне начатоnot started
§26 Формула ТейлораTaylor's formula
26.1 Формула Тейлора для многочленаTaylor's formula for a polynomialне начатоnot started 26.2 Формула Тейлора для произвольной функцииTaylor's formula for an arbitrary functionне начатоnot started

статусstatus

Главы I–IV (12 параграфов, 54 пункта) заполнены полностью: линейная алгебра (§1–4), векторная алгебра (§5–8), аналитическая геометрия на плоскости (§9–11), аналитическая геометрия в пространстве (§12, включая все поверхности второго порядка). Курс по изданию Письменного, Часть I «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», закрыт полностью. Глава V «Введение в анализ» (§13–26) в работе: §13–22 (множества, функция, последовательности, предел функции, бесконечно малые функции, эквивалентные б.м.ф., непрерывность функций, производная функции, неявные/параметрические функции, логарифмическое дифференцирование) заполнены полностью (42 пункта); §23–26 (~18 пунктов) — каркас, заполняется по параграфу.Chapters I–IV (12 sections, 54 items) are fully filled in: linear algebra (§1–4), vector algebra (§5–8), analytic geometry in the plane (§9–11), analytic geometry in space (§12, including all second-order surfaces). The course per Pismenny, Part I "Analytic Geometry and Linear Algebra," is now complete. Chapter V, "Introduction to Analysis" (§13–26), is in progress: §13–22 (sets, function, sequences, the limit of a function, infinitely small functions, equivalent i.s.f.'s, continuity of functions, the derivative of a function, implicit/parametric functions, logarithmic differentiation) are fully filled in (42 items); §23–26 (~18 items) are a skeleton, being filled in section by section.