Действия над векторами, заданными проекциямиOperations on vectors given by their projections

Пусть векторы a = (a_x; a_y; a_z) и b = (b_x; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Ox, Oy, Oz, или, что то же самое, a = a_x·i + a_y·j + a_z·k, b = b_x·i + b_y·j + b_z·k.Let the vectors a = (a_x; a_y; a_z) and b = (b_x; b_y; b_z) be given by their projections onto the coordinate axes Ox, Oy, Oz, or, equivalently, a = a_x·i + a_y·j + a_z·k, b = b_x·i + b_y·j + b_z·k.

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов (свойства 2–3, см. 5.3), то можно записать:Since linear operations on vectors reduce to the corresponding linear operations on the projections of these vectors (Properties 2–3, see 5.3), one can write:

Заметьте, насколько это буквально повторяет соответствующие правила для матриц (см. 1.2: c_ij = a_ij + b_ij для сложения, b_ij = k·a_ij для умножения на число) — потому что вектор-столбец из трёх координат и есть частный случай матрицы размера 3×1, а линейные операции над матрицами определены именно поэлементно.Notice how this literally repeats the corresponding rules for matrices (see 1.2: c_ij = a_ij + b_ij for addition, b_ij = k·a_ij for scalar multiplication) — because a column vector of three coordinates is a special case of a 3×1 matrix, and linear operations on matrices are defined precisely element-wise.

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе (см. 5.1), следует, что два вектора a и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства a_x = b_x, a_y = b_y, a_z = b_z, т. е.From the definition of a vector as a directed segment that can be translated through space parallel to itself (see 5.1), it follows that two vectors a and b are equal if and only if the equalities a_x = b_x, a_y = b_y, a_z = b_z hold, i.e.

a = b  ⟺  { a_x = b_x,
             a_y = b_y,
             a_z = b_z. }

Это ещё один пример того, как «геометрическое» определение (равенство через коллинеарность + сонаправленность + равную длину, см. 5.1) превращается в чисто алгебраическую проверку — три равенства чисел вместо построения на чертеже.This is another example of how a "geometric" definition (equality via collinearity + same direction + equal length, see 5.1) turns into a purely algebraic check — three number equalities instead of a construction on a drawing.

Выясним условия коллинеарности векторов a и b, заданных своими координатами. Так как a ∥ b, то можно записать a = λ · b, где λ — некоторое число (см. свойство 1 из 5.2). То есть a_x·i + a_y·j + a_z·k = λ(b_x·i + b_y·j + b_z·k) = λb_x·i + λb_y·j + λb_z·k. Отсюда a_x = λb_x, a_y = λb_y, a_z = λb_z, т. е.Let's determine the condition for collinearity of vectors a and b given by their coordinates. Since a ∥ b, we can write a = λ · b, where λ is some number (see Property 1 from 5.2). That is, a_x·i + a_y·j + a_z·k = λ(b_x·i + b_y·j + b_z·k) = λb_x·i + λb_y·j + λb_z·k. From this a_x = λb_x, a_y = λb_y, a_z = λb_z, i.e.

a_x/b_x = a_y/b_y = a_z/b_z = λ.

Этот критерий — рабочая лошадка практических вычислений: чтобы проверить коллинеарность двух векторов, не нужно строить чертёж, достаточно вычислить (или, чаще, просто внимательно сравнить) три отношения. Обратите внимание на естественное ограничение: если какая-то координата b равна нулю, соответствующее отношение не определено в буквальном смысле — в этом случае условие коллинеарности переформулируют как равенство «крест-накрест» произведений (a_x·b_y = a_y·b_x и т. д.), избегая деления на ноль.This criterion is the workhorse of practical computation: to check whether two vectors are collinear, you don't need to draw a picture — it's enough to compute (or, more often, simply compare) three ratios. Note the natural caveat: if some coordinate of b is zero, the corresponding ratio is literally undefined — in that case the collinearity condition is restated as a cross-multiplied equality (a_x·b_y = a_y·b_x, etc.), avoiding division by zero.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки M координаты вектора OM называются координатами точки M. Вектор OM называется радиус-вектором точки M, обозначается r, т. е. OM = r. Следовательно, координаты точки — это координаты её радиус-вектора:Let a rectangular Cartesian coordinate system Oxyz be given in space. For any point M, the coordinates of the vector OM are called the coordinates of the point M. The vector OM is called the position vector of M, denoted r, i.e. OM = r. Hence, the coordinates of a point are the coordinates of its position vector:

r = (x; y; z)   или   r = x·i + y·j + z·k.

Координаты точки M записываются в виде M(x; y; z).The coordinates of a point M are written as M(x; y; z).

Найдём координаты вектора a = AB, если известны координаты точек A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2). Имеем:Let's find the coordinates of the vector a = AB, given the coordinates of points A(x1; y1; z1) and B(x2; y2; z2). We have:

AB = OB - OA = (x2·i + y2·j + z2·k) - (x1·i + y1·j + z1·k)
   = (x2 - x1)·i + (y2 - y1)·j + (z2 - z1)·k.

Эта формула завершает круг понятий, начатый в 5.1: там вектор был направленным отрезком «откуда-то куда-то», теперь у него есть точный числовой рецепт вычисления координат по координатам концов — «конец минус начало». Обратите внимание на порядок вычитания: перепутать A и B местами — значит получить вектор BA = -AB, противоположный исходному (см. определение противоположного вектора, 5.1) — частая практическая ошибка при работе с координатами вручную.This formula closes the loop of concepts started in 5.1: there, a vector was a directed segment "from somewhere to somewhere"; now it has an exact numerical recipe for computing its coordinates from the coordinates of its endpoints — "end minus start." Note the order of subtraction: swapping A and B gives the vector BA = -AB, opposite to the original (see the definition of the opposite vector, 5.1) — a common practical mistake when working with coordinates by hand.