6.1 — Глава II, §6. Скалярное произведение векторов6.1 — Chapter II, §6. The dot product of vectors
Скалярное произведение — первый в этом курсе способ «умножить» два вектора так, чтобы результатом было число, а не вектор (в отличие от векторного произведения из §7). Интуитивно это измеритель того, насколько два вектора «смотрят в одну сторону»: положительное значение — острый угол между ними, отрицательное — тупой, ноль — перпендикулярность. Именно поэтому скалярное произведение — не абстрактная формула, а универсальный инструмент проверки перпендикулярности (см. свойство 5 в 6.2) и вычисления углов (см. 6.4) без единого построения на чертеже.The dot product is the first way in this course to "multiply" two vectors so the result is a number, not a vector (unlike the cross product from §7). Intuitively, it measures how much two vectors "point the same way": a positive value means an acute angle between them, negative means obtuse, zero means perpendicular. That's exactly why the dot product isn't an abstract formula — it's a universal tool for checking perpendicularity (see Property 5 in 6.2) and computing angles (see 6.4) without a single construction on a drawing.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается a·b, (a, b). Итак, по определению,The dot product of two nonzero vectors a and b is a number equal to the product of the lengths of these vectors and the cosine of the angle between them. Denoted a·b, (a, b). So, by definition,
a · b = |a| · |b| · cos φ, (6.1)где φ = (a, b) — угол между векторами a и b.where φ = (a, b) is the angle between the vectors a and b.
Обратите внимание, насколько узко и продуманно название «скалярное»: результат этой операции — не вектор, не какой-то новый геометрический объект, а именно скаляр — обычное число, в терминах классификации величин из 5.1. Это принципиально отличает данную главу от §7, где произведение двух векторов даст вектор (векторное произведение), и от §8, где произведение трёх векторов даст снова число (смешанное произведение) — уже другим путём.Notice how narrow and deliberate the name "dot" (scalar) product is: the result of this operation isn't a vector, not some new geometric object, but exactly a scalar — an ordinary number, in the terms of the quantity classification from 5.1. This sharply distinguishes this section from §7, where the product of two vectors yields a vector (the cross product), and from §8, where the product of three vectors again yields a number (the scalar triple product) — via a different route.
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как |a|·cos φ = пр_b a, а |b|·cos φ = пр_a b (по свойству 1 проекции вектора на ось, см. 5.3 — здесь роль «оси» играет направление второго вектора), то получаем:Formula (6.1) can be given a different form. Since |a|·cos φ = proj_b a, and |b|·cos φ = proj_a b (by Property 1 of the projection of a vector onto an axis, see 5.3 — here the role of the "axis" is played by the direction of the other vector), we obtain:
ab = |a| · пр_b a = |b| · пр_a b, (6.2)т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.i.e. the dot product of two vectors equals the magnitude of one of them, multiplied by the projection of the other onto an axis directed along the first vector.
Рис. 14. Скалярное произведение через проекцию: a·b = |b|·пр_b aFig. 14. The dot product via projection: a·b = |b|·proj_b a
Формула (6.2) — не новое определение, а прямое переиспользование параграфа 5.3: скалярное произведение оказывается частным случаем «проекции», где ролью оси наделяется сам второй вектор. Это объясняет, почему свойства проекции (линейность — свойства 2–3 из 5.3) автоматически переносятся на скалярное произведение (см. свойства 2–3 в 6.2) — они, по существу, одно и то же утверждение, увиденное с разных сторон.Formula (6.2) isn't a new definition — it's a direct reuse of section 5.3: the dot product turns out to be a special case of "projection," where the role of the axis is played by the second vector itself. This explains why the properties of projection (linearity — Properties 2–3 from 5.3) automatically carry over to the dot product (see Properties 2–3 in 6.2) — they're essentially the same statement, viewed from different angles.
Пусть |a| = 4, |b| = 5, угол между ними φ = 60°. По формуле (6.1): a·b = 4·5·cos 60° = 20·(1/2) = 10. Проверим через (6.2), взяв пару ab = |a|·пр_a b (модуль вектора a, умноженный на проекцию второго вектора b на направление первого, a): пр_a b = |b|·cos φ = 5·0.5 = 2.5, откуда a·b = |a|·пр_a b = 4·2.5 = 10 — совпадает с прямым вычислением по (6.1). Формула (6.2) симметрична и допускает вторую, равносильную запись ab = |b|·пр_b a: здесь пр_b a = |a|·cos φ = 4·0.5 = 2, откуда |b|·пр_b a = 5·2 = 10 — тот же результат, только роли векторов поменяны местами. Ключевая деталь, за которой нужно следить: модуль берётся от одного вектора, а проекция — от другого, на направление первого; спутать эти роли — частая причина ошибки при использовании (6.2).Let |a| = 4, |b| = 5, with the angle between them φ = 60°. By formula (6.1): a·b = 4·5·cos 60° = 20·(1/2) = 10. Let's check via (6.2), taking the pairing ab = |a|·proj_a b (the magnitude of vector a, times the projection of the other vector b onto the direction of the first, a): proj_a b = |b|·cos φ = 5·0.5 = 2.5, giving a·b = |a|·proj_a b = 4·2.5 = 10 — matching the direct computation via (6.1). Formula (6.2) is symmetric and also allows the equivalent form ab = |b|·proj_b a: here proj_b a = |a|·cos φ = 4·0.5 = 2, giving |b|·proj_b a = 5·2 = 10 — the same result, with the vectors' roles swapped. The key detail to watch: the magnitude is taken from one vector, while the projection is taken from the other, onto the direction of the first; mixing up these roles is a common source of error when using (6.2).
Начинающие иногда ожидают, что «произведение длин» обязано быть положительным, забывая про множитель cos φ. При тупом угле (90° < φ ≤ 180°) cos φ < 0, и скалярное произведение отрицательно — это прямая аналогия со знаком проекции из 5.3 (Следствие 5.1), где направление относительно оси определяет знак, а не сама длина.Beginners sometimes expect that a "product of lengths" must be positive, forgetting the cos φ factor. For an obtuse angle (90° < φ ≤ 180°), cos φ < 0, and the dot product is negative — a direct analogue to the sign of a projection from 5.3 (Corollary 5.1), where the direction relative to the axis determines the sign, not the length itself.
Формула (6.1) буквально содержит cos φ, где φ — угол между векторами; но угол не определён, если один из векторов нулевой (у нулевого вектора нет направления, см. 5.1). На практике скалярное произведение с нулевым вектором доопределяют как 0 отдельно (согласуется с формулой через координаты, см. 6.3, где нулевые координаты автоматически дают нулевую сумму), но это отдельное соглашение, а не следствие формулы (6.1) буквально.Formula (6.1) literally contains cos φ, where φ is the angle between the vectors; but the angle is undefined if one of the vectors is zero (the zero vector has no direction, see 5.1). In practice, the dot product with the zero vector is separately defined as 0 (consistent with the coordinate formula, see 6.3, where zero coordinates automatically give a zero sum), but that's a separate convention, not a literal consequence of formula (6.1).
источникsource
Определение скалярного произведения, формулы (6.1)–(6.2) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §6.1 «Определение скалярного произведения», с. 47. Связь с проекцией из §5.3, числовой пример и раздел «Грабли» — авторское дополнение.The definition of the dot product, formulas (6.1)–(6.2) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §6.1 "Definition of the Dot Product," p. 47. The connection to the projection from §5.3, the numerical example, and the "Gotchas" section are original additions.