5.3 — Глава II, §5. Векторы5.3 — Chapter II, §5. Vectors
Проекция — это операция, которая превращает вектор (геометрический объект «длина + направление») обратно в число, но с сохранением знака направления: положительное, если вектор «смотрит туда же», куда ось, отрицательное — если в другую сторону. Это первый мост от чистой геометрии §5.1–5.2 к координатной технике §5.4–5.5: проекции вектора на оси Ox, Oy, Oz и есть его будущие координаты. Свойство 2 этого параграфа (проекция суммы равна сумме проекций) — тот самый факт, который позволяет линейным операциям над векторами (§5.2) превратиться в линейные операции над числами (координатами) в §5.5.Projection is the operation that turns a vector (a geometric object of "length + direction") back into a number, but while preserving the sign of direction: positive if the vector "points the same way" as the axis, negative if the other way. This is the first bridge from the pure geometry of §5.1–5.2 to the coordinate technique of §5.4–5.5: the projections of a vector onto the axes Ox, Oy, Oz are exactly its future coordinates. Property 2 of this section (the projection of a sum equals the sum of the projections) is precisely the fact that lets linear operations on vectors (§5.2) turn into linear operations on numbers (coordinates) in §5.5.
Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая. Проекцией точки M на ось l называется основание M1 перпендикуляра MM1, опущенного из точки на ось. Точка M1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку M перпендикулярно оси. Если точка M лежит на оси l, то проекция точки M на ось совпадает с M.Let an axis l — i.e. a directed line — be given in space. The projection of a point M onto the axis l is the foot M1 of the perpendicular MM1 dropped from the point onto the axis. The point M1 is the intersection point of the axis l with the plane passing through M perpendicular to the axis. If the point M lies on the axis l, its projection onto the axis coincides with M.
Рис. 7. Проекция точки M на ось l — основание перпендикуляра M₁Fig. 7. The projection of a point M onto an axis l is the foot of the perpendicular M₁
Пусть AB — произвольный вектор (AB ≠ 0). Обозначим через A1 и B1 проекции на ось l соответственно начала A и конца B вектора AB и рассмотрим вектор A1B1.Let AB be an arbitrary vector (AB ≠ 0). Denote by A1 and B1 the projections onto the axis l of the start A and end B of the vector AB respectively, and consider the vector A1B1.
Рис. 8. Проекция вектора AB на ось l — вектор A₁B₁, взятый со знаком относительно направления осиFig. 8. The projection of the vector AB onto the axis l is the vector A₁B₁, taken with a sign relative to the axis direction
Проекцией вектора AB на ось l называется положительное число |A1B1|, если вектор A1B1 и ось l одинаково направлены, и отрицательное число -|A1B1|, если вектор A1B1 и ось l противоположно направлены. Если точки A1 и B1 совпадают (A1B1 = 0), то проекция вектора AB равна 0. Проекция вектора AB на ось l обозначается так: пр_l AB. Если AB = 0 или AB ⊥ l, то пр_l AB = 0.The projection of the vector AB onto the axis l is the positive number |A1B1| if the vector A1B1 and the axis l point the same way, and the negative number -|A1B1| if the vector A1B1 and the axis l point opposite ways. If the points A1 and B1 coincide (A1B1 = 0), the projection of AB is 0. The projection of the vector AB onto the axis l is denoted proj_l AB. If AB = 0 or AB ⊥ l, then proj_l AB = 0.
Угол φ между вектором a и осью l (или угол между двумя векторами) — угол, на который нужно повернуть первый вектор до совпадения по направлению со вторым (осью). Очевидно, 0 ≤ φ ≤ π.The angle φ between a vector a and an axis l (or the angle between two vectors) is the angle through which the first vector must be rotated to align in direction with the second (the axis). Clearly, 0 ≤ φ ≤ π.
Рис. 9. Угол φ между вектором a и осью l, 0 ≤ φ ≤ πFig. 9. The angle φ between a vector a and an axis l, 0 ≤ φ ≤ π
Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла φ между вектором и осью, т. е. пр_l a = |a| · cos φ.The projection of a vector a onto an axis l equals the product of the magnitude of a and the cosine of the angle φ between the vector and the axis, i.e. proj_l a = |a| · cos φ.
Доказательство разбито на три случая по величине угла φ.The proof splits into three cases based on the size of the angle φ.
Если φ = (a, l) < π/2, то пр_l a = +|a1| = |a| · cos φ. Вектор a1 (проекция на ось как вектор) сонаправлен с осью, поэтому проекция берётся со знаком «плюс», и обычная геометрия прямоугольного треугольника (катет = гипотенуза × косинус прилежащего угла) даёт формулу напрямую.If φ = (a, l) < π/2, then proj_l a = +|a1| = |a| · cos φ. The vector a1 (the projection onto the axis, as a vector) points the same way as the axis, so the projection is taken with a "plus" sign, and the ordinary geometry of a right triangle (leg = hypotenuse × cosine of the adjacent angle) gives the formula directly.
Если φ > π/2 (φ ≤ π), то пр_l a = -|a1| = -|a| · cos(π - φ) = |a| · cos φ. Здесь вектор a1 направлен против оси, поэтому берётся знак «минус»; но cos(π - φ) = -cos φ (тригонометрическое тождество для смежного угла), и поэтому -|a|·cos(π-φ) = -|a|·(-cos φ) = |a|·cos φ — та же самая формула, что и в первом случае, но теперь cos φ сам по себе отрицателен (косинус тупого угла отрицателен), и это автоматически даёт правильный знак без необходимости различать случаи в итоговой формуле.If φ > π/2 (φ ≤ π), then proj_l a = -|a1| = -|a| · cos(π - φ) = |a| · cos φ. Here the vector a1 points against the axis, so a "minus" sign is taken; but cos(π - φ) = -cos φ (a trigonometric identity for the supplementary angle), so -|a|·cos(π-φ) = -|a|·(-cos φ) = |a|·cos φ — the same formula as in the first case, except now cos φ is itself negative (the cosine of an obtuse angle is negative), which automatically yields the right sign without needing to distinguish cases in the final formula.
Если φ = π/2, то пр_l a = 0 = |a| · cos φ (так как cos(π/2) = 0) — вектор перпендикулярен оси, проекция нулевая, что согласуется с оговоркой из определения (AB ⊥ l ⇒ пр_l AB = 0).If φ = π/2, then proj_l a = 0 = |a| · cos φ (since cos(π/2) = 0) — the vector is perpendicular to the axis, the projection is zero, consistent with the caveat from the definition (AB ⊥ l ⇒ proj_l AB = 0).
Рис. 10. Острый угол φ < π/2: проекция положительна, пр_l a = |a|·cos φFig. 10. Acute angle φ < π/2: the projection is positive, proj_l a = |a|·cos φ
Красота формулы пр_l a = |a|·cos φ именно в том, что все три случая, разобранные отдельно геометрически, сливаются в одну алгебраическую формулу — знак «встроен» в знак косинуса, отдельно его отслеживать не нужно.The beauty of the formula proj_l a = |a|·cos φ is exactly that all three cases, worked out separately by geometry, collapse into one algebraic formula — the sign is "built into" the sign of the cosine, no separate tracking needed.
Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.The projection of a vector onto an axis is positive (negative) if the vector makes an acute (obtuse) angle with the axis, and equals zero if that angle is right.
Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.The projections of equal vectors onto the same axis are equal to one another.
Следствие 5.2 — прямое следствие «свободы» векторов (см. 5.1): раз равные векторы можно совместить параллельным переносом, их угол с любой фиксированной осью один и тот же, а значит, по свойству 1, и их проекции совпадают.Corollary 5.2 is a direct consequence of the "freedom" of vectors (see 5.1): since equal vectors can be made to coincide via parallel translation, their angle with any fixed axis is the same, and hence, by Property 1, so are their projections.
Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось. Пусть, например, d = a + b + c. Имеем пр_l d = |d1| = |a1| + |b1| - |c1|, т. е. пр_l(a + b + c) = пр_l a + пр_l b + пр_l c.The projection of the sum of several vectors onto the same axis equals the sum of their projections onto that axis. Let, for example, d = a + b + c. We have proj_l d = |d1| = |a1| + |b1| - |c1|, i.e. proj_l(a + b + c) = proj_l a + proj_l b + proj_l c.
Рис. 11. Проекция суммы d = a + b + c равна сумме проекций: пр_l d = пр_l a + пр_l b + пр_l cFig. 11. The projection of the sum d = a + b + c equals the sum of the projections: proj_l d = proj_l a + proj_l b + proj_l c
При умножении вектора a на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т. е. пр_l(λ · a) = λ · пр_l a. При λ > 0 имеем пр_l(λ·a) = |λa|·cos φ = λ·|a|·cos φ = λ·пр_l a (по свойству 1). При λ < 0: пр_l(λ·a) = |λa|·cos φ = -λ·|a|·(-cos φ) = λ·|a|·cos φ = λ·пр_l a. Свойство справедливо, очевидно, и при λ = 0.When a vector a is multiplied by a number λ, its projection onto an axis is also multiplied by that number, i.e. proj_l(λ · a) = λ · proj_l a. For λ > 0 we have proj_l(λ·a) = |λa|·cos φ = λ·|a|·cos φ = λ·proj_l a (by Property 1). For λ < 0: proj_l(λ·a) = |λa|·cos φ = -λ·|a|·(-cos φ) = λ·|a|·cos φ = λ·proj_l a. The property clearly also holds for λ = 0.
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов. Это утверждение — центральное для всего дальнейшего курса: свойства 2 и 3 вместе означают, что операция «взять проекцию на ось» — это линейное отображение из множества векторов в множество чисел (в терминологии, ещё не введённой явно в этом курсе, но по сути совпадающей с тем, что матрица описывает в §1: отображение, уважающее сложение и умножение на скаляр). Именно эта линейность и позволяет в 5.4–5.5 работать с координатами вектора как с обычными числами: складывать координаты при сложении векторов, умножать координаты при умножении вектора на число — вместо того чтобы каждый раз возвращаться к геометрическим построениям треугольника/параллелограмма.Thus, linear operations on vectors lead to the corresponding linear operations on the projections of those vectors. This statement is central to the entire rest of the course: Properties 2 and 3 together mean that "take the projection onto an axis" is a linear map from the set of vectors to the set of numbers (in terminology not explicitly introduced in this course, but essentially matching what a matrix describes in §1: a map that respects addition and scalar multiplication). It's exactly this linearity that lets 5.4–5.5 treat a vector's coordinates as ordinary numbers — adding coordinates when adding vectors, multiplying coordinates when scaling a vector — instead of returning to the geometric constructions of the triangle/parallelogram every time.
Легко перепутать два родственных, но разных определения в начале параграфа: проекция точки M на ось — это снова точка (M1, основание перпендикуляра), а проекция вектора AB на ось — это уже число (со знаком). Второе определение строится через первое (проекции концов вектора), но итоговый объект — принципиально другого типа.It's easy to confuse two related but distinct definitions at the start of the section: the projection of a point M onto an axis is again a point (M1, the foot of the perpendicular), while the projection of a vector AB onto an axis is a number (signed). The second definition is built from the first (the projections of the vector's endpoints), but the resulting object is a fundamentally different type.
Проекция может быть отрицательной, хотя длина вектора всегда неотрицательна (|a| ≥ 0). Это не противоречие: пр_l a = |a|·cos φ отрицательна именно потому, что cos φ < 0 при тупом угле — модуль вектора остаётся неотрицательным множителем, а знак целиком приходит от косинуса, то есть от взаимного расположения вектора и оси.A projection can be negative even though a vector's magnitude is always nonnegative (|a| ≥ 0). This isn't a contradiction: proj_l a = |a|·cos φ is negative precisely because cos φ < 0 for an obtuse angle — the magnitude remains a nonnegative factor, and the sign comes entirely from the cosine, i.e. from the mutual orientation of the vector and the axis.
источникsource
Определения (проекция точки, проекция вектора, угол между вектором и осью), Свойства 1–3 с доказательствами, Следствия 5.1–5.2 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §5.3 «Проекция вектора на ось», с. 42–43. Разбор доказательства свойства 1 по случаям, связь с линейностью и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Definitions (projection of a point, projection of a vector, angle between a vector and an axis), Properties 1–3 with proofs, Corollaries 5.1–5.2 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §5.3 "Projection of a Vector onto an Axis," pp. 42–43. The case-by-case breakdown of the proof of Property 1, the connection to linearity, and the "Gotchas" section are original additions.