5.2 — Глава II, §5. Векторы5.2 — Chapter II, §5. Vectors
«Линейные операции» — сложение, вычитание, умножение на число — это ровно тот же список, что и линейные операции над матрицами (см. 1.2), и не случайно: вектор — это, по сути, матрица-столбец (что явно оформится в 5.4–5.5), и обе алгебраические структуры подчиняются одним и тем же пяти свойствам (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность). Разница лишь в том, что здесь эти операции сначала определяются геометрически (треугольник, параллелограмм), а уже потом, в 5.5, сводятся к арифметике над координатами — тот же путь от геометрии к числу, что определитель проходит от «объёма» к формуле (см. 2.1).The "linear operations" — addition, subtraction, scalar multiplication — are exactly the same list as the linear operations on matrices (see 1.2), and that's no accident: a vector is, in essence, a column matrix (which becomes explicit in 5.4–5.5), and both algebraic structures obey the same five properties (commutativity, associativity, distributivity). The difference is that here these operations are first defined geometrically (triangle, parallelogram), and only later, in 5.5, reduced to arithmetic on coordinates — the same path from geometry to number that the determinant takes from "volume" to formula (see 2.1).
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.By linear operations on vectors we mean the operations of vector addition and subtraction, as well as multiplying a vector by a number.
Пусть a и b — два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку O и построим вектор OA = a. От точки A отложим вектор AB = b. Вектор OB, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов a и b: OB = a + b. Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.Let a and b be two arbitrary vectors. Take an arbitrary point O and construct the vector OA = a. From point A, lay off the vector AB = b. The vector OB, connecting the start of the first vector to the end of the second, is called the sum of vectors a and b: OB = a + b. This rule for adding vectors is called the triangle rule.
Рис. 2. Правило треугольника: OA = a, AB = b, OB = a + bFig. 2. The triangle rule: OA = a, AB = b, OB = a + b
Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма: отложив оба вектора a и b от общей точки O, достроить их до параллелограмма — тогда диагональ, исходящая из O, и есть сумма a + b.The sum of two vectors can also be constructed via the parallelogram rule: laying off both vectors a and b from a common point O, complete them to a parallelogram — then the diagonal emanating from O is the sum a + b.
Рис. 3. Правило параллелограмма: диагональ из общей точки O — сумма a + bFig. 3. The parallelogram rule: the diagonal from the common point O is the sum a + b
Складывать три (и более) вектора можно последовательным применением правила треугольника — конец каждого следующего вектора откладывается от конца предыдущего, и итоговая сумма — вектор, соединяющий самое первое начало с самым последним концом.Three (or more) vectors can be added by successively applying the triangle rule — each next vector is laid off from the end of the previous one, and the resulting sum is the vector connecting the very first start to the very last end.
Рис. 4. Сложение трёх векторов последовательным применением правила треугольникаFig. 4. Adding three vectors by successively applying the triangle rule
Правило параллелограмма — это буквально два треугольника, сложенных вместе: диагональ параллелограмма делит его на два треугольника, и в каждом из них применяется правило треугольника (только во втором треугольнике векторы «переставлены местами»: сначала b, потом a). Это геометрическая иллюстрация коммутативности сложения (a + b = b + a, свойство 1 ниже) ещё до того, как она сформулирована алгебраически.The parallelogram rule is literally two triangles glued together: the diagonal of the parallelogram splits it into two triangles, and the triangle rule applies in each (only in the second triangle the vectors are "swapped": first b, then a). This is a geometric illustration of the commutativity of addition (a + b = b + a, property 1 below) even before it's stated algebraically.
Под разностью векторов a и b понимается вектор c = a - b такой, что b + c = a.By the difference of vectors a and b is meant the vector c = a - b such that b + c = a.
Рис. 5. Разность c = a - b: вектор, который в сумме с b даёт aFig. 5. The difference c = a - b: the vector that, added to b, gives a
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a и b, одна направленная диагональ является суммой векторов a и b, а другая — разностью.Note that in the parallelogram built on vectors a and b, one directed diagonal is the sum of vectors a and b, while the other is the difference.
Рис. 6. Обе диагонали параллелограмма: одна — сумма a + b, другая — разность a - bFig. 6. Both diagonals of the parallelogram: one is the sum a + b, the other is the difference a - b
Можно вычитать векторы по правилу: a - b = a + (-b), т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора a с вектором, противоположным b.Vectors can be subtracted by the rule: a - b = a + (-b), i.e. subtracting vectors can be replaced by adding vector a to the vector opposite to b.
Это переформулирование — не техническая уловка, а тот же самый ход, что уже был проделан для матриц (A - B = A + (-B), см. 1.2): вместо того чтобы вводить вычитание как отдельную, новую операцию со своими правилами, её сводят к уже определённому сложению и уже определённому «противоположному элементу» — экономия аксиом, типичная для алгебры в целом.This reformulation isn't a technical trick — it's the same move already made for matrices (A - B = A + (-B), see 1.2): rather than introducing subtraction as a separate, new operation with its own rules, it's reduced to already-defined addition and an already-defined "opposite element" — an economy of axioms typical of algebra in general.
Произведением вектора a на скаляр (число) λ называется вектор λ · a, который имеет длину |λ| · |a|, коллинеарен вектору a, имеет такое же направление, как вектор a, если λ > 0, и противоположное направление, если λ < 0.The product of a vector a and a scalar (number) λ is the vector λ · a, which has length |λ| · |a|, is collinear with a, has the same direction as a if λ > 0, and the opposite direction if λ < 0.
Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:From the definition of the vector–scalar product, the following properties follow:
b = λ · a, то b ∥ a. Наоборот, если b ∥ a (a ≠ 0), то при некотором λ верно равенство b = λa;if b = λ · a, then b ∥ a. Conversely, if b ∥ a (a ≠ 0), then b = λa holds for some λ;a = |a| · a⁰, т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на его орт.always a = |a| · a⁰, i.e. every vector equals the product of its magnitude and its versor.Свойство 1 — это то самое количественное уточнение определения коллинеарности из 5.1: там коллинеарность вводилась через «лежат на одной прямой», а здесь она получает алгебраическое лицо — λ в равенстве b = λa. Заметьте асимметрию: прямое утверждение верно всегда, а обратное (существование λ по данной коллинеарности) требует a ≠ 0 — из нулевого вектора никаким λ не получить ненулевой b, но нулевой вектор коллинеарен всему по определению (см. 5.1). Свойство 2 — это ровно то разложение «длина × направление», о котором говорилось в 5.1: сейчас оно формально доказано, а не просто анонсировано.Property 1 is exactly the quantitative sharpening of the collinearity definition from 5.1: there, collinearity was introduced via "lie on the same line," and here it gets an algebraic face — the λ in b = λa. Notice the asymmetry: the forward statement always holds, but the converse (the existence of λ given collinearity) requires a ≠ 0 — no λ can turn a zero vector into a nonzero b, yet the zero vector is collinear to everything by definition (see 5.1). Property 2 is exactly the "length × direction" decomposition mentioned in 5.1: now it's formally proven, not just announced.
Если дан вектор a, то вектор 3a сонаправлен с a и втрое длиннее, а вектор -2a направлен противоположно a и вдвое длиннее. Оба коллинеарны a по определению (направление сохранено или инвертировано, но прямая та же).Given a vector a, the vector 3a points the same way as a and is three times as long, while the vector -2a points opposite to a and is twice as long. Both are collinear with a by definition (the direction is preserved or flipped, but the line is the same).
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:Linear operations on vectors have the following properties:
a + b = b + a;(a + b) + c = a + (b + c);λ1 · (λ2 · a) = λ1λ2 · a;(λ1 + λ2) · a = λ1 · a + λ2 · a;λ · (a + b) = λ · a + λ · b.Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.These properties let you carry out transformations of linear vector expressions the same way you would in ordinary algebra: swap terms, introduce parentheses, group, and factor out common factors — scalar or vector.
Список этих пяти свойств — дословное повторение свойств линейных операций над матрицами (см. 1.2, свойства 1–8 там, из которых сюда перешли пять). Это не совпадение обозначений: и матрицы, и векторы образуют одну и ту же алгебраическую структуру — векторное пространство (термин, который в этом курсе явно не вводится, но который объединяет оба объекта). Именно поэтому «правила игры» одни и те же, хотя геометрический смысл операций (треугольник, параллелограмм для векторов vs. поэлементное сложение таблиц для матриц) выглядит совершенно по-разному.This list of five properties is a verbatim repeat of the properties of linear operations on matrices (see 1.2, properties 1–8 there, five of which reappear here). This isn't a coincidence of notation: both matrices and vectors form the same algebraic structure — a vector space (a term not explicitly introduced in this course, but one that unifies both objects). That's exactly why the "rules of the game" are identical, even though the geometric meaning of the operations (triangle, parallelogram for vectors vs. element-wise addition of tables for matrices) looks completely different.
Частая ошибка новичка — попытаться сложить два вектора, отложенных от одной и той же точки, «напрямую» правилом треугольника. Правило треугольника работает только если конец первого вектора совпадает с началом второго; если оба вектора отложены из общей точки O, нужно либо перенести один из них (используя свободу векторов из 5.1), либо использовать правило параллелограмма напрямую.A common beginner mistake is trying to add two vectors laid off from the same point "directly" via the triangle rule. The triangle rule only works if the end of the first vector coincides with the start of the second; if both vectors are laid off from a common point O, you either need to translate one of them (using the freedom of vectors from 5.1) or use the parallelogram rule directly.
Модуль вектора всегда неотрицателен, поэтому длина λ · a — это |λ| · |a| (модуль λ), а не λ · |a|: при отрицательном λ «длина, умноженная на отрицательное число» была бы отрицательной, что бессмысленно. Знак λ отвечает только за направление (сонаправлен/противонаправлен), а не за длину — эти две роли часто путают.A vector's magnitude is always nonnegative, so the length of λ · a is |λ| · |a| (the absolute value of λ), not λ · |a|: for negative λ, "length times a negative number" would be negative, which is meaningless. The sign of λ only governs direction (same way / opposite way), not length — these two roles are often conflated.
источникsource
Правила треугольника и параллелограмма, определение разности и произведения на скаляр, свойства 1–5 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §5.2 «Линейные операции над векторами», с. 40–42. Связь со свойствами линейных операций над матрицами (§1.2), собственный числовой пример и раздел «Грабли» — авторское дополнение.The triangle and parallelogram rules, the definition of the difference and the scalar product, properties 1–5 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §5.2 "Linear Operations on Vectors," pp. 40–42. The connection to the properties of linear operations on matrices (§1.2), the original numerical example, and the "Gotchas" section are original additions.