Векторы. Основные понятияVectors. Basic concepts

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объём, температура, работа, масса.Quantities that are fully determined by their numerical value are called scalar. Examples of scalar quantities are: area, length, volume, temperature, work, mass.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.Other quantities, e.g. force, velocity, acceleration, are determined not only by their numerical value but also by direction. Such quantities are called vector quantities. A vector quantity is geometrically depicted using a vector.

Обратите внимание, что это разделение — не свойство математики, а свойство физического мира, которое математика вынуждена уметь описывать: сила в 10 ньютонов, приложенная вверх, и сила в 10 ньютонов, приложенная вниз, физически совершенно разные, хотя «числовое значение» у обеих одно и то же. Скаляр в принципе не может закодировать эту разницу — отсюда и необходимость в отдельном математическом объекте.Note that this split isn't a property of mathematics — it's a property of the physical world that mathematics is forced to describe: a 10-newton force pointing up and a 10-newton force pointing down are physically completely different, even though the "numerical value" of both is identical. A scalar simply cannot encode that difference — hence the need for a separate mathematical object.

Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка и обозначается |AB|. Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю, обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет.The length or magnitude of the vector AB is the length of the segment and is denoted |AB|. The zero vector — a vector whose length equals zero — is denoted 0. The zero vector has no direction.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через e. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a, называется ортом вектора a и обозначается a⁰.A vector whose length equals one is called a unit vector and is denoted e. The unit vector whose direction matches that of the vector a is called the unit vector (versor) of a and is denoted a⁰.

Идея орта заслуживает отдельного внимания: любой ненулевой вектор можно «расщепить» на две независимые характеристики — «сколько» (модуль |a|, скаляр) и «куда» (орт a⁰, единичный вектор). Позже (см. 5.4) окажется, что a = |a| · a⁰ — то есть вектор всегда есть произведение своей длины на своё направление, ни больше ни меньше. Это разложение — не просто удобная запись, а прообраз того, как в 5.4 любой вектор раскладывается по ортам координатных осей i, j, k.The idea of the versor deserves attention on its own: any nonzero vector can be "split" into two independent characteristics — "how much" (magnitude |a|, a scalar) and "which way" (versor a⁰, a unit vector). Later (see 5.4) it turns out that a = |a| · a⁰ — a vector is always the product of its length and its direction, nothing more, nothing less. This decomposition isn't just a convenient notation — it foreshadows exactly how, in 5.4, any vector is decomposed along the coordinate-axis unit vectors i, j, k.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку O пространства. Это ключевое отличие вектора от направленного отрезка как геометрической фигуры: два разных отрезка на плоскости, но с одинаковой длиной и направлением, представляют один и тот же вектор. Равные векторы называют также свободными — именно эта свобода перемещения (не путать со свободными неизвестными из §4!) и позволяет, например, в правиле треугольника (см. 5.2) откладывать второй вектор от конца первого, не заботясь о том, где именно эти векторы были «на самом деле».From the definition of vector equality it follows that a vector can be translated parallel to itself, with its start placed at any point O of space. This is the key distinction between a vector and a directed segment as a geometric figure: two different segments in the plane, but with the same length and direction, represent the same vector. Equal vectors are also called free — it's exactly this freedom to move (not to be confused with the free unknowns of §4!) that lets you, for instance, lay off the second vector from the end of the first one in the triangle rule (see 5.2), without worrying about where those vectors "actually" were.

Компланарность — понятие, специфичное именно для трёх (или более) векторов в трёхмерном пространстве: два произвольных вектора всегда компланарны (любые две прямые определяют плоскость, кроме вырожденного случая совпадения), а вот у трёх векторов есть настоящая альтернатива — «лежать в одной плоскости» или «действительно охватывать весь трёхмерный объём». Это понятие всплывёт снова и станет центральным в §8 (смешанное произведение): три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю — то есть параллелепипед, натянутый на них, схлопывается в фигуру нулевого объёма (прямая аналогия с вырожденностью матрицы через нулевой определитель, см. 2.1, 3.1).Coplanarity is a notion specific to three (or more) vectors in three-dimensional space: any two vectors are always coplanar (any two lines define a plane, except in the degenerate coincident case), but three vectors have a genuine alternative — "lie in one plane" or "actually span the full three-dimensional volume." This notion resurfaces and becomes central in §8 (the scalar triple product): three vectors are coplanar if and only if their scalar triple product is zero — i.e. the parallelepiped they span collapses into a figure of zero volume (a direct analogue of matrix singularity via a zero determinant, see 2.1, 3.1).