Системы линейных однородных уравненийSystems of linear homogeneous equations

Пусть дана система линейных однородных уравненийConsider a system of linear homogeneous equations

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0,
...........................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0.

Очевидно, что однородная система всегда совместна (r(A) = r(Ā)) — расширение столбцом из одних нулей не может изменить ранг матрицы (нулевой столбец не добавляет ни одного ненулевого минора, см. свойство 4 определителей, §2.2), она имеет нулевое (тривиальное) решение x1 = x2 = ... = xn = 0.Clearly a homogeneous system is always consistent (r(A) = r(Ā)) — augmenting by an all-zero column can't change the rank of the matrix (a zero column contributes no nonzero minor, see property 4 of determinants, §2.2), and it has the zero (trivial) solution x1 = x2 = ... = xn = 0.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?Under what conditions does a homogeneous system also have nonzero solutions?

Доказательство. Необходимость. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r ≤ n. Пусть r = n. Тогда один из миноров размера n × n отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: x_i = Δi/Δ, Δi = 0, Δ ≠ 0 (по формулам Крамера, см. 4.3, где все Δi обращаются в нуль — определитель со столбцом из одних нулей, свойство 4 определителей). Значит, других, кроме тривиального, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r < n.Proof. Necessity. Since the rank cannot exceed the size of the matrix, clearly r ≤ n. Suppose r = n. Then one of the n × n minors is nonzero. So the corresponding system of linear equations has a unique solution: x_i = Δi/Δ, Δi = 0, Δ ≠ 0 (by Cramer's rule, see 4.3, where every Δi vanishes — a determinant with an all-zero column, property 4 of determinants). So there are no solutions besides the trivial one. Hence, if a nontrivial solution exists, then r < n.

Достаточность. Пусть r < n. Тогда однородная система, будучи совместной (см. выше), является неопределённой (по теореме 4.3, см. 4.2 — ранг меньше числа неизвестных). Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения.Sufficiency. Suppose r < n. Then the homogeneous system, being consistent (as above), is indeterminate (by Theorem 4.3, see 4.2 — rank less than the number of unknowns). Hence it has infinitely many solutions, i.e. it also has nonzero solutions.

Обратите внимание на изящество этого доказательства: оно не вводит ничего нового, а просто применяет уже готовые теоремы 4.2–4.3 (см. 4.2) к частному случаю B = O. Условие «единственное решение» (теорема 4.2) для однородной системы автоматически означает «только тривиальное», а условие «бесконечно много решений» (теорема 4.3) автоматически означает «в том числе бесконечно много ненулевых».Notice the elegance of this proof: it introduces nothing new, simply applying the already-established Theorems 4.2–4.3 (see 4.2) to the special case B = O. The condition "unique solution" (Theorem 4.2) for a homogeneous system automatically means "only the trivial one," while the condition "infinitely many solutions" (Theorem 4.3) automatically means "infinitely many of them nonzero."

Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными:Consider a homogeneous system of n linear equations in n unknowns:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0,
...........................
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0.

Доказательство. Если система имеет ненулевые решения, то Δ = 0. Ибо при Δ ≠ 0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же Δ = 0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r < n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.Proof. If the system has nonzero solutions, then Δ = 0. For if Δ ≠ 0, the system has only the single, zero solution. And if Δ = 0, then the rank r of the coefficient matrix is less than the number of unknowns, i.e. r < n. Hence the system has infinitely many (nonzero) solutions.

Теорема 4.5 — это теорема 4.4, специализированная на квадратный случай, где вместо сравнения r и n можно проверить одно число: det A = 0?. Это прямое эхо теоремы существования обратной матрицы (Теорема 3.1, см. 3.2) и определения невырожденности (см. 3.1) — три, казалось бы, разных утверждения (существование A⁻¹, полнота ранга, нетривиальность решений однородной системы) на самом деле являются одним и тем же фактом, увиденным с трёх разных сторон.Theorem 4.5 is Theorem 4.4 specialized to the square case, where instead of comparing r and n, a single number can be checked: det A = 0?. This is a direct echo of the inverse-matrix existence theorem (Theorem 3.1, see 3.2) and the definition of non-singularity (see 3.1) — three seemingly different statements (the existence of A⁻¹, full rank, nontrivial solutions of a homogeneous system) turn out to be the same fact, viewed from three different angles.