4.2 — Глава I, §4. Системы линейных уравнений4.2 — Chapter I, §4. Systems of linear equations
Три теоремы этого параграфа — это, по сути, полный алгоритм классификации системы без единого её решения: сравнить два числа (ранг A и ранг Ā), потом сравнить полученный ранг с числом неизвестных — и ответ «сколько решений» готов ещё до того, как найдено хотя бы одно из них. Именно поэтому теорему Кронекера–Капелли стоит воспринимать не как абстрактный факт, а как первый диагностический шаг перед любым практическим решением системы: сначала узнать, каким будет результат, потом уже его вычислять.The three theorems in this section amount to a complete algorithm for classifying a system without solving a single equation: compare two numbers (the rank of A and the rank of Ā), then compare that rank to the number of unknowns — and the answer to "how many solutions" is ready before even one of them has been found. That's why the Kronecker–Capelli theorem is best thought of not as an abstract fact but as the first diagnostic step before actually solving any system: find out what kind of result to expect, before computing it.
Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неизвестными. Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы даёт теорема Кронекера–Капелли.Consider an arbitrary system of m linear equations in n unknowns. An exhaustive answer to the question of the system's consistency is given by the Kronecker–Capelli theorem.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы: r(A) = r(Ā). Принимаем её без доказательства.A system of linear algebraic equations is consistent if and only if the rank of the augmented matrix equals the rank of the coefficient matrix: r(A) = r(Ā). Accepted without proof.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.If the rank of a consistent system equals the number of unknowns, the system has a unique solution.
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.If the rank of a consistent system is less than the number of unknowns, the system has infinitely many solutions.
Вместе эти три теоремы — ровно та классификация из 4.1 (несовместна / определена / неопределена), только теперь выраженная числами, которые можно реально вычислить: r(A), r(Ā) и n. Заметьте логическую структуру: сначала теорема 4.1 отсекает случай «несовместна» (сравнением r(A) и r(Ā)), и только если система прошла этот фильтр, вступают теоремы 4.2–4.3, которые сравнивают уже полученный общий ранг r = r(A) = r(Ā) с числом неизвестных n. Пропустить первый шаг и сразу сравнивать r(A) с n — частая ошибка, ведущая к неверному выводу для несовместных систем (см. «Грабли»).Together, these three theorems are exactly the classification from 4.1 (inconsistent / determinate / indeterminate), now expressed through numbers you can actually compute: r(A), r(Ā), and n. Notice the logical structure: theorem 4.1 first rules out the "inconsistent" case (by comparing r(A) and r(Ā)), and only once the system passes that filter do theorems 4.2–4.3 kick in, comparing the now-common rank r = r(A) = r(Ā) against the number of unknowns n. Skipping the first step and jumping straight to comparing r(A) with n is a common mistake, leading to a wrong conclusion for inconsistent systems (see "Gotchas").
1) Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A) ≠ r(Ā), то система несовместна.
2) Если r(A) = r(Ā) = r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n - r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
3) Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
4) Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.1) Find the ranks of the coefficient and augmented matrices. If r(A) ≠ r(Ā), the system is inconsistent.
2) If r(A) = r(Ā) = r, the system is consistent. Find any basis minor of order r. Keep the r equations whose coefficients make up the basis minor (discard the rest). The unknowns whose coefficients enter the basis minor are called leading (basic) and are kept on the left; the remaining n - r unknowns are called free and are moved to the right-hand sides.
3) Express the leading unknowns in terms of the free ones. This gives the general solution of the system.
4) Assigning arbitrary values to the free unknowns yields the corresponding values of the leading unknowns. This is how particular solutions of the original system are found.
Исследовать на совместность системуTest the following system for consistency
x + y = 1,
3x + 3y = -2.Решение. Шаг 1 — ранг основной матрицы. Основная матрица системы (коэффициенты при x и y, без столбца свободных членов):Solution. Step 1 — the rank of the coefficient matrix. The coefficient matrix of the system (the coefficients of x and y, without the column of constants):
A = | 1 1 |
| 3 3 |Вычисляем минор 2-го порядка (единственный минор максимального возможного порядка для матрицы 2×2): det A = 1·3 - 3·1 = 3 - 3 = 0. Он нулевой — значит, ранга 2 у этой матрицы нет. Пробуем минор 1-го порядка — берём любой ненулевой элемент, например a11 = 1 ≠ 0. Значит, r(A) = 1 (наибольший порядок ненулевого минора — первый). Действительно, вторая строка (3, 3) пропорциональна первой (1, 1) с коэффициентом 3 — по свойству 4 определителей (§2.2) это и объясняет, почему минор 2-го порядка обнулился.Compute the 2nd-order minor (the only maximal-order minor for a 2×2 matrix): det A = 1·3 - 3·1 = 3 - 3 = 0. It's zero — so this matrix has no rank-2 minor. Try a 1st-order minor — take any nonzero element, e.g. a11 = 1 ≠ 0. So r(A) = 1 (the largest order of a nonzero minor is the first). Indeed, the second row (3, 3) is proportional to the first (1, 1) with coefficient 3 — by property 4 of determinants (§2.2), this is exactly why the 2nd-order minor vanished.
Шаг 2 — ранг расширенной матрицы. Расширенная матрица добавляет столбец свободных членов (1, -2):Step 2 — the rank of the augmented matrix. The augmented matrix adds the column of constants (1, -2):
Ā = | 1 1 1 |
| 3 3 -2 |Матрица 2×3, значит min(m,n) = 2 — пробуем найти ненулевой минор 2-го порядка. Первые два столбца дают тот же вырожденный минор, что и в шаге 1 (он не изменился — расширение не трогает эти столбцы). Пробуем столбцы 1 и 3:A 2×3 matrix, so min(m,n) = 2 — let's look for a nonzero 2nd-order minor. Columns 1 and 2 give the same degenerate minor as in step 1 (unchanged — augmenting doesn't touch these columns). Try columns 1 and 3:
Δ = | 1 1 |
| 3 -2 | = 1·(-2) - 3·1 = -2 - 3 = -5 ≠ 0.Ненулевой минор 2-го порядка найден — значит, r(Ā) = 2.A nonzero 2nd-order minor is found — so r(Ā) = 2.
Шаг 3 — вывод по теореме 4.1. r(A) = 1 ≠ 2 = r(Ā). Следовательно, система несовместна.Step 3 — conclusion via Theorem 4.1. r(A) = 1 ≠ 2 = r(Ā). Therefore, the system is inconsistent.
Геометрически это две параллельные, но не совпадающие прямые на плоскости: x + y = 1 и 3x + 3y = -2, т.е. x + y = -2/3 — тот же наклон, разное «смещение», пересечения нет. Ранг расширенной матрицы «выше» ровно потому, что столбец свободных членов вносит независимую информацию, которую строки основной матрицы объяснить уже не могут.Geometrically these are two parallel but distinct lines in the plane: x + y = 1 and 3x + 3y = -2, i.e. x + y = -2/3 — the same slope, a different "offset," no intersection. The augmented matrix's rank is "higher" precisely because the column of constants introduces independent information that the rows of the coefficient matrix can no longer account for.
Решить системуSolve the system
x1 - 2x2 + x3 + x4 = 1,
x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1,
x1 - 2x2 + x3 + 3x4 = 3.Решение. Шаг 1 — ранги. Приняв на веру (проверка рангов здесь опущена автором для краткости, но по итоговому решению видно, что), r(A) = r(Ā) = 2 — совместна по теореме 4.1, а поскольку r = 2 < n = 4, по теореме 4.3 решений бесконечно много: два неизвестных будут главными, два — свободными.Solution. Step 1 — the ranks. Taking as given (the rank check itself is skipped here for brevity, but is visible from the resulting solution) that r(A) = r(Ā) = 2 — consistent by Theorem 4.1, and since r = 2 < n = 4, Theorem 4.3 guarantees infinitely many solutions: two unknowns will be leading, two will be free.
Шаг 2 — выбор базисного минора и главных неизвестных. Берём два первых уравнения (в них можно найти ненулевой минор 2-го порядка на коэффициентах при x1 и x2):Step 2 — choosing the basis minor and the leading unknowns. Take the first two equations (a nonzero 2nd-order minor can be found there among the coefficients of x1 and x2):
x1 - 2x2 + x3 + x4 = 1,
x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1.Однако определитель на столбцах x1, x2 здесь нулевой (коэффициенты при x1 и x2 одинаковы в обоих уравнениях: 1, -2 и 1, -2) — поэтому в качестве базисного минора и, соответственно, главных неизвестных берут не x1, x2, а те переменные, которые реально различают уравнения: x3 и x4. Перепишем систему, оставив x3, x4 слева, а x1, x2 перенеся направо как свободные:However, the determinant on the columns x1, x2 here is zero (the coefficients of x1 and x2 are identical in both equations: 1, -2 and 1, -2) — so the basis minor, and hence the leading unknowns, aren't x1, x2 but the variables that actually distinguish the equations: x3 and x4. Rewrite the system keeping x3, x4 on the left, moving x1, x2 to the right as free unknowns:
x3 + x4 = 1 - x1 + 2x2,
x3 - x4 = -1 - x1 + 2x2.Шаг 3 — решение по формулам Крамера относительно x3, x4. Определитель этой подсистемы по x3, x4:Step 3 — solving via Cramer's rule for x3, x4. The determinant of this subsystem in x3, x4:
Δ = | 1 1 |
| 1 -1 | = 1·(-1) - 1·1 = -1 - 1 = -2 ≠ 0.Ненулевой — можно применять формулы Крамера (см. 4.3). Заменяем первый столбец на правые части и вычисляем Δ1:Nonzero — Cramer's rule (see 4.3) applies. Replace the first column with the right-hand sides and compute Δ1:
Δ1 = | 1 - x1 + 2x2 1 |
| -1 - x1 + 2x2 -1 |
= (1 - x1 + 2x2)·(-1) - (-1 - x1 + 2x2)·1
= -1 + x1 - 2x2 - (-1 - x1 + 2x2)
= -1 + x1 - 2x2 + 1 + x1 - 2x2
= 2x1 - 4x2.Заменяем второй столбец на правые части и вычисляем Δ2:Replace the second column with the right-hand sides and compute Δ2:
Δ2 = | 1 1 - x1 + 2x2 |
| 1 -1 - x1 + 2x2 |
= 1·(-1 - x1 + 2x2) - 1·(1 - x1 + 2x2)
= -1 - x1 + 2x2 - 1 + x1 - 2x2
= -2.По формулам Крамера:By Cramer's rule:
x3 = Δ1/Δ = (2x1 - 4x2)/(-2) = -x1 + 2x2,
x4 = Δ2/Δ = -2/(-2) = 1.Следовательно, x3 = -x1 + 2x2, x4 = 1 — общее решение системы (x1 и x2 остаются свободными и принимают любые значения). Заметьте: третье уравнение исходной системы здесь не использовалось вообще — раз r(A) = 2, оно линейно выражается через первые два и не несёт новой информации (проверка: подставив общее решение в третье уравнение, оно обратится в тождество для любых x1, x2).Therefore, x3 = -x1 + 2x2, x4 = 1 is the general solution of the system (x1 and x2 remain free and can take any values). Notice: the third equation of the original system was never used at all — since r(A) = 2, it's linearly expressible through the first two and carries no new information (check: substituting the general solution into the third equation turns it into an identity for any x1, x2).
Шаг 4 — частное решение. Положив, например, x1 = 0, x2 = 0, получаем одно из частных решений: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1.Step 4 — a particular solution. Setting, for instance, x1 = 0, x2 = 0, we obtain one particular solution: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1.
Любой другой выбор x1, x2 даёт другое частное решение того же общего семейства — например, x1 = 1, x2 = 0 даёт x3 = -1, x4 = 1. Проверка (первое уравнение): 1 - 2·0 + (-1) + 1 = 1 ✓.Any other choice of x1, x2 gives a different particular solution of the same general family — e.g. x1 = 1, x2 = 0 gives x3 = -1, x4 = 1. Check (first equation): 1 - 2·0 + (-1) + 1 = 1 ✓.
В Примере 4.1 r(A) = 1 < n = 2 — формально это выглядит как условие теоремы 4.3 («бесконечно много решений»), но применять эту теорему можно только к уже совместной системе. Забыв сначала проверить теорему 4.1, легко сделать неверный вывод «решений бесконечно много» там, где на самом деле нет ни одного. Порядок проверки — не формальность, а обязательная последовательность (сначала совместность, потом единственность/множественность).In Example 4.1, r(A) = 1 < n = 2 — formally this looks like the condition of Theorem 4.3 ("infinitely many solutions"), but that theorem can only be applied to a system already known to be consistent. Forgetting to check Theorem 4.1 first, one can easily draw the wrong conclusion "infinitely many solutions" for a system that actually has none. The order of checking isn't a formality — it's a mandatory sequence (consistency first, then uniqueness/multiplicity).
В Примере 4.2 естественным кандидатом на главные неизвестные казались бы x1, x2 (они идут первыми), но конкретно в этой системе минор на их коэффициентах оказался нулевым — пришлось выбрать x3, x4. Выбор главных неизвестных диктуется тем, где реально находится ненулевой базисный минор, а не порядком, в котором переменные записаны в уравнении.In Example 4.2, x1, x2 might seem like the natural candidates for leading unknowns (they come first), but in this particular system the minor on their coefficients turned out to be zero — x3, x4 had to be chosen instead. The choice of leading unknowns is dictated by where a nonzero basis minor actually is, not by the order variables are written in the equation.
источникsource
Теоремы 4.1–4.3, правило решения произвольной системы и Примеры 4.1–4.2 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава I, §4.2 «Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли», с. 30–32. Пошаговая расшифровка вычислений в примерах и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Theorems 4.1–4.3, the rule for solving an arbitrary system, and Examples 4.1–4.2 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter I, §4.2 "Solving Systems of Linear Equations. The Kronecker–Capelli Theorem," pp. 30–32. The step-by-step breakdown of the computations in the examples and the "Gotchas" section are original additions.