4.3 — Глава I, §4. Системы линейных уравнений4.3 — Chapter I, §4. Systems of linear equations
Формулы Крамера — это не отдельный метод решения, а прямое переложение уже готового результата: раз для невырожденной A существует A⁻¹ (Теорема 3.1) и X = A⁻¹B решает систему (это буквально определение обратной матрицы), то достаточно подставить явную формулу A⁻¹ = A*/det A из 3.2 и увидеть, что каждая компонента x_i сама оказывается отношением двух определителей. Красота в том, что вся «новая» работа этого параграфа — заметить, что числитель A_i1b_1 + A_i2b_2 + ... совпадает с разложением определителя матрицы, где i-й столбец A заменён на B (свойство 7 из §2.2).Cramer's rule isn't a separate solution method — it's a direct repackaging of an already-established result: since a non-singular A has an inverse A⁻¹ (Theorem 3.1) and X = A⁻¹B solves the system (that's literally the definition of the inverse), substituting the explicit formula A⁻¹ = A*/det A from 3.2 shows that each component x_i turns out to be a ratio of two determinants. The beauty is that the only "new" work in this section is noticing that the numerator A_i1b_1 + A_i2b_2 + ... matches the row/column expansion of the determinant of the matrix obtained by replacing column i of A with B (property 7 from §2.2).
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными A · X = B, основная матрица A которой квадратная. Определитель этой матрицы Δ = det A называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.Consider a system of n linear equations in n unknowns, A · X = B, whose coefficient matrix A is square. The determinant of this matrix, Δ = det A, is called the determinant of the system. If the determinant of the system is nonzero, the system is called non-singular.
Найдём решение для случая Δ ≠ 0. Умножив обе части уравнения A · X = B слева на матрицу A⁻¹, получим A⁻¹·A·X = A⁻¹·B. Поскольку A⁻¹·A = E и E·X = X, тоLet's find the solution for the case Δ ≠ 0. Multiplying both sides of A · X = B on the left by A⁻¹, we get A⁻¹·A·X = A⁻¹·B. Since A⁻¹·A = E and E·X = X, this gives
X = A⁻¹ · B. (4.1)Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.Finding the solution via formula (4.1) is called the matrix method of solving the system.
Матричное равенство (4.1) распишем, подставив A⁻¹ = A*/Δ из 3.2:Let's expand matrix equality (4.1), substituting A⁻¹ = A*/Δ from 3.2:
| x1 | 1 | A11 A21 ... An1 | | b1 |
| x2 | = --- · | A12 A22 ... An2 | · | b2 |
| .. | Δ | ..................| | .. |
| xn | | A1n A2n ... Ann | | bn |то естьi.e.
| x1 | | (A11b1 + A21b2 + ... + An1bn)/Δ |
| x2 | = | (A12b1 + A22b2 + ... + An2bn)/Δ |
| .. | | ................................ |
| xn | | (A1nb1 + A2nb2 + ... + Annbn)/Δ |Отсюда следует, что x1 = (A11b1 + A21b2 + ... + An1bn)/Δ, ..., xn = (A1nb1 + A2nb2 + ... + Annbn)/Δ.From this it follows that x1 = (A11b1 + A21b2 + ... + An1bn)/Δ, ..., xn = (A1nb1 + A2nb2 + ... + Annbn)/Δ.
Но A11b1 + A21b2 + ... + An1bn есть разложение определителяBut A11b1 + A21b2 + ... + An1bn is the expansion of the determinant
Δ1 = | b1 a12 ... a1n |
| b2 a22 ... a2n |
| ................. |
| bn an2 ... ann |по элементам первого столбца (свойство 7, см. 2.2). Определитель Δ1 получается из определителя Δ путём замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.along the elements of the first column (property 7, see 2.2). The determinant Δ1 is obtained from the determinant Δ by replacing the first column of coefficients with the column of constants.
Итак, x1 = Δ1/Δ. Аналогично: x2 = Δ2/Δ, где Δ2 получен из Δ путём замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; x3 = Δ3/Δ, ..., xn = Δn/Δ.So, x1 = Δ1/Δ. Similarly: x2 = Δ2/Δ, where Δ2 is obtained from Δ by replacing the second column of coefficients with the column of constants; x3 = Δ3/Δ, ..., xn = Δn/Δ.
x_i = Δi/Δ, i = 1,n. (4.2)Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).So, a non-singular system of n linear equations in n unknowns has a unique solution, which can be found via the matrix method (4.1) or via Cramer's rule (4.2).
Решить системуSolve the system
2x1 - x2 = 0,
x1 + 3x2 = 7.Решение. Шаг 1 — определитель системы. Основная матрица A = (2 -1; 1 3):Solution. Step 1 — the determinant of the system. The coefficient matrix is A = (2 -1; 1 3):
Δ = | 2 -1 |
| 1 3 | = 2·3 - 1·(-1) = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7 ≠ 0.Определитель ненулевой — система невырождена, по теоремам 4.1–4.2 (см. 4.2) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.The determinant is nonzero — the system is non-singular, and by Theorems 4.1–4.2 (see 4.2) it has a unique solution, which can be found via Cramer's rule.
Шаг 2 — Δ1 (столбец свободных членов вместо первого столбца). Столбец свободных членов — (0; 7). Заменяем им первый столбец матрицы A:Step 2 — Δ1 (the column of constants replaces the first column). The column of constants is (0; 7). Replace the first column of A with it:
Δ1 = | 0 -1 |
| 7 3 | = 0·3 - 7·(-1) = 0 - (-7) = 7.Шаг 3 — Δ2 (столбец свободных членов вместо второго столбца). Заменяем столбцом (0; 7) второй столбец матрицы A:Step 3 — Δ2 (the column of constants replaces the second column). Replace the second column of A with the column (0; 7):
Δ2 = | 2 0 |
| 1 7 | = 2·7 - 1·0 = 14 - 0 = 14.Шаг 4 — применение формул Крамера.Step 4 — applying Cramer's rule.
x1 = Δ1/Δ = 7/7 = 1,
x2 = Δ2/Δ = 14/7 = 2.Значит, x1 = 1, x2 = 2.So, x1 = 1, x2 = 2.
Проверка (не входит в оригинальный текст, но полезна для контроля): подставляем в оба исходных уравнения. Первое: 2·1 - 2 = 2 - 2 = 0 ✓. Второе: 1 + 3·2 = 1 + 6 = 7 ✓. Оба уравнения обращаются в верные равенства.Check (not part of the original text, but useful for verification): substitute into both original equations. First: 2·1 - 2 = 2 - 2 = 0 ✓. Second: 1 + 3·2 = 1 + 6 = 7 ✓. Both equations hold.
Формулы Крамера сформулированы только для квадратной невырожденной системы (n уравнений, n неизвестных, det A ≠ 0). Система 3 уравнений с 2 неизвестными или 2 уравнений с 3 неизвестными формулами Крамера не решается напрямую — для неквадратных или вырожденных систем нужен общий метод из 4.2 (сравнение рангов) или метод Гаусса (см. 4.4), который работает всегда, а не только в невырожденном квадратном случае.Cramer's rule is formulated only for a square, non-singular system (n equations, n unknowns, det A ≠ 0). A system of 3 equations in 2 unknowns, or 2 equations in 3 unknowns, cannot be solved directly by Cramer's rule — non-square or singular systems require the general method from 4.2 (comparing ranks) or Gaussian elimination (see 4.4), which always works, not just in the non-singular square case.
Вычисление формул Крамера для системы n × n требует n + 1 определителей порядка n — при наивном разложении по ряду это O(n!) на каждый определитель, то есть суммарно ещё хуже, чем построение A⁻¹ через союзную матрицу (см. «Грабли» в 3.2). Библиотеки линейной алгебры никогда не используют формулы Крамера для реальных систем — это инструмент для систем 2-го/3-го порядка на бумаге и для теоретического доказательства единственности решения, а не вычислительный метод.Evaluating Cramer's rule for an n × n system requires n + 1 order-n determinants — with naive row expansion that's O(n!) per determinant, so the total is even worse than building A⁻¹ via the adjugate (see "Gotchas" in 3.2). Linear-algebra libraries never use Cramer's rule for real systems — it's a tool for 2nd/3rd-order systems on paper and for the theoretical proof of solution uniqueness, not a computational method.
источникsource
Вывод формул (4.1)–(4.2), определение определителя системы и Пример 4.3 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава I, §4.3 «Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера», с. 32–34. Пошаговая расшифровка примера, проверка и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Derivation of formulas (4.1)–(4.2), the definition of the system's determinant, and Example 4.3 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter I, §4.3 "Solving Non-Singular Linear Systems. Cramer's Rule," pp. 32–34. The step-by-step breakdown of the example, the check, and the "Gotchas" section are original additions.