3.2 — Глава I, §3. Невырожденные матрицы3.2 — Chapter I, §3. Non-singular matrices
Формула A⁻¹ = A*/det A — это прямой матричный аналог деления числа: чтобы «разделить на A» (отменить действие отображения A), нужно домножить на союзную матрицу и поделить на масштаб объёма, который A внесло. Красота доказательства теоремы 3.1 в том, что оно не постулирует эту формулу, а выводит её из свойств 7 и 8 определителя (см. 2.2) — union двух, казалось бы, разных тем (определители и обратимость) оказывается не совпадением, а прямым следствием одной и той же алгебры.The formula A⁻¹ = A*/det A is the direct matrix analogue of dividing a number: to "divide by A" (undo the action of the map A), you multiply by the adjugate matrix and divide by the volume scale factor that A introduced. The beauty of the proof of Theorem 3.1 is that it doesn't postulate this formula — it derives it from properties 7 and 8 of the determinant (see 2.2) — the union of two seemingly separate topics (determinants and invertibility) turns out to be no coincidence, but a direct consequence of the same underlying algebra.
Всякая невырожденная матрица имеет обратную.Every non-singular matrix has an inverse.
Проведём доказательство для случая матрицы 3-го порядка. ПустьLet's prove this for the case of a 3rd-order matrix. Let
A = | a11 a12 a13 |, причём det A ≠ 0.
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |Составим союзную матрицу A* и найдём произведение матриц A и A*:Form the adjugate matrix A* and compute the product of A and A*:
A* = | A11 A21 A31 |
| A12 A22 A32 |
| A13 A23 A33 |
A · A* = | a11 a12 a13 | × | A11 A21 A31 |
| a21 a22 a23 | | A12 A22 A32 |
| a31 a32 a33 | | A13 A23 A33 |
= | a11A11+a12A12+a13A13 ... a11A31+a12A32+a13A33 |
| a21A11+a22A12+a23A13 ... a21A31+a22A32+a23A33 |
| a31A11+a32A12+a33A13 ... a31A31+a32A32+a33A33 |
= | det A 0 0 | | 1 0 0 |
| 0 det A 0 | = det A · | 0 1 0 | = det A · E.
| 0 0 det A | | 0 0 1 |т. е. A · A* = det A · E (3.2). Здесь использованы свойства 7 и 8 определителей (см. 2.2): диагональные элементы результата — это в точности разложение определителя по ряду (свойство 7, отсюда det A), а все внедиагональные — суммы произведений элементов ряда на алгебраические дополнения другого ряда (свойство 8, отсюда нули).i.e. A · A* = det A · E (3.2). This uses properties 7 and 8 of determinants (see 2.2): the diagonal entries of the result are exactly the row expansion of the determinant (property 7, hence det A), while all off-diagonal entries are sums of row elements times the cofactors of a different row (property 8, hence the zeros).
Аналогично убеждаемся, что A* · A = det A · E (3.3). Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в видеSimilarly, one verifies that A* · A = det A · E (3.3). Rewrite equalities (3.2) and (3.3) as
A · (A*/det A) = E и (A*/det A) · A = E.Сравнивая с определением (3.1) из 3.1, получаемComparing with definition (3.1) from 3.1, we obtain
A⁻¹ = A*/det A, т.е. A⁻¹ = (1/det A) · | A11 A21 A31 |
| A12 A22 A32 |
| A13 A23 A33 |Отметим свойства обратной матрицы:Note the properties of the inverse matrix:
det(A⁻¹) = 1/det A;(A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹;(A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹.Свойство 1 — прямое следствие геометрии: если A растягивает объём в det A раз, обратное отображение обязано сжимать его во столько же раз обратно, то есть масштабировать на 1/det A. Свойство 2 переворачивает порядок сомножителей — тот же паттерн, что и у транспонирования произведения (см. 1.2): «раздевание» композиции всегда идёт в обратном порядке, «сначала снять последний слой».Property 1 is a direct consequence of the geometry: if A stretches volume by a factor of det A, the inverse map must shrink it back by the same factor, i.e. scale by 1/det A. Property 2 reverses the order of the factors — the same pattern as transposing a product (see 1.2): "undressing" a composition always proceeds in reverse order, "peel off the last layer first."
Найти A⁻¹, если A = (2 3; -1 1).Find A⁻¹, if A = (2 3; -1 1).
Решение. Шаг 1 — определитель. Для матрицы 2-го порядка det A = a11·a22 - a12·a21 (см. 2.1). Здесь a11 = 2, a12 = 3, a21 = -1, a22 = 1, поэтомуSolution. Step 1 — the determinant. For a 2nd-order matrix, det A = a11·a22 - a12·a21 (see 2.1). Here a11 = 2, a12 = 3, a21 = -1, a22 = 1, so
det A = 2·1 - (-1)·3 = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5 ≠ 0.Определитель ненулевой — матрица невырождена, обратная существует (Теорема 3.1).The determinant is nonzero — the matrix is non-singular, and an inverse exists (Theorem 3.1).
Шаг 2 — союзная матрица. Для матрицы 2-го порядка каждый минор m_ij — это определитель 1-го порядка, то есть просто тот единственный элемент, который остаётся после вычёркивания строки i и столбца j. Распишем все четыре алгебраических дополнения по отдельности (A_ij = (-1)^(i+j) · m_ij):Step 2 — the adjugate matrix. For a 2nd-order matrix, every minor m_ij is a 1st-order determinant — simply the single element left over after deleting row i and column j. Let's write out all four cofactors individually (A_ij = (-1)^(i+j) · m_ij):
m11 = a22 = 1 → A11 = (-1)^(1+1)·m11 = +1·1 = 1
m12 = a21 = -1 → A12 = (-1)^(1+2)·m12 = -1·(-1) = 1
m21 = a12 = 3 → A21 = (-1)^(2+1)·m21 = -1·3 = -3
m22 = a11 = 2 → A22 = (-1)^(2+2)·m22 = +1·2 = 2Союзная матрица (см. 3.1) собирается из алгебраических дополнений с транспонированием — элемент A_ij ставится на позицию (j, i):The adjugate matrix (see 3.1) is assembled from the cofactors with a transposition — the cofactor A_ij is placed at position (j, i):
A* = | A11 A21 | = | 1 -3 |
| A12 A22 | | 1 2 |Шаг 3 — обратная матрица. Подставляем в формулу A⁻¹ = A*/det A из теоремы 3.1: делим каждый элемент союзной матрицы на det A = 5:Step 3 — the inverse. Substitute into the formula A⁻¹ = A*/det A from Theorem 3.1: divide every element of the adjugate by det A = 5:
A⁻¹ = (1/5) · | 1 -3 | = | 1/5 -3/5 |
| 1 2 | | 1/5 2/5 |Шаг 4 — проверка. По определению (3.1) обратной матрицы должно выполняться A · A⁻¹ = E. Распишем произведение поэлементно:Step 4 — the check. By definition (3.1) of the inverse, A · A⁻¹ = E must hold. Let's expand the product element by element:
| 2 3 | | 1/5 -3/5 |
A·A⁻¹ =|-1 1 | · | 1/5 2/5 |
верхний левый: 2·(1/5) + 3·(1/5) = 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1
верхний правый: 2·(-3/5) + 3·(2/5) = -6/5 + 6/5 = 0
нижний левый: -1·(1/5) + 1·(1/5) = -1/5 + 1/5 = 0
нижний правый: -1·(-3/5) + 1·(2/5) = 3/5 + 2/5 = 5/5 = 1
A · A⁻¹ = | 1 0 | = E. ✓
| 0 1 |Проверка через A · A⁻¹ = E — не формальность, а дешёвая страховка от арифметической ошибки в вычислении миноров: перепроверять определение целиком гораздо надёжнее, чем пересчитывать A* заново.The check via A · A⁻¹ = E isn't a formality — it's cheap insurance against an arithmetic slip while computing the minors: re-verifying against the definition is far more reliable than recomputing A* from scratch.
Определить, при каких значениях λ существует матрица, обратная данной:Determine for which values of λ the matrix inverse to the given one exists:
A = | 1 -2 2 |
| λ 3 0 |
| 2 1 1 |Решение: всякая невырожденная матрица имеет обратную (Теорема 3.1), поэтому достаточно найти, при каких λ определитель A не обращается в нуль. Раскладываем определитель 3-го порядка по правилу треугольников/Саррюса (см. 2.1): Δ_A = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a31a22a13 - a21a12a33 - a32a23a11. Подставляем a11=1, a12=-2, a13=2, a21=λ, a22=3, a23=0, a31=2, a32=1, a33=1 и расписываем каждое из шести слагаемых по отдельности:Solution: every non-singular matrix has an inverse (Theorem 3.1), so it's enough to find for which λ the determinant of A doesn't vanish. Expand the 3rd-order determinant via the rule of triangles/Sarrus (see 2.1): Δ_A = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a31a22a13 - a21a12a33 - a32a23a11. Substitute a11=1, a12=-2, a13=2, a21=λ, a22=3, a23=0, a31=2, a32=1, a33=1 and write out each of the six terms individually:
+ a11·a22·a33 = 1·3·1 = 3
+ a12·a23·a31 = (-2)·0·2 = 0
+ a21·a32·a13 = λ·1·2 = 2λ
- a31·a22·a13 = -(2·3·2) = -12
- a21·a12·a33 = -(λ·(-2)·1) = 2λ
- a32·a23·a11 = -(1·0·1) = 0
-------
Δ_A = 3 + 0 + 2λ - 12 + 2λ + 0 = 4λ - 9.Если 4λ - 9 ≠ 0, т. е. λ ≠ 9/4, то Δ_A ≠ 0, т. е. матрица A невырожденная, имеет обратную. При λ = 9/4 (и только при этом значении) Δ_A = 0 — матрица вырождена, обратной не существует.If 4λ - 9 ≠ 0, i.e. λ ≠ 9/4, then Δ_A ≠ 0, i.e. matrix A is non-singular and has an inverse. At λ = 9/4 (and only at that value) Δ_A = 0 — the matrix is singular, no inverse exists.
Показательный пример того, что «обратимость» — не свойство отдельно взятой матрицы «вообще», а условие на параметр: вся числовая прямая λ, кроме одной-единственной точки 9/4, даёт невырожденную матрицу. Это типичная картина и для более общих задач: множество вырожденных матриц в пространстве всех матриц имеет «меру нуль» — почти любая случайно взятая матрица обратима.A vivid illustration that "invertibility" isn't a property of a single fixed matrix "in general" — it's a condition on a parameter: the entire real line of λ, except for the single point 9/4, yields a non-singular matrix. This is the typical picture for more general problems too: the set of singular matrices within the space of all matrices has "measure zero" — almost any randomly chosen matrix is invertible.
Показать, что матрица A является обратной для B, еслиShow that matrix A is the inverse of B, if
A = | 1 1 1 |, B = | 3 -3 1 |
| 1 2 3 | | -3 5 -2 |
| 1 3 6 | | 1 -2 1 |Решение: по определению (3.1), чтобы показать, что A обратна B, достаточно проверить A · B = E и B · A = E. Найдём произведение матриц A и B, расписывая каждый элемент результата c_ik как скалярное произведение i-й строки A на k-й столбец B (см. 1.2):Solution: by definition (3.1), to show that A is the inverse of B, it's enough to verify A · B = E and B · A = E. Compute the product of A and B, writing out each result entry c_ik as the dot product of row i of A with column k of B (see 1.2):
строка 1 A = (1 1 1), строка 2 A = (1 2 3), строка 3 A = (1 3 6)
столбец 1 B = (3 -3 1), столбец 2 B = (-3 5 -2), столбец 3 B = (1 -2 1)
c11 = 1·3 + 1·(-3) + 1·1 = 3 - 3 + 1 = 1
c12 = 1·(-3)+ 1·5 + 1·(-2)= -3 + 5 - 2 = 0
c13 = 1·1 + 1·(-2) + 1·1 = 1 - 2 + 1 = 0
c21 = 1·3 + 2·(-3) + 3·1 = 3 - 6 + 3 = 0
c22 = 1·(-3)+ 2·5 + 3·(-2)= -3 + 10 - 6 = 1
c23 = 1·1 + 2·(-2) + 3·1 = 1 - 4 + 3 = 0
c31 = 1·3 + 3·(-3) + 6·1 = 3 - 9 + 6 = 0
c32 = 1·(-3)+ 3·5 + 6·(-2)= -3 + 15 - 12 = 0
c33 = 1·1 + 3·(-2) + 6·1 = 1 - 6 + 6 = 1Собираем результат:Assembling the result:
A · B = | 1 0 0 |
| 0 1 0 | = E.
| 0 0 1 |Аналогично (тем же поэлементным способом, только теперь строки берутся из B, а столбцы — из A) убеждаемся, что B · A = E. Оба условия определения (3.1) выполнены. Следовательно, матрица A является обратной для B (и наоборот — B обратна для A, поскольку условие в определении симметрично).Similarly (the same element-by-element way, only now the rows come from B and the columns from A), one verifies that B · A = E. Both conditions of definition (3.1) are satisfied. Therefore, matrix A is the inverse of B (and conversely — B is the inverse of A, since the definition's condition is symmetric).
Обратите внимание: здесь не понадобилось ни вычислять определитель, ни строить союзную матрицу — проверка готовой гипотезы через определение (3.1) всегда дешевле, чем вычисление A⁻¹ «с нуля». Именно так на практике проверяют результат работы библиотечной функции обращения матрицы (например, numpy.linalg.inv) — не пересчитывая её реализацию, а перемножая вход и выход.Notice: no determinant needed to be computed, no adjugate matrix needed to be built — verifying a ready-made hypothesis via the definition (3.1) is always cheaper than computing A⁻¹ from scratch. This is exactly how one checks the output of a library matrix-inversion routine in practice (e.g. numpy.linalg.inv) — not by re-deriving its implementation, but by multiplying the input and the output together.
Формула A⁻¹ = A*/det A требует вычисления n² алгебраических дополнений, каждое — определитель порядка n-1: суммарная стоимость растёт как O(n!) — так же плохо, как наивное вычисление определителя (см. 2.2). Библиотеки линейной алгебры (LAPACK и всё, что на нём построено — NumPy, SciPy, PyTorch) никогда не обращают матрицу через союзную: вместо этого решают AX = E методом Гаусса или через LU-разложение за O(n³). Формула из этого параграфа нужна для доказательства существования и для ручных вычислений матриц 2-го/3-го порядка — не для промышленного кода.The formula A⁻¹ = A*/det A requires computing n² cofactors, each an order-(n-1) determinant: the total cost grows as O(n!) — just as bad as naive determinant computation (see 2.2). Linear-algebra libraries (LAPACK, and everything built on it — NumPy, SciPy, PyTorch) never invert a matrix via the adjugate: instead, they solve AX = E via Gaussian elimination or LU decomposition in O(n³). The formula in this section is for proving existence and for hand computations on 2nd/3rd-order matrices — not for production code.
Частая инженерная ошибка (за пределами учебной задачи) — вычислить A⁻¹, а затем найти x = A⁻¹b. Это и медленнее, и численно менее устойчиво, чем решить систему Ax = b напрямую (метод Гаусса, см. 4.4, или LU-разложение) без явного построения обратной матрицы. Явная A⁻¹ нужна, только если предстоит применить её к множеству разных b или она нужна сама по себе (например, для ковариационной матрицы в статистике).A common engineering mistake (outside the classroom) is computing A⁻¹ and then finding x = A⁻¹b. This is both slower and numerically less stable than solving Ax = b directly (Gaussian elimination, see 4.4, or LU decomposition) without ever forming the explicit inverse. An explicit A⁻¹ is only needed if it will be applied to many different b's, or if the inverse itself is the object of interest (e.g. a covariance matrix in statistics).
источникsource
Теорема 3.1, доказательство, формула обратной матрицы, свойства 1–3 и Примеры 3.1–3.3 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава I, §3.2 «Обратная матрица», с. 25–27. Связь со сложностью LU-разложения и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Theorem 3.1, its proof, the inverse-matrix formula, properties 1–3, and Examples 3.1–3.3 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter I, §3.2 "Inverse Matrix," pp. 25–27. The connection to LU-decomposition complexity and the "Gotchas" section are original additions.