3.3 — Глава I, §3. Невырожденные матрицы3.3 — Chapter I, §3. Non-singular matrices
Определитель отвечает на бинарный вопрос «обратимо или нет» и работает только для квадратных матриц. Ранг — это его обобщение на произвольные (в том числе прямоугольные) матрицы, которое отвечает на количественный вопрос: «сколько независимой информации на самом деле несёт эта матрица?». Ранг r(A) — это истинная размерность образа отображения A, и именно он (а не число строк или столбцов) определяет, сколько решений имеет система Ax = b — единственное, бесконечно много или ни одного (теорема Кронекера–Капелли, см. 4.2).The determinant answers the binary question "invertible or not" and only works for square matrices. The rank is its generalization to arbitrary (including rectangular) matrices, answering the quantitative question: "how much independent information does this matrix actually carry?" The rank r(A) is the true dimension of the image of the map A, and it — not the number of rows or columns — determines how many solutions the system Ax = b has: exactly one, infinitely many, or none (the Kronecker–Capelli theorem, see 4.2).
Рассмотрим матрицу A размера m × n. Выделим в ней k строк и k столбцов (k ≤ min(m, n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы (не путать с минором элемента из 2.2 — там речь про (n-1)-й порядок при вычёркивании одной строки/столбца, здесь — про произвольный k-й порядок при выборе k строк и столбцов из прямоугольной матрицы; это два родственных, но разных понятия под одним словом). Таких миноров можно составить C^k_m · C^k_n штук, где C^k_n = n!/(k!(n-k)!) — число сочетаний из n элементов по k.Consider a matrix A of size m × n. Pick k rows and k columns (k ≤ min(m, n)). From the elements at the intersections of the chosen rows and columns, form an order-k determinant. All such determinants are called minors of the matrix (not to be confused with the minor of an element from 2.2 — there it means the order-(n-1) determinant from deleting one row/column; here it means an arbitrary order-k determinant from choosing k rows and columns of a rectangular matrix — two related but distinct notions sharing one word). There are C^k_m · C^k_n such minors, where C^k_n = n!/(k!(n-k)!) is the number of ways to choose k out of n.
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rang A. Очевидно, что 0 ≤ r ≤ min(m, n). Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.The largest order among the nonzero minors of a given matrix is called the rank of the matrix. Denoted r, r(A), or rang A. Clearly 0 ≤ r ≤ min(m, n). A minor whose order determines the rank is called a basis minor. A matrix can have several basis minors.
Интуитивно ранг — это ответ на вопрос «сколько строк (или столбцов) матрицы на самом деле линейно независимы», то есть сколько из них несут новую информацию, а не выражаются через остальные. Матрица 3 × 4 формально имеет 3 строки, но если третья строка — это сумма первых двух, реальной, «неизбыточной» информации в ней ровно как в матрице ранга 2 — одна строка полностью предсказуема по остальным.Intuitively, the rank answers the question "how many rows (or columns) of the matrix are actually linearly independent" — i.e. how many of them carry genuinely new information rather than being expressible through the others. A 3 × 4 matrix formally has 3 rows, but if the third row is the sum of the first two, the real, "non-redundant" information in it is exactly that of a rank-2 matrix — one row is fully predictable from the rest.
Найти ранг матрицы:Find the rank of the matrix:
A = | 2 0 4 0 |
| 3 0 6 0 |
| 1 0 -3 0 |Решение. Шаг 1 — миноры 3-го порядка. Матрица имеет размер 3 × 4, значит min(m, n) = 3, и максимально возможный порядок минора — 3-й. Число строк m = 3, поэтому строки для минора 3-го порядка выбираются единственным способом — все три сразу (C^3_3 = 1); столбцы выбираются по 3 из 4 (C^3_4 = 4). Итого ровно C^3_3 · C^3_4 = 1 · 4 = 4 различных минора 3-го порядка — по одному на каждый способ выбросить один из четырёх столбцов. Распишем все четыре:Solution. Step 1 — the 3rd-order minors. The matrix is 3 × 4, so min(m, n) = 3, and the largest possible minor order is 3. With m = 3 rows, there's only one way to choose 3 rows for a 3rd-order minor — all three at once (C^3_3 = 1); columns are chosen 3 out of 4 (C^3_4 = 4). That gives exactly C^3_3 · C^3_4 = 1 · 4 = 4 distinct 3rd-order minors — one for each way of dropping one of the four columns. Let's write out all four:
вычеркнут столбец 4 (столбцы 1,2,3):
| 2 0 4 |
| 3 0 6 | = 0 — столбец 2 нулевой ⇒ определитель = 0 (свойство 4, §2.2)
| 1 0 -3 |
вычеркнут столбец 3 (столбцы 1,2,4):
| 2 0 0 |
| 3 0 0 | = 0 — столбцы 2 и 3(=4 исходной) нулевые ⇒ определитель = 0
| 1 0 0 |
вычеркнут столбец 2 (столбцы 1,3,4):
| 2 4 0 |
| 3 6 0 | = 0 — последний столбец нулевой ⇒ определитель = 0
| 1 -3 0 |
вычеркнут столбец 1 (столбцы 2,3,4):
| 0 4 0 |
| 0 6 0 | = 0 — первый столбец нулевой ⇒ определитель = 0
| 0 -3 0 |Во всех четырёх минорах 3-го порядка нашёлся хотя бы один нулевой столбец — по свойству 4 определителей (§2.2, «если ряд нулевой, определитель равен нулю» — частный случай выноса общего множителя 0 за знак определителя) каждый из них равен нулю. Дополнительно легко заметить, что столбец 3 исходной матрицы (4, 6, -3) пропорционален столбцу 1 (2, 3, 1) с коэффициентом 2 — то есть даже минор без явного нулевого столбца был бы вырожден по свойству «пропорциональные ряды» (следствие свойств 3–4, §2.2), если бы такой минор существовал в этой матрице. Поскольку столбцы 2 и 4 нулевые, а столбец 3 пропорционален столбцу 1, ни одна тройка столбцов не даёт независимую систему — что и должно было получиться, раз реально независимых столбцов здесь всего два.All four 3rd-order minors contain at least one zero column — by property 4 of determinants (§2.2, "if a row/column is zero, the determinant is zero" — a special case of pulling the common factor 0 out from under the determinant sign), each of them equals zero. It's also easy to notice that column 3 of the original matrix (4, 6, -3) is proportional to column 1 (2, 3, 1) with coefficient 2 — so even a minor without an explicit zero column would be degenerate by the "proportional rows/columns" property (a consequence of properties 3–4, §2.2), had such a minor existed in this matrix. Since columns 2 and 4 are zero and column 3 is proportional to column 1, no triple of columns yields an independent system — exactly as expected, since there are really only two independent columns here.
Шаг 2 — минор 2-го порядка. Раз все миноры 3-го порядка равны нулю, ранг меньше 3. Пробуем найти хотя бы один ненулевой минор 2-го порядка — берём строки 2, 3 и столбцы 1, 3 (пересечение с ненулевыми, непропорциональными по отдельности значениями):Step 2 — a 2nd-order minor. Since all 3rd-order minors are zero, the rank is less than 3. Let's try to find at least one nonzero 2nd-order minor — take rows 2, 3 and columns 1, 3 (an intersection with nonzero values not proportional to each other):
| 3 6 |
| 1 -3 | = 3·(-3) - 1·6 = -9 - 6 = -15 ≠ 0.Нашёлся ненулевой минор 2-го порядка — значит, ранг не меньше 2. Вместе с шагом 1 (все миноры 3-го порядка нулевые ⇒ ранг не больше 2) получаем r(A) = 2.A nonzero 2nd-order minor was found — so the rank is at least 2. Combined with step 1 (all 3rd-order minors are zero ⇒ rank at most 2), this gives r(A) = 2.
Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.The basis minor sits at the intersection of rows 2, 3 and columns 1, 3.
Отметим свойства ранга матрицы:Note the properties of matrix rank:
Свойство 3 — самое рабочее из трёх: оно означает, что ранг можно считать не перебором всех C^k_m · C^k_n миноров (что комбинаторно взрывается для больших матриц), а приведением матрицы к каноническому виду методом Гаусса (см. 1.2). Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали — на этом основан практический способ вычисления ранга: не искать «самый большой ненулевой минор» перебором, а один раз прогнать элементарные преобразования и просто посчитать оставшиеся ненулевые строки.Property 3 is the most operationally useful of the three: it means the rank can be computed not by enumerating all C^k_m · C^k_n minors (which explodes combinatorially for large matrices), but by reducing the matrix to canonical form via Gaussian elimination (see 1.2). The rank of a canonical matrix equals the number of ones on the main diagonal — this is the practical method for computing rank: don't search for "the largest nonzero minor" by brute force, run elementary transformations once and simply count the remaining nonzero rows.
Найти ранг матрицы, используя результаты Примера 1.4:Find the rank of the matrix, using the results of Example 1.4:
A = | 2 3 1 2 |
| 0 2 -1 1 |
| 4 0 5 1 |Решение: в Примере 1.4 уже было показано, чтоSolution: Example 1.4 already showed that
A ~ | 1 0 0 0 |
| 0 1 1 1 |
| 0 0 0 0 |то есть A ~ (1 0 0 0; 0 1 0 0). Таким образом, ранг матрицы A равен r(A) = 2.i.e. A ~ (1 0 0 0; 0 1 0 0). Thus, the rank of matrix A equals r(A) = 2.
Хорошая демонстрация того, что ранг и элементарные преобразования — не две отдельные темы, а один и тот же вычислительный процесс (метод Гаусса), рассматриваемый с разных сторон: в 1.2 нас интересовал канонический вид сам по себе, здесь — число ненулевых строк в нём.A good demonstration that rank and elementary transformations aren't two separate topics but the same computational process (Gaussian elimination) viewed from different angles: in 1.2 we cared about the canonical form itself, here — about the number of nonzero rows in it.
Частая ошибка — искать «ранг = число столбцов» для прямоугольной матрицы. По определению r ≤ min(m, n): у матрицы 3 × 4 ранг не может превышать 3, сколько бы линейно независимых столбцов ни казалось на первый взгляд — четвёртый столбец гарантированно линейно зависим от первых трёх, раз пространство-образ имеет размерность не выше 3.A common mistake is looking for "rank = number of columns" for a rectangular matrix. By definition, r ≤ min(m, n): a 3 × 4 matrix cannot have rank exceeding 3, no matter how many columns look linearly independent at first glance — the fourth column is guaranteed to be linearly dependent on the first three, since the image space has dimension at most 3.
Для квадратной матрицы n-го порядка условие r(A) = n (говорят «матрица полного ранга») — это не отдельный факт, а переформулировка det A ≠ 0 из 3.1 другим языком. Путать эти два эквивалентных условия как «разные проверки» — источник лишней работы: достаточно проверить любое одно из них.For a square matrix of order n, the condition r(A) = n (said to have "full rank") isn't a separate fact — it's the same statement as det A ≠ 0 from 3.1, phrased differently. Treating these two equivalent conditions as "separate checks" is a source of wasted work: checking either one suffices.
В Примере 3.4 нашёлся ненулевой минор 2-го порядка — этого одного факта недостаточно, чтобы заключить r(A) = 2: нужно ещё убедиться, что все миноры более высокого порядка (в данном случае 3-го) равны нулю. Пропуск этой проверки — самая частая ошибка при нахождении ранга «по определению».In Example 3.4, a nonzero 2nd-order minor was found — that one fact alone is not enough to conclude r(A) = 2: one must also confirm that all higher-order minors (3rd order, in this case) are zero. Skipping that check is the most common mistake when finding rank "from the definition."
источникsource
Определения (минор k-го порядка, ранг, базисный минор), свойства 1–3 и Примеры 3.4–3.5 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава I, §3.3 «Ранг матрицы», с. 27–28. Интуиция «независимой информации» и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Definitions (k-th order minor, rank, basis minor), properties 1–3, and Examples 3.4–3.5 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter I, §3.3 "Rank of a Matrix," pp. 27–28. The "independent information" intuition and the "Gotchas" section are original additions.