4.1 — Глава I, §4. Системы линейных уравнений4.1 — Chapter I, §4. Systems of linear equations
Всё, что было построено в §1–§3 (матрицы, определители, ранг), существовало ради одной практической цели — компактно записать и классифицировать системы линейных уравнений. Запись A · X = B — не просто удобное сокращение: она превращает вопрос «есть ли решение и сколько их» из анализа m отдельных уравнений в анализ одной матрицы A (точнее — её ранга, см. 4.2). Три исхода — нет решений, одно, бесконечно много — это не три случайности, а прямое следствие того, что делает отображение A с пространством.Everything built in §1–§3 (matrices, determinants, rank) existed for one practical purpose — to compactly write down and classify systems of linear equations. The notation A · X = B isn't just convenient shorthand: it turns the question "is there a solution, and how many" from analyzing m separate equations into analyzing a single matrix A (more precisely, its rank, see 4.2). The three outcomes — no solutions, one, infinitely many — aren't three accidents; they're a direct consequence of what the map A does to the space.
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система видаA system of linear algebraic equations containing m equations and n unknowns is a system of the form
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,
...........................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm,где числа a_ij (i = 1,m, j = 1,n) называются коэффициентами системы, числа b_i — свободными членами. Подлежат нахождению числа x_j.where the numbers a_ij (i = 1,m, j = 1,n) are called the coefficients of the system, and the numbers b_i are the free terms (constants). The numbers x_j are to be found.
Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме A · X = B. Здесь A — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:Such a system is conveniently written in compact matrix form as A · X = B. Here A is the matrix of coefficients of the system, called the coefficient matrix:
A = | a11 a12 ... a1n | X = | x1 | B = | b1 |
| a21 a22 ... a2n | | x2 | | b2 |
| ................ | | .. | | .. |
| am1 am2 ... amn | | xn | | bm |X — вектор-столбец из неизвестных x_j, B — вектор-столбец из свободных членов b_i. Произведение матриц A · X определено, так как в матрице A столбцов столько же, сколько строк в матрице X (n штук) — это ровно то условие согласованности размеров из 1.2, без которого запись A · X = B была бы бессмысленной.X is a column vector of the unknowns x_j, B is a column vector of the constants b_i. The product A · X is defined, since matrix A has as many columns as matrix X has rows (n of them) — exactly the dimension-matching condition from 1.2, without which the notation A · X = B would be meaningless.
Расширенной матрицей системы называется матрица Ā системы, дополненная столбцом свободных членов:The augmented matrix of the system is the matrix Ā of the system, augmented by the column of constants:
Ā = | a11 a12 ... a1n b1 |
| a21 a22 ... a2n b2 |
| ....................|
| am1 am2 ... amn bm |Разница между A и Ā — не техническая деталь: именно сравнение их рангов (см. 4.2) даёт полный ответ на вопрос, есть ли у системы решение вообще.The difference between A and Ā isn't a technicality — comparing their ranks (see 4.2) is exactly what gives the complete answer to whether the system has a solution at all.
Решением системы называется n значений неизвестных x1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение можно записать в виде матрицы-столбца C = (c1; c2; ...; cn).A solution of the system is a set of n values of the unknowns x1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn which, when substituted, turn every equation of the system into a true equality. Every solution can be written as a column matrix C = (c1; c2; ...; cn).
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.A system of equations is called consistent if it has at least one solution, and inconsistent if it has no solutions at all. A consistent system is called determinate if it has a unique solution, and indeterminate if it has more than one solution. In the latter case, each of its solutions is called a particular solution of the system. The collection of all particular solutions is called the general solution.
Эти три термина (несовместна / совместна и определена / совместна и неопределена) — исчерпывающая классификация: любая система линейных уравнений попадает ровно в одну из трёх категорий, четвёртой не существует. В частности, у линейной системы не бывает «ровно двух» или «ровно пяти» решений — либо одно, либо ноль, либо бесконечно много. Это резко отличает линейные системы от нелинейных (скажем, квадратное уравнение может иметь ровно 0, 1 или 2 решения) и является прямым следствием линейности: если x и y — два разных решения Ax = b, то любая точка отрезка между ними тоже решение (см. 4.5, где это доказывается явно для однородного случая).These three terms (inconsistent / consistent and determinate / consistent and indeterminate) form an exhaustive classification: every system of linear equations falls into exactly one of the three categories — there's no fourth. In particular, a linear system never has "exactly two" or "exactly five" solutions — it's either one, zero, or infinitely many. This sharply distinguishes linear systems from nonlinear ones (a quadratic equation, say, can have exactly 0, 1, or 2 solutions) and is a direct consequence of linearity: if x and y are two different solutions of Ax = b, then every point on the segment between them is also a solution (see 4.5, where this is proven explicitly for the homogeneous case).
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти её общее решение.To solve a system means to determine whether it is consistent or inconsistent. If the system is consistent, find its general solution.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.Two systems are called equivalent if they have the same general solution. In other words, systems are equivalent if every solution of one is a solution of the other, and vice versa. Equivalent systems arise, in particular, from elementary transformations of the system, provided the transformations are applied only to the rows of the matrix.
Это утверждение — фундамент метода Гаусса (см. 4.4): элементарные преобразования, введённые ещё в 1.2 для матриц вообще, здесь получают конкретный практический смысл — переход от системы к эквивалентной, но более простой (ступенчатой), не теряя и не приобретая решений по пути.This statement is the foundation of Gaussian elimination (see 4.4): the elementary transformations introduced back in 1.2 for matrices in general acquire a concrete practical meaning here — moving from a system to an equivalent, simpler (row-echelon) one, without losing or gaining solutions along the way.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю (B = O):A system of linear equations is called homogeneous if all the constants are zero (B = O):
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0,
...........................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0.Однородная система всегда совместна, так как x1 = x2 = ... = xn = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.A homogeneous system is always consistent, since x1 = x2 = ... = xn = 0 is a solution of the system. This solution is called the zero solution or the trivial solution.
Обратите внимание: для однородной системы вопрос «несовместна ли она» никогда не встаёт — весь интерес смещается на другой вопрос, который в общем случае даже не задаётся: «есть ли нетривиальные (ненулевые) решения, помимо очевидного нулевого?» Ответ на него — предмет отдельного разбора в 4.5, и он напрямую завязан на ранг матрицы A в сравнении с числом неизвестных.Notice: for a homogeneous system, the question "is it inconsistent" never even arises — all the interest shifts to a different question, one that doesn't even get asked in the general case: "are there nontrivial (nonzero) solutions besides the obvious zero one?" The answer to that is the subject of a separate discussion in 4.5, and it hinges directly on the rank of matrix A compared to the number of unknowns.
Термин «неопределённая система» пугает новичков словом «не», как будто система не поддаётся решению. На самом деле неопределённость означает ровно противоположное — решений слишком много (бесконечно много), и задача решения сводится к тому, чтобы явно параметризовать всё это множество (общее решение через свободные неизвестные, см. 4.2/4.4), а не найти единственный ответ.The term "indeterminate system" scares beginners with that "in-", as if the system defies solving. In fact, indeterminacy means exactly the opposite — there are too many solutions (infinitely many), and the task of "solving" reduces to explicitly parameterizing that entire set (the general solution via free unknowns, see 4.2/4.4), rather than finding a single answer.
Интуиция «столько же уравнений, сколько неизвестных — решение единственно» верна только при дополнительном условии невырожденности основной матрицы (det A ≠ 0, см. 4.3). Квадратная система с вырожденной A может быть как несовместной, так и неопределённой — число уравнений само по себе ничего не гарантирует, гарантирует только ранг (см. 4.2).The intuition "as many equations as unknowns ⇒ unique solution" only holds under the extra condition that the coefficient matrix is non-singular (det A ≠ 0, see 4.3). A square system with a singular A can be either inconsistent or indeterminate — the number of equations alone guarantees nothing; only the rank does (see 4.2).
источникsource
Определения (система, матричная форма, расширенная матрица, совместность/определённость, эквивалентность, однородная система) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава I, §4.1 «Основные понятия», с. 29–30. Интуиция «трёх исходов» и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Definitions (system, matrix form, augmented matrix, consistency/determinacy, equivalence, homogeneous system) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter I, §4.1 "Basic Concepts," pp. 29–30. The "three outcomes" intuition and the "Gotchas" section are original additions.