Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусыDecomposition of a vector along coordinate-axis unit vectors. Magnitude of a vector. Direction cosines

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i, j, k соответственно.Consider a rectangular coordinate system Oxyz in space. On the coordinate axes Ox, Oy, and Oz, mark off the unit vectors, denoted i, j, k respectively.

Выберем произвольный вектор a пространства и совместим его начало с началом координат: a = OM. Найдём проекции вектора a на координатные оси. Проведём через конец вектора OM плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через M1, M2 и M3. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор OM. Тогда пр_x a = |OM1|, пр_y a = |OM2|, пр_z a = |OM3|. По определению суммы нескольких векторов находим a = OM1 + M1N + NM. А так как M1N = OM2, NM = OM3, тоChoose an arbitrary vector a in space and place its start at the origin: a = OM. Find the projections of a onto the coordinate axes. Through the endpoint of OM, draw planes parallel to the coordinate planes. Denote the intersection points of these planes with the axes by M1, M2, and M3. This yields a rectangular parallelepiped, one of whose diagonals is the vector OM. Then proj_x a = |OM1|, proj_y a = |OM2|, proj_z a = |OM3|. By the definition of the sum of several vectors, a = OM1 + M1N + NM. And since M1N = OM2, NM = OM3, this gives

a = OM1 + OM2 + OM3.   (5.1)

НоBut

OM1 = |OM1| · i,   OM2 = |OM2| · j,   OM3 = |OM3| · k.   (5.2)

Обозначим проекции вектора a = OM на оси Ox, Oy и Oz соответственно через a_x, a_y, a_z, т. е. |OM1| = a_x, |OM2| = a_y, |OM3| = a_z. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаемDenote the projections of the vector a = OM onto the axes Ox, Oy, Oz by a_x, a_y, a_z respectively, i.e. |OM1| = a_x, |OM2| = a_y, |OM3| = a_z. Then from equalities (5.1) and (5.2) we obtain

a = a_x·i + a_y·j + a_z·k.   (5.3)

Обратите внимание на элегантность вывода: он не постулирует разложение, а строит его из уже готовых кирпичей — суммы трёх векторов (правило треугольника из 5.2, применённое дважды подряд) и определения проекции как коэффициента при орте (5.3). Ничего принципиально нового не вводится — просто три предыдущих параграфа (5.1–5.3) складываются вместе в одну финальную формулу.Notice the elegance of the derivation: it doesn't postulate the decomposition, it builds it from already-available pieces — the sum of three vectors (the triangle rule from 5.2, applied twice in a row) and the definition of projection as the coefficient of a unit vector (5.3). Nothing fundamentally new is introduced — the previous three sections (5.1–5.3) simply combine into one final formula.

Зная проекции вектора a, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать |OM|² = |OM1|² + |OM2|² + |OM3|², т. е.Knowing the projections of the vector a, the expression for its magnitude follows easily. Based on the theorem for the length of the diagonal of a rectangular parallelepiped, one can write |OM|² = |OM1|² + |OM2|² + |OM3|², i.e.

|a|² = a_x² + a_y² + a_z².   (5.4)

ОтсюдаFrom this

|a| = √(a_x² + a_y² + a_z²),

Формула (5.4) — не что иное, как теорема Пифагора, применённая дважды подряд (сначала в основании параллелепипеда, к a_x и a_y, затем к результату и a_z по вертикали) — этот же приём естественным образом обобщается на любую размерность и является геометрическим прообразом евклидовой нормы вектора в линейной алгебре и анализе данных.Formula (5.4) is nothing other than the Pythagorean theorem applied twice in a row (first in the base of the parallelepiped, to a_x and a_y, then to the result and a_z vertically) — the same trick generalizes naturally to any dimension and is the geometric ancestor of the Euclidean norm of a vector in linear algebra and data analysis.

Пусть углы вектора a с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось (свойство 1, см. 5.3) имеемLet the angles of the vector a with the axes Ox, Oy, and Oz be α, β, γ respectively. By the property of the projection of a vector onto an axis (Property 1, see 5.3),

a_x = |a| · cos α,   a_y = |a| · cos β,   a_z = |a| · cos γ.   (5.5)

Или, что то же самое,Or, equivalently,

cos α = a_x/|a|,   cos β = a_y/|a|,   cos γ = a_z/|a|.

Числа cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора a.The numbers cos α, cos β, cos γ are called the direction cosines of the vector a.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получимSubstituting expressions (5.5) into equality (5.4), we get

|a|² = |a|²·cos²α + |a|²·cos²β + |a|²·cos²γ.

Сократив на |a|² ≠ 0, получим соотношениеDividing by |a|² ≠ 0, we obtain the relation

cos²α + cos²β + cos²γ = 1,

Легко заметить, что координатами единичного вектора e являются числа cos α, cos β, cos γ, т. е. e = (cos α; cos β; cos γ). Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.It's easy to see that the coordinates of the unit vector e are the numbers cos α, cos β, cos γ, i.e. e = (cos α; cos β; cos γ). So, given the coordinates of a vector, one can always determine its magnitude and direction — i.e. the vector itself.

Это тождество — тот же самый факт «сумма квадратов направляющих косинусов = 1», что уже неявно присутствовал в 5.1 через равенство a = |a|·a⁰: орт a⁰ — это в точности вектор с координатами (cos α, cos β, cos γ), а условие «единичный вектор» (модуль равен 1) через формулу (5.4), применённую к a⁰, автоматически даёт cos²α + cos²β + cos²γ = 1. Иначе говоря, направляющие косинусы — это не отдельное новое понятие, а координаты орта, которые мы уже видели раньше, только названные по-новому.This identity is the same fact — "sum of squares of direction cosines = 1" — that was already implicit in 5.1 through the equality a = |a|·a⁰: the versor a⁰ is exactly the vector with coordinates (cos α, cos β, cos γ), and the condition "unit vector" (magnitude 1), via formula (5.4) applied to a⁰, automatically gives cos²α + cos²β + cos²γ = 1. In other words, direction cosines aren't a separate new concept — they're the coordinates of the versor we've already seen before, just under a new name.