6.2 — Глава II, §6. Скалярное произведение векторов6.2 — Chapter II, §6. The dot product of vectors
Пять свойств этого параграфа делятся на две неравные по важности группы: первые три (переместительность, сочетательность, распределительность) — это «разрешение» обращаться со скалярным произведением как с обычным умножением чисел; а свойства 4–5 (скалярный квадрат = модуль в квадрате, критерий перпендикулярности через равенство нулю) — это то, ради чего скалярное произведение вообще вводилось. Именно свойство 5 в дальнейшем курсе (аналитическая геометрия, физика) используется чаще всех остальных формул этого параграфа вместе взятых: «проверить перпендикулярность» почти всегда означает «вычислить скалярное произведение и сравнить с нулём».The five properties in this section split into two groups of unequal importance: the first three (commutativity, associativity with a scalar, distributivity) "grant permission" to treat the dot product like ordinary number multiplication; while Properties 4–5 (the scalar square equals the squared magnitude, the perpendicularity criterion via vanishing) are the whole reason the dot product was introduced in the first place. Property 5, in particular, gets used more throughout the rest of the course (analytic geometry, physics) than all the other formulas in this section combined: "check perpendicularity" almost always means "compute the dot product and compare it to zero."
Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab = ba.The dot product has the commutative property: ab = ba.
Доказательство: ab = |a|·|b|·cos(a,b), а ba = |b|·|a|·cos(b,a). И так как |a|·|b| = |b|·|a| (как произведение чисел) и cos(a,b) = cos(b,a) (угол между векторами не зависит от порядка, в котором их называют), то ab = ba.Proof: ab = |a|·|b|·cos(a,b), and ba = |b|·|a|·cos(b,a). Since |a|·|b| = |b|·|a| (as a product of numbers) and cos(a,b) = cos(b,a) (the angle between vectors doesn't depend on the order they're named in), we get ab = ba.
Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (λa)·b = λ(ab).The dot product has the associative property with respect to a scalar factor: (λa)·b = λ(ab).
Доказательство: (λa)b = |b|·пр_b(λa) = λ·|b|·пр_b a = λ(ab). Здесь на среднем шаге использовано свойство 3 проекции из 5.3 (пр_l(λ·a) = λ·пр_l a) — проекция вынесенного скаляра выносится точно так же, как и в обычной проекции.Proof: (λa)b = |b|·proj_b(λa) = λ·|b|·proj_b a = λ(ab). Here, the middle step uses Property 3 of projection from 5.3 (proj_l(λ·a) = λ·proj_l a) — the scalar factor is pulled out of the projection exactly as it is out of an ordinary projection.
Скалярное произведение обладает распределительным свойством: a(b + c) = ab + ac.The dot product has the distributive property: a(b + c) = ab + ac.
Доказательство: a(b + c) = |a|·пр_a(b + c) = |a|·(пр_a b + пр_a c) = |a|·пр_a b + |a|·пр_a c = ab + ac. Ключевой шаг — снова свойство проекции суммы, теперь свойство 2 из 5.3 (пр_l(a+b) = пр_l a + пр_l b).Proof: a(b + c) = |a|·proj_a(b + c) = |a|·(proj_a b + proj_a c) = |a|·proj_a b + |a|·proj_a c = ab + ac. The key step is again the projection-of-a-sum property, now Property 2 from 5.3 (proj_l(a+b) = proj_l a + proj_l b).
Обратите внимание, что доказательства всех трёх свойств не используют ничего, кроме формулы (6.2) из 6.1 и свойств проекции из 5.3 — это тот же приём «выводить, а не постулировать», что уже встречался в теореме 3.1 (обратная матрица) и теореме Кронекера–Капелли (4.2): чем больше фактов курса построено друг на друге, тем меньше независимых аксиом нужно помнить.Notice that the proofs of all three properties use nothing but formula (6.2) from 6.1 and the projection properties from 5.3 — the same "derive, don't postulate" move already seen in Theorem 3.1 (the inverse matrix) and the Kronecker–Capelli theorem (4.2): the more facts in the course are built on one another, the fewer independent axioms need to be remembered.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a² = |a|².The scalar square of a vector equals the square of its length: a² = |a|².
Доказательство: a² = a·a = |a|·|a|·cos 0 = |a|·|a|·1 = |a|² (угол вектора с самим собой равен нулю, cos 0 = 1). В частности, i² = j² = k² = 1 (орты — единичные векторы).Proof: a² = a·a = |a|·|a|·cos 0 = |a|·|a|·1 = |a|² (the angle of a vector with itself is zero, cos 0 = 1). In particular, i² = j² = k² = 1 (the unit vectors have length 1).
Если вектор a возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль |a|, т. е. √(a²) = |a| (заметьте: √(a²) ≠ a, поскольку под корнем стоит число a², а результат корня — тоже число, а не вектор).If a vector a is squared scalarly and then a square root is taken, we don't get back the original vector, but its magnitude |a|, i.e. √(a²) = |a| (note: √(a²) ≠ a, since a² under the root is a number, and the result of the root is also a number, not a vector).
Это свойство — прямой мост к формуле модуля вектора через координаты (5.4): если разложить a = a_x·i + a_y·j + a_z·k и вычислить a² = a·a, используя свойство 3 и таблицу скалярных произведений ортов (см. 6.3), в точности получится a_x² + a_y² + a_z² — то же самое выражение, что фигурировало в формуле (5.4), только полученное теперь чисто алгебраически, без обращения к теореме о диагонали параллелепипеда.This property is a direct bridge to the coordinate formula for the magnitude of a vector (5.4): expanding a = a_x·i + a_y·j + a_z·k and computing a² = a·a using Property 3 and the table of dot products of the unit vectors (see 6.3), you get exactly a_x² + a_y² + a_z² — the same expression that appeared in formula (5.4), only now obtained purely algebraically, without invoking the parallelepiped-diagonal theorem.
Найти длину вектора c = 3a - 4b, если |a| = 2, |b| = 3, (a, b) = π/3.Find the length of the vector c = 3a - 4b, if |a| = 2, |b| = 3, (a, b) = π/3.
Решение. Шаг 1 — общая идея. |c| = √(c²) (по свойству 4), поэтому достаточно вычислить скалярный квадрат c² = (3a - 4b)² и извлечь корень.Solution. Step 1 — the general idea. |c| = √(c²) (by Property 4), so it's enough to compute the scalar square c² = (3a - 4b)² and take the root.
Шаг 2 — раскрытие скалярного квадрата. Раскрываем (3a - 4b)² как обычный квадрат разности, используя свойства 1–3 (дистрибутивность и вынесение скаляров — здесь операции с векторами ведут себя буквально как с числами):Step 2 — expanding the scalar square. Expand (3a - 4b)² like an ordinary squared difference, using Properties 1–3 (distributivity and pulling out scalars — here vector operations behave literally like number operations):
c² = (3a - 4b)·(3a - 4b) = 9a² - 12ab - 12ab + 16b² = 9a² - 24ab + 16b².Шаг 3 — вычисление каждого слагаемого по отдельности.Step 3 — computing each term individually.
a² = |a|² = 2² = 4 (свойство 4)
b² = |b|² = 3² = 9 (свойство 4)
ab = |a|·|b|·cos(a,b) = 2·3·cos(π/3) = 2·3·(1/2) = 3 (определение 6.1)Шаг 4 — подстановка и вычисление.Step 4 — substitution and computation.
c² = 9·4 - 24·3 + 16·9 = 36 - 72 + 144 = 108.Шаг 5 — извлечение корня.Step 5 — taking the square root.
|c| = √108 = √(36·3) = 6√3.Итак, |c| = 6√3.So, |c| = 6√3.
Если векторы a и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ⊥ b, то ab = 0. Справедливо и обратное утверждение: если ab = 0 и a ≠ 0, b ≠ 0, то a ⊥ b.If vectors a and b (nonzero) are mutually perpendicular, their dot product equals zero, i.e. if a ⊥ b, then ab = 0. The converse also holds: if ab = 0 and a ≠ 0, b ≠ 0, then a ⊥ b.
Доказательство (прямое направление). Так как φ = (a,b) = π/2, то cos φ = cos(π/2) = 0. Следовательно, a·b = |a|·|b|·0 = 0.Proof (forward direction). Since φ = (a,b) = π/2, then cos φ = cos(π/2) = 0. Hence, a·b = |a|·|b|·0 = 0.
Доказательство (обратное направление). Если a·b = 0 и |a| ≠ 0, |b| ≠ 0, то cos(a,b) = 0 (единственный способ занулить произведение трёх ненулевых сомножителей |a|, |b|, cos φ — занулить именно косинус). Отсюда φ = (a,b) = 90°, т. е. a ⊥ b.Proof (reverse direction). If a·b = 0 and |a| ≠ 0, |b| ≠ 0, then cos(a,b) = 0 (the only way to zero out the product of three nonzero factors |a|, |b|, cos φ is for the cosine itself to be zero). Hence φ = (a,b) = 90°, i.e. a ⊥ b.
В частности, для ортов координатных осей: i·j = j·k = k·i = 0 (оси взаимно перпендикулярны по построению прямоугольной системы координат). Эта тройка равенств, вместе с i² = j² = k² = 1 из свойства 4, образует полную таблицу скалярных произведений ортов — она напрямую используется при выводе координатной формулы скалярного произведения (см. 6.3).In particular, for the coordinate-axis unit vectors: i·j = j·k = k·i = 0 (the axes are mutually perpendicular by construction of the rectangular coordinate system). This triple of equalities, together with i² = j² = k² = 1 from Property 4, forms the complete table of dot products of the unit vectors — it's used directly when deriving the coordinate formula for the dot product (see 6.3).
Свойство 5 — это буквально алгебраический двойник геометрической связи «нулевой определитель ⟺ вырожденность» (см. 2.1, 3.1) и «нулевое смешанное произведение ⟺ компланарность» (см. 8.1): во всех трёх случаях геометрическое условие вырожденности/особенности выражается как «некоторая скалярная величина равна нулю» — паттерн, который стоит распознавать заранее, встречая новую тему.Property 5 is literally the algebraic twin of the geometric relationship "zero determinant ⟺ singularity" (see 2.1, 3.1) and "zero scalar triple product ⟺ coplanarity" (see 8.1): in all three cases, a geometric condition of degeneracy/specialness is expressed as "some scalar quantity equals zero" — a pattern worth recognizing in advance whenever a new topic comes up.
Свойство 2 говорит о сочетательности только относительно скалярного множителя ((λa)b = λ(ab)), а не о сочетательности трёх векторов подряд. Выражение (a·b)·c вообще не то же самое, что a·(b·c): a·b — число, поэтому (a·b)·c — вектор c, умноженный на скаляр; а b·c — тоже число, поэтому a·(b·c) — вектор a, умноженный на другой скаляр. Это, вообще говоря, два разных вектора (если только a и c не коллинеарны) — «скалярное произведение трёх векторов» без уточнения скобок просто не определено однозначно.Property 2 refers to associativity only with respect to a scalar factor ((λa)b = λ(ab)), not associativity across three vectors in a row. The expression (a·b)·c is not at all the same as a·(b·c): a·b is a number, so (a·b)·c is the vector c scaled by that number; while b·c is also a number, so a·(b·c) is the vector a scaled by a different number. These are, generally speaking, two different vectors (unless a and c happen to be collinear) — a "dot product of three vectors" without specifying the parentheses simply isn't uniquely defined.
Это тот же феномен, что уже встречался у матриц (AB = O не требует A = O или B = O, см. «Грабли» в 1.2): равенство a·b = 0 для ненулевых a, b означает перпендикулярность, а не то, что один из сомножителей «на самом деле нулевой». В арифметике обычных чисел такого не бывает (нет делителей нуля), но у векторов (как и у матриц) — сколько угодно.This is the same phenomenon already seen with matrices (AB = O doesn't require A = O or B = O, see "Gotchas" in 1.2): the equality a·b = 0 for nonzero a, b means perpendicularity, not that one of the factors is "actually zero." In ordinary number arithmetic this can't happen (no zero divisors), but for vectors (as for matrices) it happens all the time.
источникsource
Свойства 1–5 с доказательствами и Пример 6.1 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §6.2 «Свойства скалярного произведения», с. 48. Пошаговая расшифровка Примера 6.1, связь с вырожденностью/компланарностью и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Properties 1–5 with proofs and Example 6.1 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §6.2 "Properties of the Dot Product," p. 48. The step-by-step breakdown of Example 6.1, the connection to singularity/coplanarity, and the "Gotchas" section are original additions.