6.3 — Глава II, §6. Скалярное произведение векторов6.3 — Chapter II, §6. The dot product of vectors
Это тот момент, когда «умножить два вектора» перестаёт требовать знания угла между ними вообще — достаточно координат. Формула a·b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z настолько проста, что легко забыть, откуда она взялась: это не новое определение, а прямое следствие раскрытия скобок в (a_x i + a_y j + a_z k)·(b_x i + b_y j + b_z k) с использованием ровно тех фактов о ортах, что уже были доказаны в 6.2 (i²=j²=k²=1, ij=jk=ki=0). Тот же приём «разложить по базису, перемножить как многочлены, использовать таблицу базисных произведений» появится снова в 7.3 для векторного произведения.This is the point where "multiplying two vectors" stops requiring knowledge of the angle between them at all — coordinates suffice. The formula a·b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z is simple enough that it's easy to forget where it came from: it isn't a new definition, but a direct consequence of expanding (a_x i + a_y j + a_z k)·(b_x i + b_y j + b_z k) using exactly the facts about the unit vectors already proven in 6.2 (i²=j²=k²=1, ij=jk=ki=0). The same trick — "decompose along the basis, multiply like polynomials, use the table of basis products" — reappears in 7.3 for the cross product.
Пусть заданы два вектора a = a_x·i + a_y·j + a_z·k и b = b_x·i + b_y·j + b_z·k.Let two vectors be given: a = a_x·i + a_y·j + a_z·k and b = b_x·i + b_y·j + b_z·k.
Найдём скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения, см. 6.2, свойства 2–3) и пользуясь таблицей скалярных произведений векторов i, j, k:Let's find the dot product of the vectors by multiplying them as polynomials (which is legitimate by virtue of the linearity properties of the dot product, see 6.2, Properties 2–3) and using the table of dot products of the vectors i, j, k:
i | j | k | |
|---|---|---|---|
i | 1 | 0 | 0 |
j | 0 | 1 | 0 |
k | 0 | 0 | 1 |
(диагональ — свойство 4 из 6.2, i²=j²=k²=1; вне диагонали — свойство 5 из 6.2, ортогональные орты, ij=jk=ki=0).(the diagonal — Property 4 from 6.2, i²=j²=k²=1; off the diagonal — Property 5 from 6.2, the orthogonal unit vectors, ij=jk=ki=0.)
Раскрываем произведение полностью, по всем девяти парам:Let's expand the product completely, over all nine pairs:
a · b = (a_x·i + a_y·j + a_z·k) · (b_x·i + b_y·j + b_z·k) =
= a_x b_x·(i·i) + a_x b_y·(i·j) + a_x b_z·(i·k) +
a_y b_x·(j·i) + a_y b_y·(j·j) + a_y b_z·(j·k) +
a_z b_x·(k·i) + a_z b_y·(k·j) + a_z b_z·(k·k) =
= a_x b_x·1 + a_x b_y·0 + a_x b_z·0 +
a_y b_x·0 + a_y b_y·1 + a_y b_z·0 +
a_z b_x·0 + a_z b_y·0 + a_z b_z·1 =
= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.a · b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.So, the dot product of vectors equals the sum of the products of their like-named coordinates.
Из девяти слагаемых в разложении выживают только три — те, где орт умножается сам на себя. Остальные шесть (все «перекрёстные» произведения i·j, i·k, j·i, j·k, k·i, k·j) обнуляются взаимной перпендикулярностью осей. Это ровно та экономия, которую даёт выбор ортогональной системы координат: если бы оси не были перпендикулярны друг другу, формула содержала бы дополнительные перекрёстные члены с косинусами углов между осями — прямоугольная система координат выбрана не произвольно, а именно чтобы формула получилась такой простой.Of the nine terms in the expansion, only three survive — those where a unit vector is multiplied by itself. The other six (all the "cross" products i·j, i·k, j·i, j·k, k·i, k·j) vanish due to the mutual perpendicularity of the axes. This is exactly the saving that choosing an orthogonal coordinate system buys you: if the axes weren't perpendicular to each other, the formula would contain extra cross terms with cosines of the angles between the axes — a rectangular coordinate system isn't chosen arbitrarily, it's chosen precisely so that the formula comes out this simple.
Доказать, что диагонали четырёхугольника, заданного координатами вершин A(-4; -4; 4), B(-3; 2; 2), C(2; 5; 1), D(3; -2; 2), взаимно перпендикулярны.Prove that the diagonals of the quadrilateral given by the vertex coordinates A(-4; -4; 4), B(-3; 2; 2), C(2; 5; 1), D(3; -2; 2) are mutually perpendicular.
Решение. Шаг 1 — определить диагонали. В четырёхугольнике ABCD вершины идут по порядку обхода, поэтому диагонали — это отрезки, соединяющие несоседние вершины: AC (из A в C, через одну вершину B) и BD (из B в D, через одну вершину C).Solution. Step 1 — identify the diagonals. In quadrilateral ABCD, the vertices go in traversal order, so the diagonals are the segments connecting non-adjacent vertices: AC (from A to C, skipping vertex B) and BD (from B to D, skipping vertex C).
Шаг 2 — координаты векторов-диагоналей. Составим векторы AC и BD, используя формулу «конец минус начало» (см. 5.5): AC = (2-(-4); 5-(-4); 1-4) = (6; 9; -3), BD = (3-(-3); -2-2; 2-2) = (6; -4; 0).Step 2 — coordinates of the diagonal vectors. Form the vectors AC and BD using the "end minus start" formula (see 5.5): AC = (2-(-4); 5-(-4); 1-4) = (6; 9; -3), BD = (3-(-3); -2-2; 2-2) = (6; -4; 0).
Шаг 3 — вычисление скалярного произведения по координатной формуле.Step 3 — computing the dot product via the coordinate formula.
AC · BD = 6·6 + 9·(-4) + (-3)·0 = 36 - 36 + 0 = 0.Шаг 4 — вывод по свойству 5 (см. 6.2). Оба вектора AC и BD ненулевые (иначе диагонали были бы вырождены в точку), а их скалярное произведение равно нулю. По свойству 5 (обратное направление) отсюда следует AC ⊥ BD. Диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны.Step 4 — conclusion via Property 5 (see 6.2). Both vectors AC and BD are nonzero (otherwise the diagonals would degenerate into a point), and their dot product equals zero. By Property 5 (reverse direction), it follows that AC ⊥ BD. The diagonals of quadrilateral ABCD are mutually perpendicular.
Обратите внимание на всю цепочку зависимостей, задействованную в этой короткой задаче: координаты точки и формула «конец минус начало» (5.5) → координатная формула скалярного произведения (эта страница) → критерий перпендикулярности через равенство нулю (свойство 5 из 6.2). Три параграфа курса объединяются в одно вычисление на пять строк — типичная картина для аналитической геометрии, куда векторная алгебра ведёт напрямую (см. Главу III).Notice the whole chain of dependencies at work in this short problem: point coordinates and the "end minus start" formula (5.5) → the coordinate formula for the dot product (this page) → the perpendicularity criterion via vanishing (Property 5 from 6.2). Three sections of the course combine into a five-line computation — a typical picture for analytic geometry, which vector algebra leads directly into (see Chapter III).
В Примере 6.2 легко ошибиться, приняв за диагонали, скажем, AB и CD — но это стороны четырёхугольника (соседние вершины), а не диагонали. Правило «диагонали — это несоседние вершины» нужно применять к порядку обхода A→B→C→D→A, а не к алфавитному или числовому порядку меток вершин.In Example 6.2, it's easy to mistakenly take, say, AB and CD for the diagonals — but those are the quadrilateral's sides (adjacent vertices), not the diagonals. The rule "diagonals connect non-adjacent vertices" must be applied to the traversal order A→B→C→D→A, not to the alphabetical or numerical order of the vertex labels.
В Примере 6.2 вывод «AC·BD=0 ⇒ AC⊥BD» формально требует, чтобы оба вектора были ненулевыми (см. формулировку свойства 5 в 6.2) — иначе понятие угла между ними просто не определено. На практике эту проверку часто опускают как «очевидную» (координаты векторов явно ненулевые), но в строгом изложении её стоит проговаривать явно, а не молчаливо подразумевать.In Example 6.2, the conclusion "AC·BD=0 ⇒ AC⊥BD" formally requires both vectors to be nonzero (see the statement of Property 5 in 6.2) — otherwise the notion of the angle between them simply isn't defined. In practice this check is often skipped as "obvious" (the vectors' coordinates are clearly nonzero), but in a rigorous treatment it's worth stating explicitly rather than silently assuming.
источникsource
Вывод координатной формулы, таблица скалярных произведений ортов и Пример 6.2 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §6.3 «Выражение скалярного произведения через координаты», с. 49. Пошаговая расшифровка Примера 6.2 и раздел «Грабли» — авторское дополнение.The derivation of the coordinate formula, the table of dot products of the unit vectors, and Example 6.2 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §6.3 "Expressing the Dot Product via Coordinates," p. 49. The step-by-step breakdown of Example 6.2 and the "Gotchas" section are original additions.