6.4 — Глава II, §6. Скалярное произведение векторов6.4 — Chapter II, §6. The dot product of vectors
Три приложения этого параграфа — угол между векторами, проекция на направление, работа силы — это не три случайно подобранных примера, а три разных «прочтения» одной и той же формулы a·b = |a|·|b|·cos φ, каждое решённое относительно своей неизвестной. Хотите φ — вырази cos φ и получи угол. Хотите проекцию — раздели на |a|. Хотите работу — просто подставь силу и перемещение и не переименовывай ничего. Формула одна, применений — сколько угодно.The three applications in this section — the angle between vectors, the projection onto a direction, the work of a force — aren't three arbitrarily chosen examples, but three different "readings" of the same formula a·b = |a|·|b|·cos φ, each solved for a different unknown. Want φ? Express cos φ and get the angle. Want the projection? Divide by |a|. Want the work? Just plug in force and displacement and rename nothing. One formula, as many applications as you like.
Определение угла φ между ненулевыми векторами a = (a_x; a_y; a_z) и b = (b_x; b_y; b_z):The determination of the angle φ between nonzero vectors a = (a_x; a_y; a_z) and b = (b_x; b_y; b_z):
cos φ = (a·b)/(|a|·|b|),т. е.i.e.
cos φ = (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) / (√(a_x²+a_y²+a_z²) · √(b_x²+b_y²+b_z²)).Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов a и b:From this follows the perpendicularity condition for nonzero vectors a and b:
a ⊥ b ⟺ a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0.Это буквально формула (6.1) из 6.1, решённая относительно cos φ (вместо a·b), плюс координатная подстановка модуля из формулы (5.4). Условие перпендикулярности — тот же критерий из свойства 5 (см. 6.2), только записанный сразу в координатах, без промежуточного упоминания угла — именно так это условие используется на практике (см. Пример 6.2 из 6.3).This is literally formula (6.1) from 6.1, solved for cos φ (instead of a·b), plus the coordinate substitution for the magnitude from formula (5.4). The perpendicularity condition is the same criterion from Property 5 (see 6.2), just written directly in coordinates, without the intermediate mention of the angle — this is exactly how the condition is used in practice (see Example 6.2 from 6.3).
Нахождение проекции вектора a на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формулеFinding the projection of a vector a onto a direction given by a vector b can be carried out via the formula
пр_b a = (a·b)/|b| (или пр_b a = ab/|b|), т. е.
пр_b a = (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) / √(b_x²+b_y²+b_z²).Эта формула получается прямо из (6.2): раз ab = |b|·пр_b a, то пр_b a = ab/|b| — простое деление обеих частей на |b|. Практическая ценность формулы в том, что теперь проекцию вектора на произвольное направление (заданное каким угодно вектором b, необязательно координатной осью) можно вычислить чисто алгебраически, без геометрического построения перпендикуляра из 5.3 — вся геометрия «свёрнута» в формулу.This formula follows directly from (6.2): since ab = |b|·proj_b a, we get proj_b a = ab/|b| — simply dividing both sides by |b|. The practical value of the formula is that the projection of a vector onto an arbitrary direction (given by any vector b, not necessarily a coordinate axis) can now be computed purely algebraically, without the geometric construction of a perpendicular from 5.3 — all the geometry is "folded" into the formula.
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения A в положение B под действием постоянной силы F, образующей угол φ с перемещением AB = S. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна A = |F|·|S|·cos φ, т. е.Let a material point move in a straight line from position A to position B under the action of a constant force F, making an angle φ with the displacement AB = S. From physics it is known that the work done by the force F over the displacement S equals A = |F|·|S|·cos φ, i.e.
Рис. 15. Работа силы F при перемещении S на угол φ: A = F·S = |F|·|S|·cos φFig. 15. The work of a force F over a displacement S at an angle φ: A = F·S = |F|·|S|·cos φ
A = F · S.Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.Thus, the work of a constant force over a straight-line displacement of its point of application equals the dot product of the force vector and the displacement vector.
Это, вероятно, самое известное практическое применение скалярного произведения — именно оно объясняет, почему определение (6.1) устроено именно так (произведение длин на косинус угла), а не иначе: физика работы силы была известна раньше формального определения скалярного произведения, и математический аппарат строился так, чтобы описывать именно это явление. Заметьте следствие: если сила перпендикулярна перемещению (φ = 90°), работа равна нулю — сила, толкающая объект «вбок» относительно его пути, работы не совершает, что согласуется со свойством 5 из 6.2.This is probably the most well-known practical application of the dot product — it's exactly what explains why definition (6.1) is built the way it is (product of lengths times the cosine of the angle), rather than some other way: the physics of work done by a force was known before the formal definition of the dot product, and the mathematical apparatus was built to describe precisely this phenomenon. Notice the consequence: if the force is perpendicular to the displacement (φ = 90°), the work is zero — a force pushing an object "sideways" relative to its path does no work, consistent with Property 5 from 6.2.
Вычислить работу, произведённую силой F = (3; 2; 4), если точка её приложения перемещается прямолинейно из положения A(2; 4; 6) в положение B(4; 2; 7). Под каким углом к AB направлена сила F?Compute the work done by the force F = (3; 2; 4), if its point of application moves in a straight line from position A(2; 4; 6) to position B(4; 2; 7). At what angle to AB is the force F directed?
Решение. Шаг 1 — найти вектор перемещения. По формуле «конец минус начало» (см. 5.5): S = AB = (4-2; 2-4; 7-6) = (2; -2; 1).Solution. Step 1 — find the displacement vector. By the "end minus start" formula (see 5.5): S = AB = (4-2; 2-4; 7-6) = (2; -2; 1).
Шаг 2 — вычислить работу как скалярное произведение F и S. По координатной формуле (см. 6.3):Step 2 — compute the work as the dot product of F and S. By the coordinate formula (see 6.3):
A = F · S = 3·2 + 2·(-2) + 4·1 = 6 - 4 + 4 = 6 (ед. работы).Шаг 3 — найти модули F и S.Step 3 — find the magnitudes of F and S.
|F| = √(3² + 2² + 4²) = √(9+4+16) = √29,
|S| = √(2² + (-2)² + 1²) = √(4+4+1) = √9 = 3.Шаг 4 — найти угол φ между F и S. По формуле угла между векторами (см. выше):Step 4 — find the angle φ between F and S. By the angle-between-vectors formula (above):
cos φ = (F·S)/(|F|·|S|) = 6/(√29 · 3) = 6/(3√29) = 2/√29.Отсюда φ = arccos(2/√29).Hence φ = arccos(2/√29).
Итак, работа силы F равна 6 (ед. работы), а угол между F и AB равен arccos(2/√29).So, the work of the force F equals 6 (units of work), and the angle between F and AB equals arccos(2/√29).
Проверка (не входит в оригинальный текст): раз cos φ = 2/√29 > 0, угол острый — сила «толкает» точку преимущественно в направлении перемещения, а не против него, что согласуется с положительным значением работы (A = 6 > 0, см. Следствие 5.1 из 5.3: положительная проекция ⟺ острый угол).Check (not part of the original text): since cos φ = 2/√29 > 0, the angle is acute — the force "pushes" the point predominantly in the direction of the displacement, not against it, consistent with the positive value of the work (A = 6 > 0, see Corollary 5.1 from 5.3: a positive projection ⟺ an acute angle).
Частая ошибка — забыть множитель cos φ и вычислить работу как «сила на путь» без учёта направления. Формула A = |F|·|S| верна только в частном случае, когда сила направлена точно вдоль перемещения (φ = 0, cos 0 = 1); в общем случае нужно именно скалярное произведение, а не произведение модулей.A common mistake is forgetting the cos φ factor and computing work as "force times distance" without accounting for direction. The formula A = |F|·|S| only holds in the special case where the force points exactly along the displacement (φ = 0, cos 0 = 1); in general, it's the dot product that's needed, not the product of magnitudes.
Если угол между силой и перемещением тупой, работа A = F·S отрицательна — это не повод искать ошибку в вычислениях, а корректное описание силы, которая тормозит движение (например, сила трения, направленная против перемещения). Отрицательный знак несёт физический смысл, а не сигнализирует о неправильных координатах.If the angle between the force and the displacement is obtuse, the work A = F·S is negative — that's not a reason to hunt for a computational error, but a correct description of a force that decelerates the motion (e.g. friction, directed against the displacement). The negative sign carries physical meaning; it doesn't signal incorrect coordinates.
источникsource
Формулы угла между векторами, условия перпендикулярности, проекции на направление, работы постоянной силы и Пример 6.3 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §6.4 «Некоторые приложения скалярного произведения», с. 50. Пошаговая расшифровка Примера 6.3, проверка и раздел «Грабли» — авторское дополнение.The formulas for the angle between vectors, the perpendicularity condition, the projection onto a direction, the work of a constant force, and Example 6.3 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §6.4 "Some Applications of the Dot Product," p. 50. The step-by-step breakdown of Example 6.3, the check, and the "Gotchas" section are original additions.