7.1 — Глава II, §7. Векторное произведение векторов7.1 — Chapter II, §7. The cross product of vectors
Если скалярное произведение (§6) отвечало на вопрос «насколько два вектора смотрят в одну сторону», то векторное произведение отвечает на принципиально другой вопрос: «какая площадь параллелограмма натянута на два вектора, и в какой плоскости он лежит». Результат здесь — не число, а новый вектор, перпендикулярный обоим исходным. Это первое место в курсе, где «умножение» двух объектов даёт объект той же природы (вектор), но другой размерности смысла — не длину вдоль направления, а ориентированную площадь.Where the dot product (§6) answered "how much do two vectors point the same way," the cross product answers a fundamentally different question: "what area does the parallelogram spanned by two vectors have, and in which plane does it lie." The result here isn't a number but a new vector, perpendicular to both original ones. This is the first place in the course where "multiplying" two objects yields an object of the same kind (a vector), but of a different dimension of meaning — not a length along a direction, but an oriented area.
Три некомпланарных вектора a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.Three non-coplanar vectors a, b, and c, taken in the stated order, form a right-handed triple if, viewed from the tip of the third vector c, the shortest rotation from the first vector a to the second vector b appears counterclockwise, and a left-handed one if clockwise.
Рис. 16. Правая тройка a, b, c (поворот a→b против часовой стрелки, если смотреть с конца c) и левая (по часовой)Fig. 16. A right-handed triple a, b, c (rotation a→b counterclockwise viewed from the tip of c) and a left-handed one (clockwise)
Обратите внимание на условие «некомпланарны» (см. 5.1) — понятие «правой/левой тройки» требует, чтобы три вектора действительно охватывали трёхмерное пространство, а не лежали в одной плоскости. Это не техническая деталь: сама идея «поворота против/по часовой стрелке, если смотреть с конца третьего вектора» подразумевает, что третий вектор торчит «вне» плоскости первых двух — иначе смотреть было бы не с чего.Notice the "non-coplanar" condition (see 5.1) — the notion of a "right-handed/left-handed triple" requires the three vectors to genuinely span three-dimensional space, not lie in one plane. This isn't a technicality: the very idea of "rotation counterclockwise/clockwise, viewed from the tip of the third vector" presupposes that the third vector sticks "out of" the plane of the first two — otherwise there'd be nowhere to view it from.
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который:The cross product of a vector a and a vector b is the vector c which:
a и b, т. е. c ⊥ a и c ⊥ b;is perpendicular to the vectors a and b, i.e. c ⊥ a and c ⊥ b;a и b как на сторонах, т. е. |c| = |a|·|b|·sin φ, где φ = (a, b);has a length numerically equal to the area of the parallelogram built on a and b as sides, i.e. |c| = |a|·|b|·sin φ, where φ = (a, b);a, b и c образуют правую тройку.the vectors a, b, and c form a right-handed triple.Векторное произведение обозначается a × b или [a, b].The cross product is denoted a × b or [a, b].
Рис. 17. Векторное произведение c = a×b: направление — перпендикуляр к плоскости a,b; длина — площадь S параллелограммаFig. 17. The cross product c = a×b: direction — perpendicular to the plane of a,b; length — the area S of the parallelogram
Три условия определения играют совершенно разные роли, и стоит держать в голове, за что отвечает каждое: условие 1 фиксирует направление прямой, вдоль которой лежит результат (перпендикуляр к плоскости a, b — прямая единственна, если a и b не коллинеарны); условие 2 фиксирует длину вектора-результата (площадь параллелограмма); условие 3 разрешает последнюю двузначность — из двух противоположных направлений вдоль этой прямой выбирается одно, «правовинтовое». Без условия 3 определение было бы неполным: перпендикуляр к плоскости всегда смотрит в две противоположные стороны, и нужно правило выбора одной из них.The three conditions in the definition play completely different roles, and it's worth keeping straight what each one does: condition 1 fixes the direction of the line along which the result lies (the perpendicular to the plane of a, b — the line is unique if a and b aren't collinear); condition 2 fixes the length of the resulting vector (the parallelogram's area); condition 3 resolves the last ambiguity — of the two opposite directions along that line, one is chosen, the "right-handed" one. Without condition 3 the definition would be incomplete: a perpendicular to a plane always points two opposite ways, and a rule is needed to pick one.
Сравните это с векторным квадратом a² = |a|² из скалярного произведения (см. 6.2, свойство 4) — там результат тоже единственен, но там нет никакой двузначности направления, поскольку результат вообще не вектор, а число. Именно необходимость выбирать между двумя равноправными геометрически направлениями и делает векторное произведение содержательно сложнее скалярного.Compare this to the scalar square a² = |a|² from the dot product (see 6.2, Property 4) — there the result is also unique, but there's no directional ambiguity at all, since the result isn't a vector to begin with, just a number. It's exactly this need to choose between two geometrically equivalent directions that makes the cross product substantively more intricate than the dot product.
Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k:From the definition of the cross product, the following relations between the unit vectors i, j, and k follow directly:
i × j = k, j × k = i, k × i = j.Рис. 18. Орты i, j, k координатных осей Ox, Oy, Oz образуют правую тройкуFig. 18. The unit vectors i, j, k of the axes Ox, Oy, Oz form a right-handed triple
Докажем, например, что i × j = k.Let's prove, for instance, that i × j = k.
Проверяем все три условия определения по очереди:Checking all three conditions of the definition in turn:
1) k ⊥ i, k ⊥ j — оси координат взаимно перпендикулярны по построению прямоугольной системы Oxyz (см. 5.4), поэтому первое условие выполнено автоматически;1) k ⊥ i, k ⊥ j — the coordinate axes are mutually perpendicular by construction of the rectangular system Oxyz (see 5.4), so the first condition holds automatically;
2) |k| = 1, но и |i × j| = |i|·|j|·sin 90° = 1·1·1 = 1 — раз i, j — единичные и взаимно перпендикулярные векторы, площадь построенного на них «параллелограмма» — это площадь единичного квадрата, равная 1, что совпадает с длиной k;2) |k| = 1, but also |i × j| = |i|·|j|·sin 90° = 1·1·1 = 1 — since i, j are unit vectors that are mutually perpendicular, the area of the "parallelogram" built on them is the area of a unit square, equal to 1, matching the length of k;
3) векторы i, j и k образуют правую тройку — это соглашение о построении самой системы координат Oxyz (правая система, стандартная в этом курсе).3) the vectors i, j, and k form a right-handed triple — this is the convention used in constructing the coordinate system Oxyz itself (a right-handed system, standard throughout this course).
Все три условия определения выполнены для вектора k — значит, i × j = k.All three conditions of the definition hold for the vector k — hence i × j = k.
Заметьте порядок в тройке равенств i×j=k, j×k=i, k×i=j — он циклический: каждое следующее равенство получается сдвигом букв i→j→k→i. Это не совпадение обозначений, а прямое следствие свойства 1 из 7.2 (антикоммутативность) в сочетании с тем, что i, j, k взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку именно в этом циклическом порядке — запоминать все шесть возможных произведений (включая j×i, k×j, i×k) отдельно не нужно, они получаются из первых трёх сменой знака.Notice the order in the triple of equalities i×j=k, j×k=i, k×i=j — it's cyclic: each next equality is obtained by shifting the letters i→j→k→i. This isn't a coincidence of notation, but a direct consequence of Property 1 from 7.2 (anticommutativity) combined with the fact that i, j, k are mutually perpendicular and form a right-handed triple in exactly this cyclic order — there's no need to memorize all six possible products (including j×i, k×j, i×k) separately; they follow from the first three by a sign flip.
Частая ошибка — использовать |a × b| напрямую как площадь треугольника, построенного на векторах a и b. На самом деле это площадь параллелограмма; площадь треугольника (половина параллелограмма, разрезанного диагональю) — S_Δ = (1/2)|a × b| (см. приложения в 7.4).A common mistake is using |a × b| directly as the area of the triangle built on vectors a and b. In fact, it's the area of the parallelogram; the triangle's area (half the parallelogram, cut by a diagonal) is S_Δ = (1/2)|a × b| (see the applications in 7.4).
В отличие от скалярного произведения, где cos φ может быть отрицательным (тупой угол, см. 6.1), в формуле |c| = |a|·|b|·sin φ множитель sin φ всегда неотрицателен, поскольку угол между векторами по определению лежит в диапазоне 0 ≤ φ ≤ π (см. 5.3), а на этом промежутке синус неотрицателен. Направление (а значит, и «знак» в смысле ориентации) векторного произведения целиком задаётся условием 3 (правая тройка), а не знаком числового множителя в формуле длины.Unlike the dot product, where cos φ can be negative (an obtuse angle, see 6.1), in the formula |c| = |a|·|b|·sin φ the factor sin φ is always nonnegative, since the angle between vectors is by definition in the range 0 ≤ φ ≤ π (see 5.3), over which sine is nonnegative. The direction (and hence any notion of "sign" in the sense of orientation) of the cross product is determined entirely by condition 3 (right-handed triple), not by the sign of the numerical factor in the length formula.
источникsource
Определения правой/левой тройки, векторного произведения (условия 1–3), доказательство i×j=k — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §7.1 «Определение векторного произведения», с. 51–52. Разбор роли каждого из трёх условий определения и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Definitions of the right-handed/left-handed triple, the cross product (conditions 1–3), the proof of i×j=k — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §7.1 "Definition of the Cross Product," pp. 51–52. The breakdown of the role of each of the three definition conditions and the "Gotchas" section are original additions.