7.2 — Глава II, §7. Векторное произведение векторов7.2 — Chapter II, §7. The cross product of vectors
Главное, что стоит вынести из этого параграфа: векторное произведение не коммутативно — более того, оно антикоммутативно (a×b = -(b×a)). Это резкий контраст со скалярным произведением, где переместительность была свойством №1 (см. 6.2). Причина не в том, что математики выбрали разные конвенции — это неизбежное следствие геометрии: переставить сомножители местами означает посмотреть на тот же параллелограмм «с другой стороны», а значит развернуть направление обхода (по часовой стрелке становится против, и наоборот) — само определение правой тройки это гарантирует.The main takeaway from this section: the cross product is not commutative — in fact, it's anticommutative (a×b = -(b×a)). This is a sharp contrast with the dot product, where commutativity was Property #1 (see 6.2). The reason isn't that mathematicians chose different conventions — it's an unavoidable consequence of the geometry: swapping the factors means viewing the same parallelogram "from the other side," which flips the direction of traversal (clockwise becomes counterclockwise, and vice versa) — the very definition of a right-handed triple guarantees this.
При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. a × b = -(b × a).When the factors are swapped, the cross product changes sign, i.e. a × b = -(b × a).
Доказательство. Векторы a×b и b×a коллинеарны (оба перпендикулярны одной и той же плоскости a, b — условие 1 определения из 7.1), имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остаётся неизменной при перестановке сторон местами — условие 2), но противоположно направлены (тройки a, b, a×b и a, b, b×a противоположной ориентации — условие 3 определения гарантирует, что если a,b,c правая, то b,a,c обязана быть левой, и значит b×a должен смотреть в другую сторону, чтобы восстановить правизну тройки b,a,-c). Стало быть, a×b = -(b×a).Proof. The vectors a×b and b×a are collinear (both perpendicular to the same plane of a, b — condition 1 of the definition from 7.1), have equal magnitudes (the parallelogram's area is unchanged by swapping the sides — condition 2), but point in opposite directions (the triples a, b, a×b and a, b, b×a have opposite orientation — condition 3 of the definition guarantees that if a,b,c is right-handed, then b,a,c must be left-handed, so b×a must point the other way to restore the right-handedness of the triple b,a,-c). Hence, a×b = -(b×a).
Рис. 19. a×b и b×a: одинаковая длина (та же площадь параллелограмма), противоположные направленияFig. 19. a×b and b×a: equal length (the same parallelogram area), opposite directions
Это свойство и есть источник циклического паттерна i×j=k, j×k=i, k×i=j, замеченного в 7.1: из него автоматически следует j×i=-k, k×j=-i, i×k=-j — все шесть возможных произведений ортов получены без единого нового вычисления, просто сменой знака у трёх уже известных.This property is the very source of the cyclic pattern i×j=k, j×k=i, k×i=j noticed in 7.1: it automatically implies j×i=-k, k×j=-i, i×k=-j — all six possible products of the unit vectors obtained without a single new computation, just by flipping the sign of the three already known.
Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb).The cross product has the associative property with respect to a scalar factor, i.e. λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb).
Доказательство (для λ > 0). Вектор λ(a×b) перпендикулярен векторам a и b. Вектор (λa)×b также перпендикулярен векторам a и b (векторы a, b и λa лежат в одной плоскости). Значит, векторы λ(a×b) и (λa)×b коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:Proof (for λ > 0). The vector λ(a×b) is perpendicular to the vectors a and b. The vector (λa)×b is also perpendicular to a and b (the vectors a, b, and λa lie in the same plane). Hence, the vectors λ(a×b) and (λa)×b are collinear. Clearly their directions coincide as well. They have equal length:
|λ(a×b)| = λ|a×b| = λ|a|·|b|·sin(a,b)
|(λa)×b| = |λa|·|b|·sin(λa,b) = λ|a|·|b|·sin(a,b).Поэтому λ(a×b) = (λa)×b. Аналогично доказывается при λ < 0 (нужно дополнительно учесть смену направления при отрицательном скаляре — та же логика, что и в свойстве 1 из 6.2 для скалярного произведения).Hence λ(a×b) = (λa)×b. The proof is similar for λ < 0 (an extra account must be taken of the direction flip for a negative scalar — the same logic as in Property 1 from 6.2 for the dot product).
Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. a ∥ b ⟺ a × b = 0.Two nonzero vectors a and b are collinear if and only if their cross product equals the zero vector, i.e. a ∥ b ⟺ a × b = 0.
Доказательство (прямое направление). Если a ∥ b, то угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда |a×b| = |a|·|b|·sin(a,b) = 0 (синус нуля и синус 180° оба равны нулю). Значит, a×b = 0.Proof (forward direction). If a ∥ b, the angle between them is 0° or 180°. But then |a×b| = |a|·|b|·sin(a,b) = 0 (the sine of zero and the sine of 180° are both zero). Hence a×b = 0.
Доказательство (обратное направление). Если же a×b = 0, то |a|·|b|·sin φ = 0. Так как |a| ≠ 0, |b| ≠ 0, то sin φ = 0, т. е. φ = 0° или φ = 180°, т. е. a ∥ b.Proof (reverse direction). If a×b = 0, then |a|·|b|·sin φ = 0. Since |a| ≠ 0, |b| ≠ 0, then sin φ = 0, i.e. φ = 0° or φ = 180°, i.e. a ∥ b.
В частности, i×i = j×j = k×k = 0 (угол вектора с самим собой равен нулю, а sin 0 = 0) — прямая пара с равенствами i²=j²=k²=1 из скалярного произведения (см. 6.2, свойство 4): там «умножение вектора на себя» даёт максимум (модуль в квадрате, число), здесь — минимум (нулевой вектор). Это не противоречие, а отражение того, что скалярное и векторное произведения измеряют принципиально разные вещи — «насколько совпадают направления» против «насколько велика площадь между ними», и у совпадающего с собой вектора первое максимально, а второе — минимально (нулевая площадь).In particular, i×i = j×j = k×k = 0 (the angle of a vector with itself is zero, and sin 0 = 0) — a direct pair with the equalities i²=j²=k²=1 from the dot product (see 6.2, Property 4): there, "multiplying a vector by itself" gives a maximum (the squared magnitude, a number); here, a minimum (the zero vector). This isn't a contradiction, but a reflection of the fact that the dot and cross products measure fundamentally different things — "how much the directions coincide" versus "how large is the area between them" — and for a vector coinciding with itself, the former is maximal while the latter is minimal (zero area).
Это же свойство 3 — точный векторный аналог свойства 1 из 5.2 (b = λa ⟺ a ∥ b) и свойства 5 из 6.2 (перпендикулярность через равенство нулю скалярного произведения): и там, и там, и здесь геометрическое условие (коллинеарность / перпендикулярность) выражается как «некоторая алгебраическая величина обращается в ноль (или единичный элемент)» — третье появление одного и того же структурного паттерна за две главы курса.This same Property 3 is the exact vector analogue of Property 1 from 5.2 (b = λa ⟺ a ∥ b) and Property 5 from 6.2 (perpendicularity via the dot product vanishing): in both cases, and here too, a geometric condition (collinearity / perpendicularity) is expressed as "some algebraic quantity vanishes (or hits an identity element)" — the third appearance of the same structural pattern across two chapters of the course.
Векторное произведение обладает распределительным свойством: (a + b) × c = a × c + b × c. Принимается без доказательства.The cross product has the distributive property: (a + b) × c = a × c + b × c. Accepted without proof.
Обратите внимание на порядок в этой формуле: из-за антикоммутативности (свойство 1) важно не путать (a+b)×c с c×(a+b) — эти выражения противоположны по знаку, хотя оба дистрибутивны. Полная запись правой дистрибутивности c×(a+b) = c×a + c×b получается из данной формулы применением свойства 1 к обеим частям.Note the order in this formula: because of anticommutativity (Property 1), it's important not to confuse (a+b)×c with c×(a+b) — these expressions are opposite in sign, though both are distributive. The full statement of right-distributivity, c×(a+b) = c×a + c×b, follows from this formula by applying Property 1 to both sides.
Свойства 2 и 4 вместе — это то, что позволяет в 7.3 «перемножить как многочлены» разложения a = a_x·i+a_y·j+a_z·k и b = b_x·i+b_y·j+b_z·k и получить координатную формулу векторного произведения — точно так же, как свойства 2–3 из 6.2 позволили это сделать для скалярного произведения.Properties 2 and 4 together are exactly what allow, in 7.3, "multiplying like polynomials" the expansions a = a_x·i+a_y·j+a_z·k and b = b_x·i+b_y·j+b_z·k to get the coordinate formula for the cross product — the same way Properties 2–3 from 6.2 allowed this for the dot product.
В отличие от свойства 2 (сочетательность именно со скалярным множителем), тройное векторное произведение трёх векторов в общем случае не ассоциативно: a × b — это вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной a и b; применение × c к нему даёт совсем другой результат, чем сначала вычислить b × c, а потом умножить на a. Двойное векторное произведение (тройное произведение векторов через ×) — отдельная более сложная формула (формула БАЦ-минус-ЦАБ), не совпадающая ни с каким «естественным» ассоциативным прочтением.Unlike Property 2 (associativity specifically with a scalar factor), the triple cross product of three vectors generally isn't associative: a × b is a vector lying in the plane perpendicular to a and b; applying × c to it gives a completely different result than first computing b × c and then crossing with a. The double cross product (a triple product of vectors via ×) is a separate, more complex formula (the "BAC minus CAB" rule), which doesn't match any "natural" associative reading.
Свойство 3 явно показывает, что a×b = 0 совершенно нормально для ненулевых a и b (если они коллинеарны) — тот же феномен «нет делителей нуля не гарантирован», что уже встречался у матриц (см. 1.2) и у скалярного произведения (см. 6.2). Стоит воспринимать это не как три отдельных совпадения, а как общее свойство операций над векторными/матричными объектами: обнуление произведения означает какое-то вырождение (коллинеарность, перпендикулярность, сингулярность матрицы), а не то, что один из сомножителей и правда нулевой.Property 3 explicitly shows that a×b = 0 is perfectly normal for nonzero a and b (if they're collinear) — the same "no zero divisors isn't guaranteed" phenomenon already seen with matrices (see 1.2) and with the dot product (see 6.2). This is best understood not as three separate coincidences, but as a general property of operations on vector/matrix objects: a product vanishing signals some kind of degeneracy (collinearity, perpendicularity, matrix singularity), not that one of the factors is actually zero.
источникsource
Свойства 1–4 с доказательствами — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §7.2 «Свойства векторного произведения», с. 52. Связь с паттернами из §1, §5, §6 и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Properties 1–4 with proofs — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §7.2 "Properties of the Cross Product," p. 52. The connections to the patterns from §1, §5, §6 and the "Gotchas" section are original additions.