7.3 — Глава II, §7. Векторное произведение векторов7.3 — Chapter II, §7. The cross product of vectors
Это, вероятно, самый элегантный момент во всей Главе II: координатная формула векторного произведения оказывается буквально определителем 3×3, где первая строка — символические орты i, j, k, а две другие — координаты векторов. Это не случайное сходство обозначений — это прямая связь с §2 (определители): вся аппаратура миноров и разложения по строке, построенная там для чисел, здесь применяется к строке, составленной из векторов, и результат — снова вектор. Круг курса замыкается: Глава I (линейная алгебра) даёт инструмент, которым Глава II (векторная алгебра) активно пользуется.This is probably the most elegant moment in all of Chapter II: the coordinate formula for the cross product turns out to be literally a 3×3 determinant, where the first row holds the symbolic unit vectors i, j, k, and the other two hold the vectors' coordinates. This isn't a coincidence of notation — it's a direct link back to §2 (determinants): the whole apparatus of minors and row expansion, built there for numbers, is applied here to a row made up of vectors, and the result is again a vector. The course's circle closes: Chapter I (linear algebra) supplies a tool that Chapter II (vector algebra) actively puts to use.
Будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, j и k:We'll use the table of cross products of the vectors i, j, and k:
i | j | k | |
|---|---|---|---|
i | 0 | k | -j |
j | -k | 0 | i |
k | j | -i | 0 |
Чтобы не ошибиться со знаком, удобно пользоваться схемой: расположить i, j, k по кругу; если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму совпадает с направлением стрелки (по кругу), то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берётся со знаком «минус».To avoid a sign error, it's convenient to use a scheme: arrange i, j, k in a circle; if the direction of the shortest path from the first vector to the second matches the direction of the arrow (around the circle), the product equals the third vector; if it doesn't match, the third vector is taken with a "minus" sign.
Диагональ таблицы — сплошные нули (свойство 3 из 7.2: i×i=j×j=k×k=0, коллинеарность вектора с самим собой), а вне диагонали — циклический паттерн из 7.1 (i×j=k, j×k=i, k×i=j) вместе с его антисимметричным зеркалом (j×i=-k, k×j=-i, i×k=-j) из свойства 1 в 7.2.The diagonal of the table is all zeros (Property 3 from 7.2: i×i=j×j=k×k=0, collinearity of a vector with itself), and off the diagonal is the cyclic pattern from 7.1 (i×j=k, j×k=i, k×i=j) together with its antisymmetric mirror (j×i=-k, k×j=-i, i×k=-j) from Property 1 in 7.2.
Пусть заданы два вектора a = a_x·i + a_y·j + a_z·k и b = b_x·i + b_y·j + b_z·k. Найдём векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения — линейность из свойств 2 и 4, см. 7.2):Let two vectors be given: a = a_x·i + a_y·j + a_z·k and b = b_x·i + b_y·j + b_z·k. Let's find the cross product of these vectors by multiplying them as polynomials (by virtue of the properties of the cross product — linearity from Properties 2 and 4, see 7.2):
a × b = (a_x·i + a_y·j + a_z·k) × (b_x·i + b_y·j + b_z·k) =
= a_x b_x·(i×i) + a_x b_y·(i×j) + a_x b_z·(i×k) +
a_y b_x·(j×i) + a_y b_y·(j×j) + a_y b_z·(j×k) +
a_z b_x·(k×i) + a_z b_y·(k×j) + a_z b_z·(k×k) =
= 0 + a_x b_y·k - a_x b_z·j - a_y b_x·k + 0 + a_y b_z·i +
a_z b_x·j - a_z b_y·i + 0 =
= (a_y b_z - a_z b_y)·i - (a_x b_z - a_z b_x)·j + (a_x b_y - a_y b_x)·k.т. е.i.e.
a × b = | a_y a_z | · i - | a_x a_z | · j + | a_x a_y | · k. (7.1)
| b_y b_z | | b_x b_z | | b_x b_y |a × b = | i j k |
| a_x a_y a_z | (7.2)
| b_x b_y b_z |так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки (см. свойство 7 определителей, 2.2). Равенство (7.2) легко запоминается.since the right-hand side of equality (7.1) matches the expansion of a third-order determinant along the elements of the first row (see Property 7 of determinants, 2.2). Equality (7.2) is easy to remember.
Это в точности та же логика, что уже была применена для вывода координатной формулы скалярного произведения (см. 6.3): разложить по базису, перемножить как многочлены, использовать таблицу базисных произведений. Но здесь итог получается ещё изящнее — не просто сумма трёх слагаемых, а формальный определитель, где «элементы» первой строки — не числа, а векторы i, j, k. Такая запись работает только потому, что разложение определителя по строке (свойство 7 из 2.2) — чисто алгебраическая процедура, не зависящая от того, что именно стоит на местах элементов: числа, буквы, символы или в данном случае векторы.This is exactly the same logic already applied to derive the coordinate formula for the dot product (see 6.3): decompose along the basis, multiply like polynomials, use the table of basis products. But here the result comes out even more elegant — not just a sum of three terms, but a formal determinant, where the "entries" of the first row aren't numbers but the vectors i, j, k. This notation works only because expanding a determinant along a row (Property 7 from 2.2) is a purely algebraic procedure, independent of what actually occupies the entry positions: numbers, letters, symbols, or in this case, vectors.
Обратите внимание на знак «минус» перед вторым слагаемым в (7.1) — это не опечатка, а ровно шахматная расстановка знаков алгебраических дополнений ((-1)^(i+j)) из 2.2: для элемента в позиции (1,2) сумма индексов нечётна, поэтому знак минус.Notice the "minus" sign before the second term in (7.1) — it's not a typo, it's exactly the checkerboard sign pattern of cofactors ((-1)^(i+j)) from 2.2: for the entry at position (1,2), the index sum is odd, hence the minus sign.
Решение. По формуле (7.2):Solution. By formula (7.2):
a × b = | i j k |
| 2 -1 3 |
| 1 4 -2 |Раскладываем по первой строке (свойство 7, см. 2.2):Expand along the first row (Property 7, see 2.2):
i-компонента: | -1 3 |
| 4 -2 | = (-1)·(-2) - 4·3 = 2 - 12 = -10
j-компонента (со знаком минус): -| 2 3 |
| 1 -2 | = -(2·(-2) - 1·3) = -(-4-3) = 7
k-компонента: | 2 -1 |
| 1 4 | = 2·4 - 1·(-1) = 8 + 1 = 9Итак, a × b = -10i + 7j + 9k = (-10; 7; 9).So, a × b = -10i + 7j + 9k = (-10; 7; 9).
Проверка (перпендикулярность, условие 1 из 7.1): a·(a×b) = 2·(-10) + (-1)·7 + 3·9 = -20 - 7 + 27 = 0 ✓ и b·(a×b) = 1·(-10) + 4·7 + (-2)·9 = -10 + 28 - 18 = 0 ✓. Скалярное произведение результата с каждым из исходных векторов равно нулю, что подтверждает перпендикулярность — используем свойство 5 скалярного произведения (см. 6.2) как инструмент проверки свойства 1 векторного произведения (см. 7.1).Check (perpendicularity, condition 1 from 7.1): a·(a×b) = 2·(-10) + (-1)·7 + 3·9 = -20 - 7 + 27 = 0 ✓ and b·(a×b) = 1·(-10) + 4·7 + (-2)·9 = -10 + 28 - 18 = 0 ✓. The dot product of the result with each of the original vectors is zero, confirming perpendicularity — using Property 5 of the dot product (see 6.2) as a tool to verify Property 1 of the cross product (see 7.1).
Формула (7.2) выглядит как определитель, но в строгом смысле определителя из 2.1 (число, сопоставляемое квадратной матрице чисел) здесь нет — первая строка состоит из векторов, а не чисел. Это мнемоническое, а не буквальное применение процедуры разложения — работает только потому, что все нужные для доказательства свойства (линейность, дистрибутивность) у векторного произведения совпадают со свойствами обычного умножения чисел. Не стоит пытаться применять к этому «определителю» другие свойства определителей (например, свойство 2 — «перестановка строк меняет знак» — здесь работает, потому что совпадает со свойством 1 антикоммутативности из 7.2, но само рассуждение идёт не через определители, а параллельно им).Formula (7.2) looks like a determinant, but in the strict sense of the determinant from 2.1 (a number assigned to a square matrix of numbers) there isn't one here — the first row consists of vectors, not numbers. This is a mnemonic, not a literal application of the expansion procedure — it works only because all the properties needed for the proof (linearity, distributivity) of the cross product match the properties of ordinary number multiplication. One shouldn't try to apply other determinant properties to this "determinant" (e.g., Property 2 — "swapping rows flips the sign" — does hold here, because it matches Property 1, anticommutativity, from 7.2, but the reasoning runs parallel to determinants, not through them).
При вычислении по формуле (7.1)/(7.2) легко забыть минус перед вторым (j-компонентным) слагаемым — это самая частая арифметическая ошибка при работе с этой формулой. Полезная проверка на этот случай — как в примере выше: вычислить скалярное произведение результата с одним из исходных векторов и убедиться, что оно равно нулю; ошибка в знаке почти всегда даёт ненулевую «проверку».When computing via formula (7.1)/(7.2), it's easy to forget the minus sign before the second (j-component) term — this is the most common arithmetic slip when working with this formula. A useful check for this case — as in the example above: compute the dot product of the result with one of the original vectors and confirm it's zero; a sign error almost always yields a nonzero "check."
источникsource
Таблица векторных произведений ортов, вывод формул (7.1)–(7.2) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §7.3 «Выражение векторного произведения через координаты», с. 53. Числовой пример с проверкой перпендикулярности и раздел «Грабли» — авторское дополнение.The table of cross products of the unit vectors, the derivation of formulas (7.1)–(7.2) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §7.3 "Expressing the Cross Product via Coordinates," p. 53. The numerical example with the perpendicularity check and the "Gotchas" section are original additions.