2.2 — Глава I, §2. Определители2.2 — Chapter I, §2. Determinants
Никто не считает определитель 10×10 по формуле из определения — там 10! = 3 628 800 слагаемых. Все свойства этого параграфа существуют ровно для одной практической цели: свести вычисление определителя произвольного порядка либо к треугольному виду (тогда det — просто произведение диагонали), либо к рекурсии через определители меньшего порядка (разложение по ряду). Именно так устроены реальные библиотеки линейной алгебры — через LU-разложение, а не через прямое применение определения.Nobody computes a 10×10 determinant from the definition's formula — that's 10! = 3,628,800 terms. Every property in this section exists for exactly one practical purpose: reducing the determinant of an arbitrary order either to triangular form (where det is just the product of the diagonal), or to a recursion over lower-order determinants (row/column expansion). This is exactly how real linear-algebra libraries work — via LU decomposition, not by directly applying the definition.
Первая группа свойств — это, по сути, каталог того, как элементарные преобразования матрицы (см. 1.2) влияют на определитель: одни преобразования оставляют его неизменным, другие — предсказуемо меняют знак или масштаб. Именно эта предсказуемость и делает возможным вычисление через приведение к треугольному виду.The first group of properties is essentially a catalog of how elementary matrix transformations (see 1.2) affect the determinant: some leave it unchanged, others change its sign or scale in a predictable way. That predictability is exactly what makes computing via triangular reduction possible.
Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами (det A = det A^T). Следствие: всё, что верно для строк в этом параграфе (свойства 2–8), автоматически верно и для столбцов — не нужно доказывать дважды.The determinant does not change if its rows are replaced by columns (det A = det A^T). Consequence: everything stated for rows in this section (properties 2–8) automatically holds for columns too — no need to prove it twice.
При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. Практическое следствие для метода Гаусса: если приходится менять местами строки при выборе ведущего элемента (partial pivoting — стандартная техника для численной устойчивости), нужно не забыть домножить итоговый определитель на -1 за каждую перестановку.Swapping two parallel rows (or columns) flips the sign of the determinant. Practical consequence for Gaussian elimination: if rows get swapped while choosing a pivot (partial pivoting — the standard technique for numerical stability), don't forget to multiply the final determinant by -1 for each swap.
Определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю. Геометрически — если два ряда-вектора совпадают, «параллелепипед» на них схлопывается в объект меньшей размерности, объём вырождается в ноль.A determinant with two identical rows (or columns) equals zero. Geometrically — if two row-vectors coincide, the "parallelepiped" they span collapses into an object of lower dimension, and the volume degenerates to zero.
Общий множитель элементов ряда можно вынести за знак определителя. Из свойств 3 и 4 сразу следует: если один ряд пропорционален параллельному, определитель равен нулю — частный, но крайне ходовой на практике случай линейно зависимых строк.A common factor of the elements of a row can be pulled outside the determinant. Properties 3 and 4 together immediately imply: if one row is proportional to a parallel one, the determinant is zero — a special but extremely common case of linearly dependent rows.
| a11 a12 a13 | | a11 a12 a13 |
| k·a11 k·a12 k·a13 | = k·| a11 a12 a13 | = k · 0 = 0.
| a31 a32 a33 | | a31 a32 a33 |Если элементы ряда — суммы двух слагаемых, определитель раскладывается в сумму двух определителей. Это буквально дистрибутивность определителя относительно сложения векторов внутри одного ряда — линейность по каждому ряду в отдельности (при фиксированных остальных).If the elements of a row are sums of two terms, the determinant splits into the sum of two determinants. This is literally the distributivity of the determinant with respect to vector addition within a single row — linearity in each row separately (holding the others fixed).
| a11 a12 a13+b | | a11 a12 a13 | | a11 a12 b |
| a21 a22 a23+c | = | a21 a22 a23 | + | a21 a22 c |
| a31 a32 a33+d | | a31 a32 a33 | | a31 a32 d |Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число. Это единственное из свойств 1–6, которое реально используется в вычислениях каждый день: именно оно гарантирует, что обнуление элементов под диагональю в методе Гаусса (шаг «вычесть строку, умноженную на коэффициент») не меняет определитель — можно спокойно приводить матрицу к треугольному виду и потом просто перемножить диагональ.The determinant does not change if the corresponding elements of a parallel row, scaled by any number, are added to a row. This is the only one of properties 1–6 that gets used in day-to-day computation: it's exactly what guarantees that zeroing out entries below the diagonal in Gaussian elimination (the "subtract a scaled row" step) doesn't change the determinant — you can freely reduce the matrix to triangular form and then just multiply the diagonal.
Используя свойства 5, 4 и 3:Using properties 5, 4, and 3:
| a11 a12 a13+k·a12 | | a11 a12 a13 | | a11 a12 a12 |
| a21 a22 a23+k·a22 | = | a21 a22 a23 | + k·| a21 a22 a22 | =
| a31 a32 a33+k·a32 | | a31 a32 a33 | | a31 a32 a32 |
= Δ + k · 0 = Δ.Вторая группа свойств решает другую задачу: как свести определитель порядка n к нескольким определителям порядка n-1 — то есть построить рекурсию, а не искать «магическую формулу» для произвольного n напрямую.The second group of properties solves a different problem: how to reduce an order-n determinant to several order-(n-1) determinants — building a recursion rather than hunting for a "magic formula" for arbitrary n directly.
Минором элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычёркиванием строки i и столбца j. Обозначается m_ij.The minor of an element a_ij of an order-n determinant is the order-(n-1) determinant obtained by deleting row i and column j. Denoted m_ij.
Δ = | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
m11 = | a22 a23 |, m32 = | a11 a13 |
| a32 a33 | | a21 a23 |Алгебраическим дополнением A_ij называется минор со знаком: A_ij = (-1)^(i+j) · m_ij — плюс, если i+j чётно, минус, если нечётно. Эта шахматная расстановка знаков — не произвол, а именно то, что нужно, чтобы сумма произведений элементов ряда на их алгебраические дополнения давала тот же результат, что и прямое вычисление по определению (что и утверждает свойство 7 ниже).The cofactor A_ij is the signed minor: A_ij = (-1)^(i+j) · m_ij — plus if i+j is even, minus if odd. This checkerboard pattern of signs isn't arbitrary — it's precisely what's needed so that the sum of the row elements times their cofactors reproduces the same result as direct computation from the definition (which is exactly what property 7 below asserts).
Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие им алгебраические дополнения: Δ = a11·A11 + a12·A12 + a13·A13 (для 3-го порядка, разложение по первой строке). Это и есть общий рекурсивный алгоритм вычисления определителя любого порядка: свести n к n-1, повторять, пока не останется определитель 2-го или 1-го порядка.A determinant equals the sum of the products of the elements of some row (or column) with their corresponding cofactors: Δ = a11·A11 + a12·A12 + a13·A13 (for order 3, expanding along the first row). This is the general recursive algorithm for computing a determinant of any order: reduce n to n-1, repeat until only an order-2 or order-1 determinant remains.
Вычислить определитель матрицы 4-го порядка:Compute the determinant of a 4th-order matrix:
| 3 5 7 8 |
| -1 7 0 1 |
| 0 5 3 2 |
| 1 -1 7 4 |Для разложения выбирают ряд с наибольшим числом нулей — соответствующие слагаемые обнуляются, и вычислений становится меньше. Здесь во втором столбце и во второй строке есть нули, поэтому разложение по первому столбцу (с одним нулевым элементом на третьей позиции) сразу убирает одно из четырёх слагаемых:For the expansion, one picks the row/column with the most zeros — the corresponding terms vanish, cutting down the work. Here, expanding along the first column (which has one zero entry, at the third position) immediately removes one of the four terms:
= 3·| 7 0 1 | - (-1)·| 5 7 8 | + 0·(...) - 1·| 5 7 8 |
| 5 3 2 | | 5 3 2 | | 7 0 1 |
|-1 7 4 | |-1 7 4 |
= 3·(7·3·4 + (-1)·0·2 + 5·7·1 - (-1)·3·1 - 7·7·2 - 5·0·4) +
+ (5·3·4 + (-1)·7·2 + 5·7·8 - (-1)·3·8 - 5·7·4 - 5·7·2) -
- (5·0·2 + 7·1·5 + 7·3·8 - 5·0·8 - 3·1·5 - 7·7·2) = 122.Сумма произведений элементов ряда на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю: a11·A21 + a12·A22 + a13·A23 = 0. По сути это переиспользование свойства 3 (определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю) — эту сумму можно интерпретировать как разложение определителя матрицы, у которой строка продублирована, а такой определитель заведомо нулевой.The sum of the products of the elements of a row with the cofactors of the elements of a parallel row equals zero: a11·A21 + a12·A22 + a13·A23 = 0. This essentially reuses property 3 (a determinant with two identical rows is zero) — this sum can be read as the expansion of the determinant of a matrix with a duplicated row, which is necessarily zero.
Свойства 7 и 8 вместе — это в точности формула обратной матрицы через присоединённую (см. 3.2): диагональные члены дают det A, недиагональные обнуляются.Properties 7 and 8 together are exactly the formula for the inverse matrix via the adjugate (see 3.2): the diagonal terms give det A, the off-diagonal ones vanish.
Прямое рекурсивное разложение по ряду (свойство 7) без дополнительных ухищрений стоит O(n!) — для n = 10 это уже больше 3.6 млн операций, для n = 20 — астрономическое число. Поэтому на практике определитель почти никогда не считают через разложение по ряду напрямую: сначала приводят матрицу к треугольному виду (LU-разложение, O(n³)) свойством 6, а дальше просто перемножают диагональ.Direct recursive row expansion (property 7) without shortcuts costs O(n!) — for n = 10 that's already over 3.6 million operations, for n = 20 it's an astronomical number. In practice, determinants are almost never computed via direct row expansion: the matrix is first reduced to triangular form (LU decomposition, O(n³)) using property 6, and then the diagonal is simply multiplied out.
Свойство 7 верно для любого ряда — результат один и тот же независимо от выбора. Но количество арифметики сильно зависит от выбора: ряд с нулями обнуляет соответствующие слагаемые заранее (как в Примере 2.4), а ряд без нулей заставляет считать все n миноров. Частая ошибка на экзамене/собеседовании — раскладывать по первой строке «по умолчанию», не посмотрев, нет ли более выгодного ряда.Property 7 holds for any row or column — the result is the same regardless of the choice. But the amount of arithmetic depends heavily on that choice: a row with zeros kills the corresponding terms upfront (as in Example 2.4), while a row with no zeros forces computing all n minors. A common exam/interview mistake is expanding along the first row "by default" without checking for a cheaper one.
источникsource
Свойства 1–8, определения минора/алгебраического дополнения и Примеры 2.3–2.4 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава I, §2.2 «Свойства определителей», с. 22–24. Связь с LU-разложением, оценки сложности вычислений и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Properties 1–8, the definitions of minor/cofactor, and Examples 2.3–2.4 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter I, §2.2 "Properties of Determinants," pp. 22–24. The connection to LU decomposition, complexity estimates, and the "Gotchas" section are original additions.