Некоторые приложения векторного произведенияSome applications of the cross product

Если a ∥ b, то a × b = 0 (и наоборот), т. е.If a ∥ b, then a × b = 0 (and conversely), i.e.

a × b = | i    j    k  |
        | a_x  a_y  a_z |  = 0   ⟺   a_x/b_x = a_y/b_y = a_z/b_z   ⟺   a ∥ b.
        | b_x  b_y  b_z |

Это прямое переиспользование свойства 3 из 7.2 в координатной форме — но заметьте, насколько оно избыточно по сравнению с критерием из 5.5 (простое сравнение трёх отношений): здесь нужно вычислить весь вектор a×b (три числа), чтобы убедиться, что все три компоненты нулевые, тогда как в 5.5 хватало сравнить отношения напрямую. На практике для проверки коллинеарности почти всегда выгоднее использовать критерий из 5.5, а не полное векторное произведение — это иллюстрация общего принципа: один и тот же факт может иметь несколько формулировок разной вычислительной стоимости.This is a direct reuse of Property 3 from 7.2 in coordinate form — but notice how redundant it is compared to the criterion from 5.5 (simply comparing three ratios): here, the entire vector a×b (three numbers) must be computed to confirm all three components are zero, whereas in 5.5 comparing the ratios directly was enough. In practice, checking collinearity almost always favors the criterion from 5.5 over the full cross product — an illustration of a general principle: the same fact can have several formulations of differing computational cost.

Согласно определению векторного произведения векторов a и b, |a×b| = |a|·|b|·sin φ, и, значит, S_пар = |a×b|. И, значит,According to the definition of the cross product of vectors a and b, |a×b| = |a|·|b|·sin φ, and hence S_par = |a×b|. And hence

S_Δ = (1/2)·|a × b|.

Это уже упоминалось в «Граблях» из 7.1: |a×b| сама по себе — площадь параллелограмма, а площадь треугольника — ровно её половина (диагональ параллелограмма разбивает его на два равных по площади треугольника). Обратите внимание на практическое удобство: чтобы найти площадь треугольника с вершинами A, B, C в пространстве, не нужны ни формула Герона, ни явное построение высоты — достаточно составить два вектора из общей вершины (например, AB и AC) и вычислить половину модуля их векторного произведения.This was already mentioned in the "Gotchas" from 7.1: |a×b| by itself is the area of the parallelogram, and the triangle's area is exactly half of it (the parallelogram's diagonal splits it into two triangles of equal area). Notice the practical convenience: to find the area of a triangle with vertices A, B, C in space, neither Heron's formula nor an explicit altitude construction is needed — it's enough to form two vectors from a common vertex (e.g. AB and AC) and compute half the magnitude of their cross product.

Пусть в точке A приложена сила F = AB и пусть O — некоторая точка пространства. Из физики известно, что моментом силы F относительно точки O называется вектор M, который проходит через точку O и:Let a force F = AB be applied at a point A, and let O be some point in space. From physics it is known that the moment of a force F about a point O is a vector M that passes through the point O and:

1. перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B;is perpendicular to the plane passing through the points O, A, B;
2. численно равен произведению силы на плечо: |M| = |F|·ON = |F|·|r|·sin φ = |F|·|OA|·sin(F, OA);is numerically equal to the force times the arm: |M| = |F|·ON = |F|·|r|·sin φ = |F|·|OA|·sin(F, OA);
3. образует правую тройку с векторами OA и AB.forms a right-handed triple with the vectors OA and AB.

Стало быть,Hence,

M = OA × F.

Присмотритесь: эти три условия (1–3) для момента силы дословно повторяют структуру трёх условий из определения векторного произведения в 7.1 (перпендикулярность плоскости, длина через синус угла и плечо, правая тройка). Это не совпадение — это прямое применение определения векторного произведения к конкретной физической ситуации: момент силы — это буквально OA × F, и всё физическое содержание («сила, приложенная на плече, создаёт вращающий эффект») уже закодировано в абстрактном геометрическом определении из 7.1, за много страниц до того, как в дело вступила физика.Look closely: these three conditions (1–3) for the moment of a force literally repeat the structure of the three conditions in the definition of the cross product in 7.1 (perpendicularity to the plane, length via the sine of the angle and the arm, right-handed triple). This isn't a coincidence — it's a direct application of the cross-product definition to a specific physical situation: the moment of a force is literally OA × F, and all the physical content ("a force applied at an arm creates a turning effect") was already encoded in the abstract geometric definition from 7.1, many pages before physics ever entered the picture.

Скорость v точки M твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v = ω × r, где r = OM, O — некоторая неподвижная точка оси.The velocity v of a point M of a rigid body rotating with angular velocity ω about a fixed axis is given by Euler's formula v = ω × r, where r = OM, O being some fixed point on the axis.

Эта формула красиво замыкает список приложений: «сила на плече» (момент) и «угловая скорость на радиус» (линейная скорость) — структурно один и тот же паттерн вектор_1 × вектор_2, применённый к разным физическим величинам. И там, и там результат перпендикулярен плоскости двух исходных векторов (для скорости вращения — это как раз и означает, что линейная скорость точки перпендикулярна и оси вращения, и радиусу до точки, что интуитивно верно: точка на ободе колеса движется по касательной к окружности, а не «наружу» или «вдоль оси»).This formula nicely closes out the list of applications: "force times arm" (moment) and "angular velocity times radius" (linear velocity) are structurally the same vector_1 × vector_2 pattern, applied to different physical quantities. In both cases, the result is perpendicular to the plane of the two original vectors (for rotational velocity, this is exactly what it means for the linear velocity of a point to be perpendicular both to the axis of rotation and to the radius to the point — intuitively correct: a point on the rim of a wheel moves tangent to the circle, not "outward" or "along the axis").