13.3 — Глава V, §13. Множества. Действительные числа13.3 — Chapter V, §13. Sets. Real numbers
Последний пункт §13 переводит абстрактный язык 13.1–13.2 (множества, ℝ, полнота) в конкретные, часто используемые подмножества ℝ. Окрестность точки — самое важное понятие этой страницы: именно оно даст точный смысл фразе «x стремится к a» в определении предела (16.1), заменяя интуитивное «подходит всё ближе и ближе» строгим неравенством.The last item of §13 translates the abstract language of 13.1–13.2 (sets, ℝ, completeness) into concrete, frequently used subsets of ℝ. The neighborhood of a point is the most important concept on this page: it's exactly what will give precise meaning to the phrase "x tends to a" in the definition of a limit (16.1), replacing the intuitive "gets closer and closer" with a rigorous inequality.
| названиеname | обозначениеnotation | множествоset |
|---|---|---|
| интервалopen interval | (a;b) | {x∈ℝ | a<x<b} |
| отрезок (замкнутый промежуток)closed interval | [a;b] | {x∈ℝ | a≤x≤b} |
| полуинтервалыhalf-open intervals | [a;b), (a;b] | {a≤x<b}, {a<x≤b} |
| лучиrays | (a;+∞), (-∞;a] и т.д.etc. | {x>a}, {x≤a} и т.д.etc. |
Все эти обозначения — частные случаи характеристического свойства из 13.1 ({x | P(x)}), где P(x) — конкретное неравенство или система неравенств. Символы +∞ и -∞ — не числа, а условные обозначения «неограниченно продолжается»; они не входят в ℝ ни в каком из промежутков (лучи всегда открыты со стороны бесконечности) — забегая вперёд, именно это отсутствие ∞ как числа в ℝ станет источником одной из главных тонкостей при определении предела при x→∞ в 16.3.All these notations are special cases of the characteristic property from 13.1 ({x | P(x)}), where P(x) is a specific inequality or system of inequalities. The symbols +∞ and -∞ aren't numbers but conventional shorthand for "continues without bound"; they don't belong to ℝ in any of the intervals (rays are always open on the infinite side) — looking ahead, this very absence of ∞ as a number in ℝ will become the source of one of the main subtleties in defining the limit as x→∞ in 16.3.
Длина отрезка/интервала [a;b] или (a;b) — число b-a; центр — число (a+b)/2 (уже знакомая формула середины отрезка из 9.2, здесь применённая к отрезку числовой прямой, а не отрезку между двумя произвольными точками плоскости).The length of a closed or open interval [a;b] or (a;b) is the number b-a; its center is the number (a+b)/2 (the already-familiar midpoint-of-a-segment formula from 9.2, here applied to a segment of the number line rather than a segment between two arbitrary points in the plane).
Пусть a∈ℝ, ε>0. ε-окрестностью точки a называется интервал (a-ε; a+ε), т. е. множество точек x, для которых |x-a| < ε.Let a∈ℝ, ε>0. The ε-neighborhood of the point a is the interval (a-ε; a+ε), i.e. the set of points x for which |x-a| < ε.
Рис. 44. ε-окрестность точки a: интервал (a-ε; a+ε)Fig. 44. The ε-neighborhood of the point a: the interval (a-ε; a+ε)
Запись |x-a| < ε — прямое применение модуля разности как расстояния между точками числовой прямой (частный, одномерный случай формулы расстояния из 9.2, где вместо √((x2-x1)²+(y2-y1)²) остаётся просто |x2-x1|). ε-окрестность, таким образом, — это в точности множество точек, находящихся от a на расстоянии меньше ε: одномерный аналог круга (открытого диска) радиуса ε с центром в точке a.The notation |x-a| < ε is a direct application of the absolute value of a difference as the distance between points on the number line (the special, one-dimensional case of the distance formula from 9.2, where instead of √((x2-x1)²+(y2-y1)²) only |x2-x1| remains). The ε-neighborhood, then, is exactly the set of points at distance less than ε from a: the one-dimensional analogue of a disk (open disk) of radius ε centered at the point a.
Проколотой ε-окрестностью точки a называется ε-окрестность точки a без самой этой точки: (a-ε;a) ∪ (a;a+ε), т. е. множество точек, для которых 0 < |x-a| < ε.A punctured ε-neighborhood of the point a is the ε-neighborhood of a with the point a itself removed: (a-ε;a) ∪ (a;a+ε), i.e. the set of points for which 0 < |x-a| < ε.
Проколотая окрестность записывается как объединение двух интервалов — прямое применение операции ∪ из 13.1. Именно проколотая, а не обычная окрестность будет использоваться в определении предела функции в точке (16.1): предел функции в точке a описывает поведение функции рядом с a, а не в самой точке a — функция может быть там даже не определена (это станет ключевым для понимания устранимого разрыва в 19.3).A punctured neighborhood is written as the union of two intervals — a direct application of the ∪ operation from 13.1. It's the punctured, not the ordinary, neighborhood that will be used in the definition of the limit of a function at a point (16.1): the limit of a function at a point a describes the function's behavior near a, not at a itself — the function might not even be defined there (this will become key to understanding a removable discontinuity in 19.3).
Симметрично определяются окрестности бесконечности: окрестностью +∞ называют любой луч (M;+∞) при достаточно большом M, окрестностью -∞ — луч (-∞;M) при достаточно малом (большом по модулю отрицательном) M. Эти окрестности понадобятся при определении предела функции при x→∞ (16.3) — тем же способом, каким ε-окрестность точки a понадобится для предела при x→a (16.1).Symmetrically, neighborhoods of infinity are defined: a neighborhood of +∞ is any ray (M;+∞) for sufficiently large M, and a neighborhood of -∞ is the ray (-∞;M) for sufficiently small (large in absolute value, negative) M. These neighborhoods will be needed when defining the limit of a function as x→∞ (16.3) — the same way the ε-neighborhood of a point a will be needed for the limit as x→a (16.1).
Множество X ⊆ ℝ называется ограниченным сверху, если существует число M такое, что x ≤ M для всех x∈X (M называют верхней гранью); аналогично определяется ограниченность снизу. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется просто ограниченным — эквивалентно, существует M>0 такое, что |x|≤M для всех x∈X.A set X ⊆ ℝ is called bounded above if there exists a number M such that x ≤ M for all x∈X (M is called an upper bound); bounded below is defined analogously. A set bounded both above and below is simply called bounded — equivalently, there exists M>0 such that |x|≤M for all x∈X.
Эта терминология — прямая подготовка к понятиям §15 (ограниченная последовательность, 15.4) и §19 (свойства функций, непрерывных на отрезке, 19.5, где ограниченность непрерывной функции на отрезке — одна из ключевых теорем). Наименьшая из верхних граней — та самая точная верхняя грань (супремум), фигурирующая в аксиоме полноты (13.2): полнота ℝ гарантирует, что у любого ограниченного сверху непустого множества супремум существует и является действительным числом.This terminology directly prepares the concepts of §15 (a bounded sequence, 15.4) and §19 (properties of functions continuous on a closed interval, 19.5, where the boundedness of a continuous function on a closed interval is one of the key theorems). The smallest of the upper bounds is exactly the least upper bound (supremum) figuring in the completeness axiom (13.2): the completeness of ℝ guarantees that any nonempty set bounded above has a supremum that is a real number.
Начинающие иногда представляют «окрестность точки» как нечто фиксированное, заранее заданное. На самом деле определение работает для любого ε>0 — сколь угодно маленького; именно эта свобода выбора произвольно малого ε и станет сутью определения предела в 16.1 («для любого ε>0 найдётся окрестность точки a, в которой...»). Читать «окрестность» как «какая-то одна конкретная окрестность» вместо «любая, сколь угодно малая» — источник непонимания всего последующего аппарата пределов.Beginners sometimes picture "a neighborhood of a point" as something fixed, given in advance. In fact the definition works for any ε>0 — arbitrarily small; it's exactly this freedom to choose an arbitrarily small ε that will become the essence of the limit definition in 16.1 ("for any ε>0 there exists a neighborhood of the point a such that..."). Reading "a neighborhood" as "some one specific neighborhood" instead of "any, arbitrarily small one" is a source of misunderstanding the entire limit apparatus that follows.
Определение проколотой окрестности исключает a безусловно — независимо от того, определена ли в этой точке какая-либо функция и чему равно её значение. Смешивать «функция определена в a» с «точка a входит в проколотую окрестность a» — ошибка: второе неверно всегда, по самому определению, а первое — отдельный вопрос, который встанет только в 19.1 при определении непрерывности.The definition of a punctured neighborhood excludes a unconditionally — regardless of whether some function is defined at that point and what its value is. Conflating "the function is defined at a" with "the point a belongs to the punctured neighborhood of a" is a mistake: the latter is always false, by definition alone, while the former is a separate question that will only arise in 19.1 when defining continuity.
источникsource
Числовые промежутки, ε-окрестность и проколотая окрестность точки, окрестности бесконечности, ограниченные множества — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §13.3 «Числовые промежутки. Окрестность точки», с. 119–120. Связь с 9.2 и подготовка к §15–16, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Numeric intervals, the ε-neighborhood and punctured neighborhood of a point, neighborhoods of infinity, bounded sets — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §13.3 "Numeric Intervals. The Neighborhood of a Point," pp. 119–120. The connection to 9.2 and the preparation for §15–16, and the "Gotchas" section, are original additions.