14.1 — Глава V, §14. Функция14.1 — Chapter V, §14. Function
§13 дало язык множеств и точный смысл числовой прямой. Здесь этот язык впервые применяется к самому центральному объекту всего дальнейшего курса — функции. Определение окажется знакомым: это то же самое соответствие «каждому x — единственный y», что уже неявно использовалось в разрешённой форме уравнения линии y=f(x) из 10.1, только теперь формализованное через множества.§13 gave the language of sets and a precise meaning to the number line. Here that language is applied for the first time to the single most central object of the entire rest of the course — the function. The definition will feel familiar: it's the same correspondence, "each x gets exactly one y," already implicitly used in the solved form of a curve's equation y=f(x) from 10.1, only now formalized through sets.
Пусть даны два непустых множества X и Y. Функцией (отображением) f: X → Y называется правило (закон), по которому каждому элементу x∈X ставится в соответствие единственный элемент y∈Y, обозначаемый y=f(x).Let two nonempty sets X and Y be given. A function (mapping) f: X → Y is a rule (law) that assigns to each element x∈X exactly one element y∈Y, denoted y=f(x).
Слово «единственный» — не второстепенная деталь, а сердце определения: именно оно отличает функцию от произвольного соответствия. Множество X называют областью определения функции (обозначают D(f)), переменную x — независимой переменной (или аргументом), y — зависимой переменной (или значением функции). Множество всех значений, которые принимает y, — область значений функции, E(f) ⊆ Y (обычно строгое подмножество, не всё Y, см. Грабли).The word "exactly one" isn't a minor detail — it's the heart of the definition: it's precisely what distinguishes a function from an arbitrary correspondence. The set X is called the function's domain (denoted D(f)), the variable x is the independent variable (or argument), y is the dependent variable (or the value of the function). The set of all values y takes on is the function's range, E(f) ⊆ Y (usually a strict subset, not all of Y, see Gotchas).
Это определение — прямое применение аппарата 13.1: функция — частный вид соответствия между двумя множествами, где к обычному требованию «каждому x хоть что-то соответствует» добавлено требование единственности. В терминах множеств функцию можно строго определить как подмножество Γ ⊆ X×Y (декартова произведения, уже неявно использованного при задании точки парой координат в 9.1) такое, что для каждого x∈X существует ровно одна пара (x;y)∈Γ — это множество Γ и есть график функции (14.2).This definition is a direct application of the apparatus from 13.1: a function is a specific kind of correspondence between two sets, where the ordinary requirement "each x corresponds to something" gains a uniqueness requirement. In set-theoretic terms, a function can be rigorously defined as a subset Γ ⊆ X×Y (the Cartesian product, already implicitly used when specifying a point by a pair of coordinates in 9.1) such that for each x∈X there exists exactly one pair (x;y)∈Γ — this set Γ is exactly the function's graph (14.2).
Понятие функции не ново для этого конспекта — оно использовалось неявно на протяжении всей Части I, просто без явного названия. Разрешённое уравнение линии y=f(x) из 10.1 — функция от x к y. Уравнение с угловым коэффициентом y=kx+b (10.3) — линейная функция. Параметрические уравнения линии (x=x(t), y=y(t), 10.1) — две функции от общего параметра t. Признание этих объектов функциями задним числом — не переименование ради переименования, а начало систематического изучения их поведения (предел, непрерывность, производная), для которого геометрическая интерпретация «линия» слишком узка.The concept of a function isn't new to this outline — it's been used implicitly throughout all of Part I, just without an explicit name. The solved equation of a curve y=f(x) from 10.1 is a function from x to y. The slope-intercept equation y=kx+b (10.3) is a linear function. The parametric equations of a curve (x=x(t), y=y(t), 10.1) are two functions of a common parameter t. Recognizing these objects as functions after the fact isn't renaming for its own sake — it's the start of systematically studying their behavior (limit, continuity, derivative), for which the geometric interpretation "a curve" is too narrow.
Определение выше не требует, чтобы X и Y были числовыми множествами. Правило «каждой точке M(x;y;z) пространства сопоставить расстояние до начала координат» — функция из ℝ³ в ℝ (это в точности формула √(x²+y²+z²) из 12.1, только теперь названная своим общим именем). Правило «каждой матрице A сопоставить её определитель» — функция из множества матриц в ℝ (2.1). Глава V сосредоточится на самом узком и важном частном случае — числовых функциях, где и X, и Y — подмножества ℝ (это будет уточнено уже в 14.2), но общее определение шире и годится для объектов из всех предыдущих глав.The definition above doesn't require X and Y to be number sets. The rule "assign to each point M(x;y;z) of space its distance from the origin" is a function from ℝ³ to ℝ (this is exactly the formula √(x²+y²+z²) from 12.1, now just called by its general name). The rule "assign to each matrix A its determinant" is a function from the set of matrices to ℝ (2.1). Chapter V will focus on the narrowest and most important special case — numeric functions, where both X and Y are subsets of ℝ (this will be made precise already in 14.2), but the general definition is broader and applies to objects from every preceding chapter.
В определении f: X→Y множество Y — это лишь «место, куда разрешено попадать» значениям функции, а не гарантия, что каждый элемент Y действительно достигается. Например, для f(x)=x² с Y=ℝ область значений E(f)=[0;+∞) — строгое подмножество Y=ℝ, отрицательные числа не достигаются никогда. Путать Y (формальную «мишень») с E(f) (реально достигнутыми значениями) — источник ошибок при поиске обратной функции (14.4), где именно точное совпадение Y=E(f) оказывается критически важным условием.In the definition f: X→Y, the set Y is merely "where the function's values are allowed to land," not a guarantee that every element of Y is actually attained. For instance, for f(x)=x² with Y=ℝ, the range is E(f)=[0;+∞) — a strict subset of Y=ℝ; negative numbers are never attained. Confusing Y (the formal "target") with E(f) (the actually attained values) is a source of errors when finding an inverse function (14.4), where exact equality Y=E(f) turns out to be a critically important condition.
Определение функции требует единственности только в направлении x→y: каждому x — один y. Оно НЕ требует, чтобы разные x давали разные y — это отдельное, более сильное свойство (инъективность), которое будет отдельно определено в 14.3 и понадобится для существования обратной функции в 14.4. Функция f(x)=x² — вполне законная функция, хотя f(2)=f(-2)=4: одному значению y=4 соответствуют два разных x, и это не противоречит определению функции.The definition of a function requires uniqueness only in the direction x→y: each x gets one y. It does NOT require different x to give different y — that's a separate, stronger property (injectivity), which will be defined separately in 14.3 and will be needed for an inverse function to exist in 14.4. The function f(x)=x² is a perfectly legitimate function, even though f(2)=f(-2)=4: two different values of x correspond to the one value y=4, and this doesn't contradict the definition of a function.
источникsource
Определение функции, область определения и область значений — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §14.1 «Понятие функции», с. 120. Связь с 10.1/12.1/9.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The definition of a function, domain and range — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §14.1 "The Concept of a Function," p. 120. The connection to 10.1/12.1/9.1, and the "Gotchas" section, are original additions.