14.2 — Глава V, §14. Функция14.2 — Chapter V, §14. Function
Сужаем общее определение из 14.1 (произвольные X, Y) до частного, но центрального для всей Главы V случая — числовых функций, где X, Y ⊆ ℝ. Здесь же появляется геометрический двойник функции — её график, ровно та же конструкция, что уже неоднократно строилась в Главах III–IV, только теперь для неё определяется точный критерий: не любая линия на плоскости является графиком функции.Narrowing the general definition from 14.1 (arbitrary X, Y) to the specific case central to all of Chapter V — numeric functions, where X, Y ⊆ ℝ. Here too appears the function's geometric double — its graph, exactly the same construction already built repeatedly in Chapters III–IV, only now given a precise criterion: not every curve in the plane is the graph of a function.
Числовой функцией называется функция f: X→Y, у которой X⊆ℝ и Y⊆ℝ, — то есть частный случай общего определения из 14.1, где оба множества являются числовыми в смысле §13. Именно этот случай (а не произвольные X, Y из абстрактных множеств) станет предметом всей оставшейся части Главы V: пределы (§15–17), непрерывность (§19), производная (§20) определяются именно для числовых функций.A numeric function is a function f: X→Y in which X⊆ℝ and Y⊆ℝ — that is, a special case of the general definition from 14.1, where both sets are numeric in the sense of §13. It's exactly this case (not arbitrary X, Y from abstract sets) that will be the subject of the rest of Chapter V: limits (§15–17), continuity (§19), the derivative (§20) are all defined specifically for numeric functions.
Графиком функции y=f(x), x∈D(f), называется множество всех точек плоскости Oxy с координатами (x; f(x)), где x пробегает область определения.The graph of a function y=f(x), x∈D(f), is the set of all points of the plane Oxy with coordinates (x; f(x)), where x ranges over the domain.
Это в точности то же множество Γ⊆X×Y, отмеченное в 14.1 как формальное определение функции, теперь изображённое как подмножество координатной плоскости из 9.1 — той же самой плоскости Oxy, которая строилась в Главе III для линий вида F(x;y)=0. Разница в терминах, не в объекте: график функции — это линия y=f(x), разрешённое уравнение линии из 10.1 в его самой прямой форме.This is exactly the same set Γ⊆X×Y noted in 14.1 as the formal definition of a function, now pictured as a subset of the coordinate plane from 9.1 — the very same plane Oxy built in Chapter III for curves of the form F(x;y)=0. The difference is in terminology, not in the object: a function's graph is the curve y=f(x), the solved form of a curve's equation from 10.1 in its most direct shape.
Рис. 45. График функции y=f(x): точка (x; f(x)) для каждого x из области определенияFig. 45. The graph of the function y=f(x): the point (x; f(x)) for each x in the domain
Но не любая линия на плоскости — график функции: критерий из 14.1 («единственный y для каждого x») в геометрических терминах означает, что любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке (вертикальный тест). Окружность x²+y²=R² (11.2) не является графиком функции целиком (вертикальная прямая x=x0 при |x0|<R пересекает её в двух точках), хотя каждая из её половин (y=√(R²-x²) и y=-√(R²-x²)) — самостоятельная функция.But not every curve in the plane is the graph of a function: the criterion from 14.1 ("exactly one y for each x") in geometric terms means that any vertical line intersects the graph in at most one point (the vertical line test). The circle x²+y²=R² (11.2) isn't the graph of a function as a whole (a vertical line x=x0 for |x0|<R crosses it at two points), even though each of its halves (y=√(R²-x²) and y=-√(R²-x²)) is a standalone function.
| способmethod | описаниеdescription |
|---|---|
| аналитическийanalytic | формулой, y=f(x) — самый распространённый способ; включает явное (y=x²), неявное (x²+y²=1, тема 21.1) и кусочное задание (разные формулы на разных промежутках)by a formula, y=f(x) — the most common method; includes explicit (y=x²), implicit (x²+y²=1, the topic of 21.1), and piecewise definitions (different formulas on different intervals) |
| табличныйtabular | таблицей значений — конечный набор пар (xi; yi), типично для экспериментальных данных без известной формулыby a table of values — a finite set of pairs (xi; yi), typical for experimental data with no known formula |
| графическийgraphical | кривой на плоскости, удовлетворяющей вертикальному тесту — например, показания самописца прибораby a curve in the plane satisfying the vertical line test — say, the trace from a device's chart recorder |
| словесныйverbal | описанием правила без формулы — например, «целая часть числа x» (функция [x])by describing the rule without a formula — say, "the integer part of x" (the function [x]) |
| параметрическийparametric | x=x(t), y=y(t) — прямое переиспользование параметрических уравнений линии из 10.1/12.1, тема 21.2x=x(t), y=y(t) — a direct reuse of a curve's parametric equations from 10.1/12.1, the topic of 21.2 |
Все пять способов задают один и тот же объект — множество пар (x;f(x)) из определения выше — и для одной функции часто применимы сразу несколько (например, y=x² задана аналитически, но её же можно свести к таблице конкретных значений или изобразить графически). Выбор способа — вопрос удобства для конкретной задачи, а не разница в самой функции.All five methods define the same object — the set of pairs (x;f(x)) from the definition above — and several are often applicable to one function at once (say, y=x² is defined analytically, but can equally well be reduced to a table of specific values or drawn graphically). The choice of method is a matter of convenience for a specific problem, not a difference in the function itself.
При аналитическом задании область определения не указывается явно, но подразумевается — это множество x, для которых формула имеет смысл (естественная область определения). Для y=1/x это ℝ\{0}, для y=√x — [0;+∞), для y=lg x — (0;+∞). Забыть проверить область определения перед дальнейшим анализом функции (пределы, производные) — источник ошибок, которые проявятся позже как «необъяснимые» разрывы или неопределённости.With an analytic definition, the domain isn't stated explicitly but is implied — it's the set of x for which the formula makes sense (the natural domain). For y=1/x this is ℝ\{0}, for y=√x it's [0;+∞), for y=lg x it's (0;+∞). Forgetting to check the domain before further analyzing a function (limits, derivatives) is a source of errors that later show up as "unexplained" discontinuities or indeterminacies.
Критерий «график функции» требует, чтобы вертикальная прямая пересекала кривую не более чем в одной точке — это про единственность y для данного x. Пересечение с горизонтальной прямой в нескольких точках — совершенно нормально и не нарушает определения функции (это как раз ситуация из 14.1: f(2)=f(-2)=4 для y=x², горизонтальная прямая y=4 пересекает параболу в двух точках). Путать эти два теста — источник ошибок при проверке, является ли данная кривая графиком функции.The "graph of a function" criterion requires that a vertical line intersect the curve in at most one point — this is about the uniqueness of y for a given x. Intersecting a horizontal line at several points is perfectly normal and doesn't violate the definition of a function (it's exactly the situation from 14.1: f(2)=f(-2)=4 for y=x², the horizontal line y=4 crosses the parabola at two points). Confusing these two tests is a source of errors when checking whether a given curve is the graph of a function.
источникsource
Числовая функция, график функции, способы задания функции — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §14.2 «Числовые функции. График функции. Способы задания функций», с. 120–122. Связь с 9.1/10.1/11.2, вертикальный тест, раздел «Грабли» — авторское дополнение.A numeric function, the graph of a function, ways to define a function — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §14.2 "Numeric Functions. The Graph of a Function. Ways to Define a Function," pp. 120–122. The connection to 9.1/10.1/11.2, the vertical line test, and the "Gotchas" section are original additions.