14.3 — Глава V, §14. Функция14.3 — Chapter V, §14. Function
Четыре свойства, которыми функция может обладать (или нет) независимо от конкретной формулы: монотонность, чётность/нечётность, периодичность, ограниченность. Все четыре — не абстрактные ярлыки, а рабочий инструмент: монотонность понадобится для существования обратной функции уже в 14.4, ограниченность — для теорем §19 о непрерывных функциях, чётность — для сокращения работы при построении графиков в 25.8.Four properties a function may or may not have, independent of its specific formula: monotonicity, evenness/oddness, periodicity, boundedness. All four are working tools, not abstract labels: monotonicity will be needed for the existence of an inverse function already in 14.4, boundedness for the theorems on continuous functions in §19, evenness for cutting down the work of graphing in 25.8.
Функция f называется возрастающей на множестве X⊆D(f), если для любых x1,x2∈X из x1<x2 следует f(x1)<f(x2); убывающей — если из x1<x2 следует f(x1)>f(x2). Если неравенство для значений нестрогое (≤/≥), функцию называют неубывающей/невозрастающей. Общий термин для всех четырёх случаев — монотонная функция.A function f is called increasing on a set X⊆D(f) if for any x1,x2∈X, x1<x2 implies f(x1)<f(x2); decreasing if x1<x2 implies f(x1)>f(x2). If the inequality for the values is non-strict (≤/≥), the function is called non-decreasing/non-increasing. The general term for all four cases is a monotonic function.
Монотонность почти всегда рассматривается на конкретном промежутке, а не на всей области определения: y=x² убывает на (-∞;0] и возрастает на [0;+∞), не будучи монотонной на ℝ целиком. Это разбиение на промежутки монотонности станет центральной задачей исследования функции в 25.3, где монотонность будет определяться уже не напрямую по определению, а по знаку производной — существенно более эффективный инструмент, доступный только после §20.Monotonicity is almost always considered on a specific interval, not the whole domain: y=x² decreases on (-∞;0] and increases on [0;+∞), without being monotonic on all of ℝ. This splitting into intervals of monotonicity will become the central task of investigating a function in 25.3, where monotonicity will be determined not directly from the definition but from the sign of the derivative — a substantially more efficient tool, available only after §20.
Пусть область определения D(f) симметрична относительно нуля (т. е. -x∈D(f) для каждого x∈D(f) — необходимое предварительное условие, без которого понятия чётности/нечётности не определены).Let the domain D(f) be symmetric about zero (i.e. -x∈D(f) for every x∈D(f) — a necessary precondition, without which the concepts of evenness/oddness aren't defined).
Функция f называется чётной, если f(-x)=f(x) для всех x∈D(f); нечётной — если f(-x)=-f(x).A function f is called even if f(-x)=f(x) for all x∈D(f); odd if f(-x)=-f(x).
Геометрически: график чётной функции симметричен относительно оси Oy (той же оси, что уже фигурировала в определении симметрии эллипса/гиперболы относительно осей в 11.3/11.4), график нечётной — симметричен относительно начала координат (центральная симметрия, тот же тип, что уже отмечался у эллипса и гиперболы «относительно начала координат»). Пример чётной функции — y=x² ((-x)²=x²); нечётной — y=x³ ((-x)³=-x³).Geometrically: the graph of an even function is symmetric about the axis Oy (the same axis already figuring in the symmetry of the ellipse/hyperbola about the axes in 11.3/11.4), and the graph of an odd function is symmetric about the origin (central symmetry, the same type already noted for the ellipse and hyperbola "about the origin"). An example of an even function is y=x² ((-x)²=x²); of an odd one, y=x³ ((-x)³=-x³).
Практическая польза: если функция чётная или нечётная, достаточно исследовать и построить её только для x≥0, а вторую половину графика получить симметрией — это прямая экономия работы, которая станет явным пунктом общей схемы исследования функции (25.8, проверка чётности как первый шаг).The practical benefit: if a function is even or odd, it's enough to investigate and plot it only for x≥0, and get the other half of the graph by symmetry — a direct saving of work that will become an explicit item in the general scheme for investigating a function (25.8, checking evenness as the first step).
Функция f называется периодической с периодом T≠0, если для любого x∈D(f) выполняется x+T∈D(f) и f(x+T)=f(x). Наименьшее положительное T, удовлетворяющее этому условию (если оно существует), называют основным (наименьшим) периодом.A function f is called periodic with period T≠0 if for every x∈D(f), x+T∈D(f) and f(x+T)=f(x). The smallest positive T satisfying this condition (if it exists) is called the fundamental (least) period.
Тригонометрические функции — стандартный пример (sin x, cos x имеют период 2π; tg x — период π), и именно они появятся в 14.6 как одна из основных элементарных функций, задающая периодичность как встроенное свойство целого класса функций, а не исключение. Не у каждой периодической функции есть основной период (например, у функции Дирихле, равной 1 на рациональных числах и 0 на иррациональных, периодом является любое рациональное число, но наименьшего положительного среди них нет), но этот случай остаётся за пределами Части I.Trigonometric functions are the standard example (sin x, cos x have period 2π; tg x has period π), and it's exactly these that will appear in 14.6 as one of the basic elementary functions, making periodicity a built-in property of an entire class of functions rather than an exception. Not every periodic function has a fundamental period (say, the Dirichlet function, equal to 1 on rationals and 0 on irrationals, has any rational number as a period, but no smallest positive one among them), but this case stays outside the scope of Part I.
Функция f называется ограниченной на множестве X⊆D(f), если множество её значений {f(x) | x∈X} ограничено в смысле 13.3 — т. е. существует M>0 такое, что |f(x)|≤M для всех x∈X.A function f is called bounded on a set X⊆D(f) if the set of its values {f(x) | x∈X} is bounded in the sense of 13.3 — i.e. there exists M>0 such that |f(x)|≤M for all x∈X.
Это прямое переиспользование определения ограниченного множества из 13.3, применённого не к произвольному подмножеству ℝ, а конкретно к области значений функции. Ограниченность — не автоматическое свойство: y=1/x ограничена на [1;+∞), но не ограничена на (0;1] (значения растут без предела при x→0⁺). Разница между ограниченными и неограниченными функциями станет решающей в 16.4 (бесконечно большая функция — как раз частный случай неограниченности вблизи точки) и в 19.5 (теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке — одна из фундаментальных теорем анализа).This is a direct reuse of the definition of a bounded set from 13.3, applied not to an arbitrary subset of ℝ but specifically to a function's range. Boundedness isn't an automatic property: y=1/x is bounded on [1;+∞), but unbounded on (0;1] (the values grow without bound as x→0⁺). The difference between bounded and unbounded functions will become decisive in 16.4 (an infinitely large function is exactly a special case of unboundedness near a point) and in 19.5 (the theorem on the boundedness of a continuous function on a closed interval — one of the fundamental theorems of analysis).
Начинающие иногда предполагают, что любая функция обязана попадать в одну из двух категорий, — это неверно. Функция f(x)=x²+x не чётная (f(-1)=0≠2=f(1)) и не нечётная (f(-1)=0≠-2=-f(1)) одновременно — это самый обычный случай, а не исключение. Проверка чётности/нечётности всегда должна проверить оба определения и явно допускать отрицательный результат по обоим, а не форсировать классификацию.Beginners sometimes assume every function must fall into one of the two categories — this is false. The function f(x)=x²+x is neither even (f(-1)=0≠2=f(1)) nor odd (f(-1)=0≠-2=-f(1)) — this is the ordinary case, not an exception. Checking evenness/oddness should always test both definitions and explicitly allow a negative result on both, rather than forcing a classification.
Если D(f) не симметрична относительно нуля (например, D(f)=[0;+∞) для y=√x), вопрос о чётности/нечётности вообще не имеет смысла — не потому что функция «ни то ни другое» в смысле предыдущего пункта, а потому что для некоторого x∈D(f) точка -x не входит в область определения, и сравнивать f(-x) с f(x) просто нельзя. Проверка симметрии D(f) должна идти первым шагом, до попытки проверить сами равенства f(-x)=±f(x).If D(f) isn't symmetric about zero (say, D(f)=[0;+∞) for y=√x), the question of evenness/oddness is meaningless altogether — not because the function is "neither" in the sense of the previous point, but because for some x∈D(f) the point -x isn't in the domain, and comparing f(-x) with f(x) simply can't be done. Checking the symmetry of D(f) should be the first step, before attempting to check the equalities f(-x)=±f(x) themselves.
источникsource
Монотонность, чётность и нечётность, периодичность, ограниченность функции — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §14.3 «Основные характеристики функции», с. 122–123. Связь с 11.3/11.4/13.3, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Monotonicity, evenness and oddness, periodicity, boundedness of a function — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §14.3 "Basic Characteristics of a Function," pp. 122–123. The connection to 11.3/11.4/13.3, and the "Gotchas" section, are original additions.