14.4 — Глава V, §14. Функция14.4 — Chapter V, §14. Function
14.1 предупреждала: «единственный y для каждого x» не означает «единственный x для каждого y» — f(x)=x² даёт f(2)=f(-2)=4. Обратная функция существует именно тогда, когда это дополнительное условие выполняется, и здесь монотонность из 14.3 наконец находит своё главное применение: она гарантирует его автоматически.14.1 warned: "exactly one y for each x" doesn't mean "exactly one x for each y" — f(x)=x² gives f(2)=f(-2)=4. An inverse function exists exactly when this extra condition holds, and here monotonicity from 14.3 finally finds its main application: it guarantees that condition automatically.
Пусть y=f(x) — функция с областью определения X и областью значений Y=E(f), причём разным x соответствуют разные y (такую функцию называют взаимно однозначной, или инъективной). Тогда для каждого y∈Y существует единственный x∈X такой, что f(x)=y — это правило y↦x само является функцией.Let y=f(x) be a function with domain X and range Y=E(f), where different x correspond to different y (such a function is called one-to-one, or injective). Then for each y∈Y there exists a unique x∈X such that f(x)=y — this rule y↦x is itself a function.
Функция x=f⁻¹(y), y∈Y, ставящая в соответствие каждому y то единственное x, для которого f(x)=y, называется обратной к функции f. Область определения f⁻¹ — это Y=E(f), область значений — X=D(f): области определения и значений меняются местами.The function x=f⁻¹(y), y∈Y, assigning to each y that unique x for which f(x)=y, is called the function inverse to f. The domain of f⁻¹ is Y=E(f), its range is X=D(f): the domain and range swap places.
Это ровно та ситуация, о которой предупреждала 14.1: обратная функция существует, только когда Y из определения функции строго совпадает с E(f) (иначе для некоторых y∈Y просто нет x, дающего этот y) и когда функция инъективна (иначе для одного y нашлось бы несколько x, и «правило» y↦x перестало бы быть функцией по самому определению из 14.1 — нарушится требование единственности).This is exactly the situation 14.1 warned about: an inverse function exists only when Y from the function's definition strictly coincides with E(f) (otherwise some y∈Y would have no x giving that y) and when the function is injective (otherwise a single y would have several x, and the "rule" y↦x would stop being a function by the very definition from 14.1 — the uniqueness requirement would fail).
Проверять инъективность напрямую (для каждой пары x1≠x2 проверять f(x1)≠f(x2)) неудобно. Монотонность из 14.3 даёт готовое достаточное условие: если f строго возрастает (или строго убывает) на X, то она автоматически инъективна — из x1<x2 следует f(x1)<f(x2) (или >), а значит f(x1)≠f(x2), что и требовалось.Checking injectivity directly (for every pair x1≠x2, checking f(x1)≠f(x2)) is inconvenient. Monotonicity from 14.3 gives a ready-made sufficient condition: if f is strictly increasing (or strictly decreasing) on X, it's automatically injective — from x1<x2 it follows that f(x1)<f(x2) (or >), hence f(x1)≠f(x2), as required.
Если функция y=f(x) строго монотонна (строго возрастает или строго убывает) на своей области определения, то на ней существует обратная функция x=f⁻¹(y), причём f⁻¹ монотонна в том же смысле (обе возрастающие или обе убывающие).If a function y=f(x) is strictly monotonic (strictly increasing or strictly decreasing) on its domain, then an inverse function x=f⁻¹(y) exists for it, and f⁻¹ is monotonic in the same sense (both increasing or both decreasing).
Это именно достаточное, а не необходимое условие: существуют немонотонные, но всё же инъективные функции (например, кусочно заданная функция может «прыгать» немонотонно, но не повторять значений) — обратная существует и для них, просто монотонность не годится как универсальный тест. На практике, однако, почти все обратные функции элементарных функций (14.6) строятся именно через сужение до промежутка строгой монотонности — это и есть стандартный приём построения arcsin, arccos и им подобных.This is precisely a sufficient, not a necessary, condition: there exist non-monotonic yet still injective functions (say, a piecewise-defined function can "jump" non-monotonically while never repeating a value) — an inverse exists for them too, monotonicity just isn't a universal test. In practice, though, almost every inverse of an elementary function (14.6) is built precisely via restriction to an interval of strict monotonicity — this is exactly the standard technique for constructing arcsin, arccos, and similar functions.
По определению, точка (a;b) лежит на графике f тогда и только тогда, когда (b;a) лежит на графике f⁻¹ (это прямое следствие того, что f(a)=b ⟺ f⁻¹(b)=a). Переход от точки (a;b) к точке (b;a) — это в точности отражение относительно прямой y=x (частный случай прямой с угловым коэффициентом k=1, 10.3, — прямая, меняющая местами координаты x и y любой точки).By definition, the point (a;b) lies on the graph of f if and only if (b;a) lies on the graph of f⁻¹ (a direct consequence of f(a)=b ⟺ f⁻¹(b)=a). Moving from the point (a;b) to the point (b;a) is exactly a reflection about the line y=x (a special case of a line with slope k=1, 10.3 — the line swapping the x and y coordinates of any point).
Рис. 46. График обратной функции f⁻¹ — отражение графика f относительно прямой y=xFig. 46. The graph of the inverse function f⁻¹ — the graph of f reflected about the line y=x
Практическое следствие: чтобы записать f⁻¹ в привычном виде «y через x», а не «x через y», после нахождения x=f⁻¹(y) формально переобозначают переменные местами (x↔y) — это не меняет саму функцию, только имя независимой переменной, и геометрически соответствует именно этому отражению относительно y=x.A practical consequence: to write f⁻¹ in the familiar "y in terms of x" form rather than "x in terms of y," after finding x=f⁻¹(y) the variables are formally relabeled (x↔y) — this doesn't change the function itself, only the name of the independent variable, and geometrically corresponds exactly to this reflection about y=x.
Обозначение f⁻¹ сбивает с толку из-за визуального сходства с отрицательной степенью — но это не 1/f(x), а именно обратная функция. Для f(x)=x² (при x≥0) обратная функция f⁻¹(x)=√x, а не 1/x². Смешивать эти два принципиально разных объекта — источник грубых вычислительных ошибок; контекст (обсуждается ли обратимость функции или её значение в точке) обычно снимает неоднозначность, но сама запись остаётся потенциально путающей.The notation f⁻¹ is confusing because it visually resembles a negative power — but it isn't 1/f(x), it's specifically the inverse function. For f(x)=x² (with x≥0), the inverse function is f⁻¹(x)=√x, not 1/x². Conflating these two fundamentally different objects is a source of gross computational errors; context (whether invertibility or a value at a point is being discussed) usually removes the ambiguity, but the notation itself remains potentially confusing.
Функция y=x² на всей области определения ℝ не инъективна и обратной не имеет. Но её сужение на [0;+∞) строго возрастает (14.3), и на этом сужении обратная функция существует: y=√x. Попытка «обратить» x² сразу на всём ℝ, не сузив область определения, приводит к неоднозначности (какой знак корня выбрать?) — эта неоднозначность разрешается именно предварительным сужением до промежутка монотонности, а не дополнительным условием на сам корень.The function y=x² on its full domain ℝ isn't injective and has no inverse. But its restriction to [0;+∞) is strictly increasing (14.3), and on that restriction an inverse function exists: y=√x. Trying to "invert" x² directly on all of ℝ, without restricting the domain, leads to ambiguity (which sign of the root to pick?) — that ambiguity is resolved precisely by restricting to an interval of monotonicity beforehand, not by an extra condition on the root itself.
источникsource
Определение обратной функции, монотонность как достаточное условие существования, график обратной функции — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §14.4 «Обратная функция», с. 123–124. Связь с 14.1/14.3/10.3, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The definition of the inverse function, monotonicity as a sufficient existence condition, the graph of the inverse function — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §14.4 "The Inverse Function," pp. 123–124. The connection to 14.1/14.3/10.3, and the "Gotchas" section, are original additions.