14.5 — Глава V, §14. Функция14.5 — Chapter V, §14. Function
Последний способ построить новую функцию из уже известных — не через арифметику (сумма, произведение), а через последовательное применение: сначала одна функция, затем другая к её результату. Эта операция — композиция — станет незаменимой уже в следующем параграфе (16.1, предел сложной функции) и особенно в 20.5 (производная сложной функции, «цепное правило»), где именно структура композиции определяет саму формулу дифференцирования.The last way to build a new function from already-known ones — not through arithmetic (sum, product), but through sequential application: first one function, then another applied to its result. This operation — composition — becomes indispensable already in the next section (16.1, the limit of a composite function) and especially in 20.5 (the derivative of a composite function, the "chain rule"), where the structure of composition itself dictates the differentiation formula.
Пусть даны две функции u=φ(x) с областью определения X и областью значений U, и y=f(u), определённая для u∈U (или, по крайней мере, для той части U, куда попадают значения φ).Let two functions be given: u=φ(x) with domain X and range U, and y=f(u), defined for u∈U (or at least for the part of U that φ's values land in).
Сложной функцией (композицией функций f и φ) называется функция y=f(φ(x)), x∈X, полученная последовательным применением сначала φ, затем f. Обозначается y=(f∘φ)(x). Переменную u=φ(x) называют промежуточным аргументом.A composite function (the composition of f and φ) is the function y=f(φ(x)), x∈X, obtained by applying φ first, then f. It's denoted y=(f∘φ)(x). The variable u=φ(x) is called the intermediate argument.
Пример: y=sin(x²) — сложная функция, где u=φ(x)=x² (внутренняя функция), y=f(u)=sin u (внешняя функция). Тот же результат можно получить и другим порядком композиции — y=(sin x)², где u=φ(x)=sin x, y=f(u)=u² — это уже совершенно другая функция (значение в общем случае отличается: sin(x²)≠(sin x)²). Композиция не коммутативна: порядок «сначала φ, потом f» существенен и не совпадает, в общем случае, с «сначала f, потом φ».Example: y=sin(x²) is a composite function, where u=φ(x)=x² (the inner function), y=f(u)=sin u (the outer function). The same result can be reached by a different composition order — y=(sin x)², where u=φ(x)=sin x, y=f(u)=u² — an entirely different function (the value differs in general: sin(x²)≠(sin x)²). Composition isn't commutative: the order "first φ, then f" matters and doesn't, in general, coincide with "first f, then φ."
Область определения f∘φ — не автоматически D(φ): нужно исключить те x, для которых φ(x) не попадает в область определения f. Формально: D(f∘φ) = {x∈D(φ) | φ(x)∈D(f)} — прямое применение операции пересечения из 13.1 к прообразу множества D(f) под действием φ.The domain of f∘φ isn't automatically D(φ): the x for which φ(x) doesn't land in f's domain must be excluded. Formally: D(f∘φ) = {x∈D(φ) | φ(x)∈D(f)} — a direct application of the intersection operation from 13.1 to the preimage of the set D(f) under φ.
Пример: y=√(sin x) — композиция u=φ(x)=sin x (D(φ)=ℝ) и y=f(u)=√u (D(f)=[0;+∞)). Область определения композиции — не весь ℝ, а только те x, для которых sin x≥0, т. е. объединение промежутков [2πn; π+2πn], n∈ℤ. Игнорирование этого шага — прямая причина ошибок в определении области определения сложных выражений, вроде тех, что появятся уже в примерах 14.6.Example: y=√(sin x) is the composition of u=φ(x)=sin x (D(φ)=ℝ) and y=f(u)=√u (D(f)=[0;+∞)). The composite's domain isn't all of ℝ, only those x for which sin x≥0, i.e. the union of intervals [2πn; π+2πn], n∈ℤ. Skipping this step is a direct cause of errors in finding the domain of composite expressions, of the kind that will already appear in the examples of 14.6.
Композицию можно применять многократно: y=f(g(h(x))) — сложная функция с двумя промежуточными аргументами (v=h(x), u=g(v), y=f(u)). На практике почти любая нетривиальная формула — это цепочка из нескольких элементарных функций (14.6), скомпонованных друг с другом: y=ln(cos(3x+1)) раскладывается на четыре звена — линейную функцию 3x+1, косинус, логарифм, — каждое из которых по отдельности элементарно, а вместе они образуют цепочку композиций.Composition can be applied repeatedly: y=f(g(h(x))) is a composite function with two intermediate arguments (v=h(x), u=g(v), y=f(u)). In practice almost any nontrivial formula is a chain of several elementary functions (14.6) composed with one another: y=ln(cos(3x+1)) breaks down into three links — the linear function 3x+1, cosine, and logarithm — each individually elementary, together forming a chain of compositions.
Умение раскладывать сложное выражение на цепочку элементарных звеньев — не абстрактное упражнение, а прямая необходимость для правила дифференцирования сложной функции (20.5): производная вычисляется «от внешнего звена к внутреннему», и без явного разложения на звенья это правило неприменимо. Разложение, проделанное здесь, — прямая подготовка к тому шагу.The ability to decompose a complex expression into a chain of elementary links isn't an abstract exercise but a direct necessity for the rule of differentiating a composite function (20.5): the derivative is computed "from the outer link to the inner one," and without an explicit decomposition into links this rule can't be applied. The decomposition practiced here is direct preparation for that step.
Уже показанный пример sin(x²) против (sin x)² — не исключение, а типичный случай: композиция функций, в отличие от их сложения или умножения, почти никогда не коммутативна. Записав сложную функцию, всегда стоит явно проверить, в каком порядке применяются звенья («что вычисляется первым — самое внутреннее выражение»), а не полагаться на интуицию из арифметики, где порядок сложения/умножения не важен.The example already shown, sin(x²) versus (sin x)², isn't an exception — it's the typical case: composition of functions, unlike their addition or multiplication, is almost never commutative. Having written a composite function, it's always worth explicitly checking the order the links are applied in ("what's computed first — the innermost expression"), rather than relying on arithmetic intuition, where the order of addition/multiplication doesn't matter.
Ограничение вносит именно область определения внешней функции f, а не только внутренней φ. Забыть учесть, что промежуточный результат u=φ(x) сам должен принадлежать D(f), — самая частая ошибка при нахождении области определения составных выражений (как в примере √(sin x) выше): недостаточно найти D(φ), нужно ещё пересечь его с прообразом D(f).The restriction is imposed specifically by the outer function f's domain, not just the inner φ's. Forgetting that the intermediate result u=φ(x) must itself belong to D(f) is the most common mistake when finding the domain of composite expressions (as in the √(sin x) example above): finding D(φ) alone isn't enough — it must also be intersected with the preimage of D(f).
источникsource
Определение сложной функции (композиции), область определения, цепочки композиций — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §14.5 «Сложная функция», с. 124. Связь с 13.1/20.5, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The definition of a composite function, its domain, chains of composition — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §14.5 "The Composite Function," p. 124. The connection to 13.1/20.5, and the "Gotchas" section, are original additions.