14.6 — Глава V, §14. Функция14.6 — Chapter V, §14. Function
Последний пункт §14 закрывает параграф ровно тем же способом, каким 14.6-подобные пункты закрывали параграфы в предыдущих главах: полный список базовых объектов, из которых строится всё дальнейшее. Шесть классов элементарных функций — это в точности те «звенья», из которых 14.5 собирала цепочки композиций, и та база, к которой в §16 будут применяться пределы, а в §20 — правила дифференцирования.The last item of §14 closes the section the same way similar items closed sections in previous chapters: a complete list of the basic objects everything else is built from. Six classes of elementary functions are exactly the "links" 14.5 assembled composition chains from, and the base to which §16 will apply limits, and §20 the rules of differentiation.
y = xᵅ, α∈ℝ. Область определения зависит от α: для целого положительного α — весь ℝ; для отрицательного целого — ℝ\{0} (уже встречалось как y=1/x в 14.3); для нецелого α — обычно [0;+∞) или (0;+∞). Частные случаи уже встречались: α=2 даёт параболу y=x² (11.5, 14.1, 14.3, 14.4), α=1/2 — y=√x (обратная к x² на [0;+∞), см. 14.4).y = xᵅ, α∈ℝ. The domain depends on α: for a positive integer α — all of ℝ; for a negative integer — ℝ\{0} (already seen as y=1/x in 14.3); for non-integer α — usually [0;+∞) or (0;+∞). Special cases already seen: α=2 gives the parabola y=x² (11.5, 14.1, 14.3, 14.4), α=1/2 gives y=√x (the inverse of x² on [0;+∞), see 14.4).
Показательная функция y = aˣ (a>0, a≠1) определена на всём ℝ, строго монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1) и всегда положительна: E(f)=(0;+∞). По критерию строгой монотонности из 14.4 у неё существует обратная функция.The exponential function y = aˣ (a>0, a≠1) is defined on all of ℝ, strictly monotonic (increasing for a>1, decreasing for 0<a<1), and always positive: E(f)=(0;+∞). By the strict-monotonicity criterion from 14.4, it has an inverse function.
Логарифмическая функция y = logₐ x — обратная к y=aˣ (14.4): область определения (0;+∞) и область значений ℝ меняются местами относительно исходной функции. Её график — отражение графика y=aˣ относительно прямой y=x (14.4, симметрия графика обратной функции).The logarithmic function y = logₐ x is the inverse of y=aˣ (14.4): the domain (0;+∞) and range ℝ swap places relative to the original function. Its graph is the reflection of the graph of y=aˣ about the line y=x (14.4, the symmetry of an inverse function's graph).
Частный случай a=e (натуральный логарифм, ln x) станет центральным уже в 15.4 (число e как предел монотонной ограниченной последовательности) — это не одна из многих равноправных баз, а та, что оказывается наиболее естественной для анализа, что подтвердится в 20.6, где производная ln x окажется устроена проще, чем у logₐ x при других a.The special case a=e (the natural logarithm, ln x) will become central already in 15.4 (the number e as the limit of a monotonic bounded sequence) — it's not one of many equally-ranked bases, but the one that turns out most natural for analysis, confirmed in 20.6, where the derivative of ln x turns out simpler than that of logₐ x for other a.
| функцияfunction | область определенияdomain | периодperiod | чётностьevenness |
|---|---|---|---|
sin x | ℝ | 2π | нечётнаяodd |
cos x | ℝ | 2π | чётнаяeven |
tg x | ℝ\{π/2+πn} | π | нечётнаяodd |
ctg x | ℝ\{πn} | π | нечётнаяodd |
Это прямое переиспользование характеристик из 14.3 — периодичность и чётность/нечётность здесь не абстрактные определения, а конкретные, готовые к использованию свойства целого класса функций. Область определения tg x и ctg x — не весь ℝ, а ℝ с выколотыми точками (13.1, разность множеств) — те самые точки, где знаменатель cos x или sin x обращается в ноль.This is a direct reuse of the characteristics from 14.3 — periodicity and evenness/oddness here aren't abstract definitions but concrete, ready-to-use properties of an entire class of functions. The domain of tg x and ctg x isn't all of ℝ, but ℝ with punctured points (13.1, set difference) — exactly the points where the denominator cos x or sin x vanishes.
Тригонометрические функции периодичны, а значит не инъективны на всём ℝ (14.4: обратная требует инъективности) — точно та же ситуация, что уже разбиралась для y=x² в 14.4. Решение то же: сужение до промежутка строгой монотонности. Для sin x таким промежутком стандартно выбирают [-π/2; π/2] (на нём sin строго возрастает), обратную функцию на этом сужении обозначают arcsin x, D(arcsin)=[-1;1], E(arcsin)=[-π/2;π/2].Trigonometric functions are periodic, hence not injective on all of ℝ (14.4: an inverse requires injectivity) — precisely the same situation already worked through for y=x² in 14.4. The solution is the same: restriction to an interval of strict monotonicity. For sin x, the interval [-π/2; π/2] is the standard choice (on it, sin is strictly increasing), and the inverse function on this restriction is denoted arcsin x, D(arcsin)=[-1;1], E(arcsin)=[-π/2;π/2].
Аналогично: arccos x — обратная к cos x на [0;π] (там cos строго убывает); arctg x — обратная к tg x на (-π/2;π/2); arcctg x — обратная к ctg x на (0;π). Выбор именно этих промежутков — соглашение (можно было бы выбрать любой другой промежуток строгой монотонности), но общепринятое, так что arcsin, arccos и т. д. всегда подразумевают именно эти сужения.Similarly: arccos x is the inverse of cos x on [0;π] (there cos is strictly decreasing); arctg x is the inverse of tg x on (-π/2;π/2); arcctg x is the inverse of ctg x on (0;π). Choosing precisely these intervals is a convention (any other interval of strict monotonicity could have been chosen), but a universal one, so arcsin, arccos, etc. always imply exactly these restrictions.
Все перечисленные выше функции называют основными элементарными функциями. Элементарной функцией в целом называют любую функцию, полученную из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и композиций (14.5) — например, y=ln(cos(3x+1)) из примера 14.5 или y=(sin x)²+e^x/x.All the functions listed above are called basic elementary functions. An elementary function in general is any function obtained from the basic elementary ones via a finite number of arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division) and compositions (14.5) — say, y=ln(cos(3x+1)) from the example in 14.5, or y=(sin x)²+e^x/x.
Эта классификация — не формальность, а условие применимости целого ряда теорем далее в курсе: теорема о непрерывности элементарных функций (19.4) утверждает, что любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения — мощный результат, снимающий необходимость проверять непрерывность отдельно для каждой конкретной формулы, если известно, что она элементарна в этом смысле.This classification isn't a formality but the applicability condition for a whole series of theorems later in the course: the theorem on the continuity of elementary functions (19.4) states that any elementary function is continuous at every point of its domain — a powerful result that removes the need to check continuity separately for each specific formula, provided it's known to be elementary in this sense.
Тождество f⁻¹(f(x))=x из 14.4 верно только на том промежутке, где обратная функция построена — здесь это [-π/2;π/2]. Для x=π: sin π=0, а arcsin 0=0≠π — тождество нарушается вне промежутка сужения. Это прямое следствие грабель, отмеченных в 14.4 («сузить до промежутка монотонности, а не обратить целиком»), проявляющееся здесь на самом частом практическом примере.The identity f⁻¹(f(x))=x from 14.4 holds only on the interval where the inverse was constructed — here [-π/2;π/2]. For x=π: sin π=0, but arcsin 0=0≠π — the identity breaks outside the restriction interval. This is a direct instance of the gotcha noted in 14.4 ("restrict to an interval of monotonicity, not invert whole"), showing up here on the single most common practical example.
Термин «элементарная» — технический, обозначающий принадлежность к классу, построенному из базовых функций конечным числом операций, а не бытовую простоту вычисления. Функция y=ln(cos(3x+1)) из 14.5, несмотря на многослойность, — элементарная (три композиции из основных элементарных функций); но, скажем, сумма бесконечного ряда (степенного ряда, которых Часть I не касается) элементарной, как правило, не является, хотя может выглядеть проще на письме. «Элементарность» — структурное свойство построения, а не визуальная компактность формулы.The term "elementary" is technical, denoting membership in a class built from basic functions via a finite number of operations, not everyday ease of computation. The function y=ln(cos(3x+1)) from 14.5, despite its layering, is elementary (three compositions of basic elementary functions); but, say, the sum of an infinite series (a power series, which Part I doesn't touch) is generally not elementary, even though it may look more compact on paper. "Elementary" is a structural property of construction, not the visual compactness of a formula.
источникsource
Степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, определение элементарной функции — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §14.6 «Основные элементарные функции и их графики», с. 124–127. Связь с 14.3/14.4/14.5, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The power, exponential, logarithmic, trigonometric, and inverse trigonometric functions, the definition of an elementary function — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §14.6 "Basic Elementary Functions and Their Graphs," pp. 124–127. The connection to 14.3/14.4/14.5, and the "Gotchas" section, are original additions.