15.1 — Глава V, §15. Последовательности15.1 — Chapter V, §15. Sequences
Последовательность — самый простой частный случай функции из 14.1, но именно на нём проще всего впервые ввести понятие предела (15.2) — центральную идею всего математического анализа, о необходимости которой уже прямо говорила 13.2 (полнота ℝ существует именно ради того, чтобы у последовательностей были пределы).A sequence is the simplest special case of the function from 14.1, but it's exactly on this case that the concept of a limit (15.2) — the central idea of all of calculus — is easiest to introduce for the first time. 13.2 already spoke directly of its necessity (the completeness of ℝ exists precisely so that sequences have limits).
Числовой последовательностью называется функция f: ℕ→ℝ, то есть числовая функция (14.2) натурального аргумента. Значение f(n) обозначают xₙ (или aₙ, yₙ) и называют n-м членом последовательности; саму последовательность записывают {xₙ} или x₁, x₂, x₃, ....A numeric sequence is a function f: ℕ→ℝ, i.e. a numeric function (14.2) of a natural-number argument. The value f(n) is denoted xₙ (or aₙ, yₙ) and called the n-th term of the sequence; the sequence itself is written {xₙ} or x₁, x₂, x₃, ....
Это в точности сужение общего определения функции из 14.1 до частного случая X=ℕ: область определения зафиксирована раз и навсегда (все натуральные числа), меняется только область значений. Такое сужение — не искусственное упрощение, а прямая подготовка к тому, что произойдёт в 16.1: предел функции произвольного аргумента будет сведён именно к пределу последовательности через переопределение «x→a» как «для любой последовательности xₙ→a».This is exactly a narrowing of the general function definition from 14.1 to the special case X=ℕ: the domain is fixed once and for all (every natural number), only the range varies. This narrowing isn't an artificial simplification but direct preparation for what happens in 16.1: the limit of a function of an arbitrary argument will be reduced precisely to the limit of a sequence, via redefining "x→a" as "for any sequence xₙ→a."
Последовательность может задаваться формулой общего члена (xₙ=1/n), рекуррентно (x₁=1, xₙ₊₁=xₙ+2 — каждый следующий член через предыдущие, тот же принцип, что и у рекуррентных построений в других разделах математики) или словесным описанием — прямое переиспользование способов задания функции из 14.2, сведённых к натуральному аргументу.A sequence can be defined by a formula for the general term (xₙ=1/n), recursively (x₁=1, xₙ₊₁=xₙ+2 — each next term via the previous ones, the same principle as recursive constructions elsewhere in mathematics), or by a verbal description — a direct reuse of the ways to define a function from 14.2, narrowed to a natural-number argument.
Последовательность можно изобразить двумя способами: как график функции (14.2) — отдельные точки (n; xₙ) на плоскости Onx (не непрерывная линия, поскольку область определения дискретна, лишь натуральные числа), или проще — как последовательность точек xₙ на самой числовой прямой (9.1, 13.2), без второй координаты.A sequence can be pictured two ways: as the graph of a function (14.2) — separate points (n; xₙ) in the plane Onx (not a continuous curve, since the domain is discrete, only natural numbers), or, more simply, as a sequence of points xₙ on the number line itself (9.1, 13.2), with no second coordinate.
Рис. 47. Последовательность xₙ=1/n на числовой прямой: точки сгущаются к a=0Fig. 47. The sequence xₙ=1/n on the number line: points bunch up toward a=0
Второй способ визуально предвосхищает 15.2: если точки последовательности «сгущаются» к некоторой точке a — накапливаются в любой сколь угодно малой ε-окрестности a из 13.3, начиная с некоторого номера, — интуитивно ясно, что у последовательности есть предел, равный a. Формализация этой интуиции и есть содержание следующего пункта.The second method visually anticipates 15.2: if the sequence's points "bunch up" toward some point a — accumulate within any arbitrarily small ε-neighborhood of a from 13.3, starting from some index onward — it's intuitively clear the sequence has a limit equal to a. Formalizing this intuition is exactly the content of the next item.
Определения ограниченности и монотонности из 14.3 переносятся на последовательности без изменений, только с натуральным аргументом вместо произвольного вещественного: последовательность ограничена, если множество её значений {xₙ | n∈ℕ} ограничено (13.3); возрастает, если xₙ<xₙ₊₁ для всех n; убывает, если xₙ>xₙ₊₁.The definitions of boundedness and monotonicity from 14.3 carry over to sequences unchanged, just with a natural-number argument instead of an arbitrary real one: a sequence is bounded if the set of its values {xₙ | n∈ℕ} is bounded (13.3); increasing if xₙ<xₙ₊₁ for all n; decreasing if xₙ>xₙ₊₁.
Проверка монотонности последовательности упрощается благодаря дискретности области определения: достаточно сравнить каждый член только с соседним, а не с произвольной парой (как в общем определении 14.3), — сравнение xₙ и xₙ₊₁ для всех n автоматически влечёт нужное неравенство для любой пары xₙ<xₘ. Оба этих свойства понадобятся уже в 15.4 — предел монотонной ограниченной последовательности окажется одной из самых важных теорем всей Главы V, с которой будет напрямую связано определение числа e.Checking a sequence's monotonicity is simpler thanks to the discreteness of the domain: it's enough to compare each term only with its neighbor, not with an arbitrary pair (as in the general definition from 14.3) — comparing xₙ and xₙ₊₁ for every n automatically implies the needed inequality for any pair xₙ<xₘ. Both properties will be needed already in 15.4 — the limit of a monotonic bounded sequence will turn out to be one of the most important theorems of all Chapter V, directly connected to the definition of the number e.
Последовательность xₙ=(-1)ⁿ имеет бесконечно много членов (x₁=-1, x₂=1, x₃=-1, ...), но множество её значений — всего два числа: {-1,1}. Путать «последовательность» (функцию, где порядок и повторения существенны) с «множеством значений» (13.1, где порядок не важен и повторения не считаются) — источник ошибок при анализе свойств вроде монотонности: эта последовательность не монотонна, хотя её множество значений — всего два элемента, которые формально можно упорядочить.The sequence xₙ=(-1)ⁿ has infinitely many terms (x₁=-1, x₂=1, x₃=-1, ...), but the set of its values is just two numbers: {-1,1}. Confusing "a sequence" (a function, where order and repetition matter) with "the set of values" (13.1, where order doesn't matter and repeats aren't counted) is a source of errors when analyzing properties like monotonicity: this sequence isn't monotonic, even though its value set is just two elements, which could formally be ordered.
Ограниченность и монотонность — независимые свойства (та же логика, что уже отмечалась про чётность и монотонность в 14.3: ни одно не следует из другого автоматически). xₙ=(-1)ⁿ — ограничена (|xₙ|≤1), но не монотонна. xₙ=n — монотонна (строго возрастает), но не ограничена. Оба свойства нужно проверять отдельно; тот факт, что в 15.4 они рассматриваются одновременно («монотонная ограниченная»), — это не автоматическая связь, а специально выделенный частный случай, где оба условия выполняются одновременно.Boundedness and monotonicity are independent properties (the same logic already noted about evenness and monotonicity in 14.3: neither follows from the other automatically). xₙ=(-1)ⁿ is bounded (|xₙ|≤1) but not monotonic. xₙ=n is monotonic (strictly increasing) but unbounded. Both properties must be checked separately; the fact that 15.4 considers them together ("monotonic bounded") isn't an automatic link but a specially singled-out special case where both conditions hold at once.
источникsource
Определение числовой последовательности, способы задания, геометрическое изображение, ограниченность и монотонность — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §15.1 «Числовая последовательность», с. 127–128. Связь с 14.1–14.3, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The definition of a numeric sequence, ways to define one, geometric representation, boundedness and monotonicity — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §15.1 "A Numeric Sequence," pp. 127–128. The connection to 14.1–14.3, and the "Gotchas" section, are original additions.