15.2 — Глава V, §15. Последовательности15.2 — Chapter V, §15. Sequences
Интуитивная картинка «сгущения точек к a» из 15.1 здесь получает точную формулировку — определение через ε и N, известное как ε-N-определение предела. Это первое строгое определение предела во всём курсе, и его структура (произвольно малое ε, за ним подбираемое N) — шаблон, который в 16.1 будет скопирован почти дословно для предела функции.The intuitive picture of "points bunching up toward a" from 15.1 here gets a precise formulation — the definition via ε and N, known as the ε-N definition of a limit. This is the first rigorous limit definition in the whole course, and its structure (an arbitrarily small ε, followed by a chosen N) is a template that will be copied almost verbatim for the limit of a function in 16.1.
Число a называется пределом последовательности {xₙ} (обозначается lim xₙ = a при n→∞, или xₙ→a), если для любого ε>0 найдётся номер N=N(ε) такой, что для всех n>N выполняется |xₙ-a| < ε. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае — расходящейся.A number a is called the limit of the sequence {xₙ} (denoted lim xₙ = a as n→∞, or xₙ→a) if for any ε>0 there exists an index N=N(ε) such that for all n>N, |xₙ-a| < ε holds. A sequence with a limit is called convergent; otherwise, divergent.
Это в точности перевод геометрической картинки 15.1 на язык 13.3: неравенство |xₙ-a|<ε означает, что xₙ лежит в ε-окрестности a (13.3), а требование «для всех n>N» означает, что начиная с некоторого номера все последующие члены последовательности попадают в эту окрестность — не отдельные члены время от времени, а именно все без исключения после N. Именно это делает определение сильным: сгущение должно быть окончательным, а не временным.This is exactly a translation of the geometric picture from 15.1 into the language of 13.3: the inequality |xₙ-a|<ε means xₙ lies in the ε-neighborhood of a (13.3), and the requirement "for all n>N" means that starting from some index, every subsequent term of the sequence falls into that neighborhood — not occasional terms now and then, but literally every one without exception past N. This is exactly what makes the definition strong: the bunching must be permanent, not temporary.
Порядок кванторов существен: сначала произвольно фиксируется ε>0 (сколь угодно жёсткое требование близости), и только после этого подбирается N, зависящее от выбранного ε. Чем меньше ε, тем, как правило, больше требуется N — эта зависимость N(ε) и есть содержательная часть проверки предела в конкретных примерах.The order of the quantifiers matters: ε>0 is fixed arbitrarily first (an arbitrarily strict closeness requirement), and only after that is N, depending on the chosen ε, found. The smaller ε is, the larger N typically needs to be — this dependence N(ε) is the substantive part of verifying a limit in concrete examples.
Доказать по определению, что lim (1/n) = 0 при n→∞.Prove by definition that lim (1/n) = 0 as n→∞.
Шаг 1 — зафиксировать произвольное ε>0. Нужно найти N, после которого |1/n - 0| < ε.Step 1 — fix an arbitrary ε>0. Need to find N after which |1/n - 0| < ε.
Шаг 2 — упростить неравенство. Так как n>0, |1/n| = 1/n, и неравенство принимает видStep 2 — simplify the inequality. Since n>0, |1/n| = 1/n, and the inequality becomes
1/n < ε ⟺ n > 1/ε.Шаг 3 — выбрать N. Возьмём N = ⌊1/ε⌋ (целая часть 1/ε) — тогда для всех n>N выполняется n>1/ε, а значит 1/n<ε.Step 3 — choose N. Take N = ⌊1/ε⌋ (the integer part of 1/ε) — then for all n>N, n>1/ε holds, hence 1/n<ε.
Итак, для любого ε>0 найден номер N=⌊1/ε⌋, для которого выполняется определение — значит lim(1/n)=0. Заметьте: при ε=0.01 получаем N=100, при ε=0.0001 — N=10000; чем жёстче требование, тем дальше приходится уйти по последовательности, но какое-то конечное N находится всегда.So, for any ε>0 an index N=⌊1/ε⌋ has been found satisfying the definition — so lim(1/n)=0. Notice: for ε=0.01, N=100; for ε=0.0001, N=10000; the stricter the requirement, the further along the sequence one must go, but some finite N is always found.
Две базовые теоремы, устанавливаемые сразу вслед за определением. Единственность: если последовательность имеет предел, то только один — предел не может одновременно равняться двум разным числам (доказывается от противного: если бы a≠b были оба пределами, при достаточно малом ε ε-окрестности a и b оказались бы непересекающимися (13.1: A∩B=∅), а член последовательности с достаточно большим номером обязан был бы лежать в обеих одновременно — противоречие).Two basic theorems established right after the definition. Uniqueness: if a sequence has a limit, it has only one — a limit can't simultaneously equal two different numbers (proved by contradiction: if a≠b were both limits, for a sufficiently small ε the ε-neighborhoods of a and b would turn out disjoint (13.1: A∩B=∅), and a term of the sequence with a sufficiently large index would have to lie in both at once — a contradiction).
Если {xₙ} сходится, то она ограничена (13.3, 15.1) — обратное, вообще говоря, неверно (см. Грабли).If {xₙ} converges, it's bounded (13.3, 15.1) — the converse, in general, is false (see Gotchas).
Идея доказательства ограниченности: возьмём ε=1 в определении — начиная с некоторого N, все члены лежат в ограниченном интервале (a-1;a+1); оставшихся членов x₁,...,x_N — конечное число, а конечное множество чисел всегда ограничено. Объединение двух ограниченных частей (13.1) снова ограничено. Эта теорема будет использована в обратную сторону в 15.4 (для доказательства существования предела монотонной ограниченной последовательности) — но там ограниченность будет исходным условием, а не следствием.The idea of the boundedness proof: take ε=1 in the definition — starting from some N, every term lies in the bounded interval (a-1;a+1); the remaining terms x₁,...,x_N are finite in number, and a finite set of numbers is always bounded. The union of two bounded parts (13.1) is again bounded. This theorem will be used in reverse in 15.4 (to prove the existence of the limit of a monotonic bounded sequence) — but there, boundedness will be the starting condition, not a consequence.
Последовательность xₙ=(-1)ⁿ (уже встречалась в 15.1) ограничена (|xₙ|≤1), но не сходится: она «мечется» между -1 и 1, не приближаясь окончательно ни к одному числу. Формально: для любого предполагаемого предела a при ε<1 невозможно найти N, после которого все члены лежат в ε-окрестности a, — половина членов всегда будет далеко от a, какое бы a ни выбрать. Ограниченность — необходимое, но не достаточное условие сходимости.The sequence xₙ=(-1)ⁿ (already seen in 15.1) is bounded (|xₙ|≤1) but doesn't converge: it "oscillates" between -1 and 1, never permanently approaching either number. Formally: for any candidate limit a, with ε<1 it's impossible to find an N after which every term lies in the ε-neighborhood of a — half the terms will always be far from a, whatever a is chosen. Boundedness is a necessary but not sufficient condition for convergence.
Требование определения — чтобы неравенство |xₙ-a|<ε выполнялось абсолютно для всех n после N, без исключений, а не просто для бесконечно многих членов последовательности. Последовательность xₙ=(-1)ⁿ имеет бесконечно много членов, равных 1 (все чётные n) — сколь угодно близких к 1 с ε=0 — но это не делает 1 пределом, потому что нечётные члены (тоже бесконечно многие) равны -1, никогда не попадая в малую окрестность 1. Путать «бесконечно много членов близко к a» с «все члены после некоторого N близко к a» — источник ошибочного заключения о сходимости.The definition requires the inequality |xₙ-a|<ε to hold absolutely for every n past N, with no exceptions — not just for infinitely many terms of the sequence. The sequence xₙ=(-1)ⁿ has infinitely many terms equal to 1 (every even n) — arbitrarily close to 1 with ε=0 — but this doesn't make 1 the limit, because the odd-indexed terms (also infinitely many) equal -1, never falling into a small neighborhood of 1. Confusing "infinitely many terms close to a" with "all terms past some N close to a" is a source of mistakenly concluding convergence.
источникsource
ε-N-определение предела последовательности, единственность предела, сходимость влечёт ограниченность — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §15.2 «Предел числовой последовательности», с. 128–130. Пример 15.1, связь с 13.1/13.3/15.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The ε-N definition of the limit of a sequence, uniqueness of the limit, convergence implies boundedness — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §15.2 "The Limit of a Numeric Sequence," pp. 128–130. Example 15.1, the connection to 13.1/13.3/15.1, and the "Gotchas" section are original additions.