Предельный переход в неравенствахPassing to the limit in inequalities

Идея доказательства — от противного, с использованием единственности предела из 15.2: если бы a>b, можно было бы взять достаточно малое ε так, чтобы ε-окрестности a и b не пересекались (13.1) и полностью «поменялись местами» по расположению на числовой прямой (все точки окрестности a правее всех точек окрестности b) — но тогда для достаточно больших n одновременно xₙ близко к a и yₙ близко к b, что вынуждало бы xₙ>yₙ, вопреки условию.The idea of the proof is by contradiction, using the uniqueness of the limit from 15.2: if a>b, a small enough ε could be chosen so the ε-neighborhoods of a and b don't overlap (13.1) and are fully "swapped" in position on the number line (every point of a's neighborhood lies to the right of every point of b's) — but then, for sufficiently large n, xₙ is close to a and yₙ is close to b simultaneously, forcing xₙ>yₙ, contrary to the hypothesis.

Теорема выше сформулирована для нестрогого неравенства не случайно — она справедлива и в исходной формулировке со строгим неравенством (xₙ<yₙ для всех n), но заключение всё равно даёт лишь a≤b, не a<b. Это первое явное предупреждение о том, что предельный переход — операция, которая может «терять строгость», хотя сама операция взятия предела выполняется корректно на каждом шаге.The theorem above is stated for a non-strict inequality not by accident — it also holds in the original formulation with a strict inequality (xₙ<yₙ for every n), but the conclusion still only gives a≤b, not a<b. This is the first explicit warning that the limit passage is an operation that can "lose strictness," even though the limit-taking operation itself is performed correctly at every step.

Стандартный контрпример: xₙ=0, yₙ=1/n — тогда xₙ<yₙ для всех n≥1 (строгое неравенство выполнено на каждом шаге), но lim xₙ=0 и lim yₙ=0 (см. Пример 15.1 из 15.2) — пределы совпадают, строгое неравенство между ними отсутствует. Разрыв между строгим неравенством для членов и нестрогим для пределов — не дефект теоремы, а точное отражение того, что происходит в пределе: последовательности могут «сближаться до совпадения», оставаясь на каждом конечном шаге строго различными.A standard counterexample: xₙ=0, yₙ=1/n — then xₙ<yₙ for all n≥1 (the strict inequality holds at every step), but lim xₙ=0 and lim yₙ=0 (see Example 15.1 from 15.2) — the limits coincide, with no strict inequality between them. The gap between a strict inequality for the terms and a non-strict one for the limits isn't a defect of the theorem, but a precise reflection of what happens in the limit: sequences can "converge until they coincide," while remaining strictly distinct at every finite step.

Название «о двух милиционерах» отражает суть: если два «конвоира» (последовательности xₙ и yₙ) сходятся к одной точке a, то и всё, что находится строго между ними на каждом шаге, вынуждено следовать туда же — у промежуточной последовательности просто нет пространства для «отклонения» в пределе. Это в точности геометрическая логика ε-окрестности из 15.2: если и xₙ, и yₙ в конце концов попадают в сколь угодно малую ε-окрестность a, то и zₙ, зажатая между ними, туда же попадает — по транзитивности неравенств.The "two policemen" name reflects the essence: if two "escorts" (the sequences xₙ and yₙ) converge to the same point a, then anything strictly between them at every step is forced to head there too — the sequence in between simply has no room to "deviate" in the limit. This is exactly the geometric logic of the ε-neighborhood from 15.2: if both xₙ and yₙ eventually land in an arbitrarily small ε-neighborhood of a, then zₙ, squeezed between them, lands there too — by transitivity of inequalities.

Практическая ценность теоремы огромна: она позволяет вычислить предел последовательности, для которой прямое применение определения или алгебраических теорем о пределах (17.3) неудобно, — достаточно найти две более простые последовательности с известным общим пределом, зажимающие искомую. Это станет основным методом доказательства первого замечательного предела в 17.5, где сам синус будет зажат между двумя более простыми выражениями.The theorem's practical value is huge: it allows computing the limit of a sequence for which directly applying the definition or the algebraic theorems on limits (17.3) is inconvenient — it suffices to find two simpler sequences with a known common limit, squeezing the one in question. This will become the main method for proving the first remarkable limit in 17.5, where sine itself will be squeezed between two simpler expressions.