17.5 — Глава V, §17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)17.5 — Chapter V, §17. Infinitely Small Functions
Теоремы 17.3 не помогают вычислить lim_{x→0}(sin x)/x напрямую: числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю (неопределённость 0/0), а не к конечным ненулевым числам. Здесь этот предел вычисляется впервые — не арифметикой пределов, а геометрически, через теорему о зажатой функции (17.4), примерно тем же приёмом «взять в тиски», что уже обсуждался там на пальцах.The theorems in 17.3 don't help compute lim_{x→0}(\sin x)/x directly: the numerator and denominator both tend to zero at once (a 0/0 indeterminate form), not to finite nonzero numbers. Here this limit is computed for the first time — not via the arithmetic of limits, but geometrically, via the squeeze theorem (17.4), using roughly the same "pin it down" trick already discussed there in plain language.
lim (sin x)/x = 1, x→0.Это неопределённость вида 0/0 (16.4 напрямую не применимо, теоремы 17.3 тоже — знаменатель стремится к нулю), значение которой оказывается не нулём и не бесконечностью, а конкретным конечным числом 1.This is a 0/0 indeterminate form (16.4 doesn't apply directly, nor do the theorems in 17.3 — the denominator tends to zero), whose value turns out to be neither zero nor infinity, but the specific finite number 1.
Рассмотрим единичную окружность и центральный угол x (в радианах), 0<x<π/2. Сравним площади трёх фигур, вложенных одна в другую: треугольника OAM (площадь (1/2)sin x), кругового сектора OAM (площадь (1/2)x) и треугольника OAT, где T — точка пересечения продолжения OM с касательной в A (площадь (1/2)tg x). Из вложенности фигур:Consider the unit circle and a central angle x (in radians), 0<x<π/2. Compare the areas of three nested figures: the triangle OAM (area (1/2)\sin x), the circular sector OAM (area (1/2)x), and the triangle OAT, where T is the point where the extension of OM meets the tangent at A (area (1/2)\tan x). From the nesting of the figures:
(1/2)sin x < (1/2)x < (1/2)tg xУмножив на 2 и разделив на sin x>0 (допустимо при 0<x<π/2), получаем 1 < x/sin x < 1/cos x, то есть, беря обратные величины и меняя направление неравенств, cos x < (sin x)/x < 1. Поскольку lim_{x→0}cos x=1 (непрерывность косинуса, которая будет формально обоснована в §19, но интуитивно очевидна уже здесь) и предел константы 1 тривиально равен 1, по теореме о зажатой функции (17.4) — lim_{x→0+}(sin x)/x=1. Функция (sin x)/x чётная (14.3: sin(-x)/(-x)=sin x/x), поэтому предел слева совпадает с пределом справа, и по теореме 16.2 существует и двусторонний предел, равный 1.Multiplying by 2 and dividing by \sin x>0 (valid for 0<x<π/2) gives 1 < x/\sin x < 1/\cos x, that is, taking reciprocals and reversing the inequalities, \cos x < (\sin x)/x < 1. Since lim_{x→0}\cos x=1 (the continuity of cosine, which will be formally justified in §19, but is intuitively clear already here) and the limit of the constant 1 is trivially 1, by the squeeze theorem (17.4) — lim_{x→0+}(\sin x)/x=1. The function (\sin x)/x is even (14.3: \sin(-x)/(-x)=\sin x/x), so the left-hand limit coincides with the right-hand limit, and by the theorem in 16.2 the two-sided limit also exists, equal to 1.
Найти lim_{x→0} (sin 5x)/x.Find lim_{x→0} (\sin 5x)/x.
Домножим и разделим на 5: (sin 5x)/x = 5·(sin 5x)/(5x). При x→0 также 5x→0, и (sin 5x)/(5x) — это в точности первый замечательный предел, но с переменной u=5x вместо x: lim_{u→0}(sin u)/u=1. Значит, lim_{x→0}(sin 5x)/x = 5·1 = 5.Multiply and divide by 5: (\sin 5x)/x = 5·(\sin 5x)/(5x). As x→0, also 5x→0, and (\sin 5x)/(5x) is exactly the first remarkable limit, but with the variable u=5x instead of x: lim_{u→0}(\sin u)/u=1. Hence, lim_{x→0}(\sin 5x)/x = 5·1 = 5.
Этот приём — подгонка аргумента внутри синуса под аргумент во внешнем делении домножением/делением на константу — стандартный способ сводить более сложные 0/0-неопределённости к первому замечательному пределу, а не пересчитывать доказательство через окружность заново.This trick — matching the argument inside the sine to the argument in the outer division by multiplying/dividing by a constant — is the standard way to reduce more complex 0/0 indeterminate forms to the first remarkable limit, rather than redoing the circle-based proof from scratch.
Рис. 57. Три вложенные фигуры на единичной окружности: треугольник OAM (площадь (1/2)sin x, зелёная заливка), сектор OAM (площадь (1/2)x, сиреневая заливка) и треугольник OAT (площадь (1/2)tg x, желтый отрезок AT). Из вложенности площадей следует sin x < x < tg x — геометрический фундамент первого замечательного предела.Fig. 57. Three nested figures on the unit circle: triangle OAM (area (1/2)\sin x, green fill), sector OAM (area (1/2)x, lavender fill), and triangle OAT (area (1/2)\tan x, yellow segment AT). The nesting of the areas gives \sin x < x < \tan x — the geometric foundation of the first remarkable limit.
Смысл предела (sin x)/x→1 — «при очень маленьком угле x длина дуги окружности и длина её проекции (sin x, то есть высота точки на дуге) почти совпадают». Это не случайное совпадение, а прямое следствие того, что чем меньше угол, тем «более прямой» кажется дуга — на бесконечно малом масштабе окружность неотличима от своей касательной. Величина (sin x)/x — это как раз отношение «прямого» расстояния к «дуговому», и утверждение теоремы — что это отношение стремится к идеальному совпадению (единице), когда угол стягивается к нулю.The meaning of the limit (\sin x)/x→1 is "for a very small angle x, the length of the circular arc and the length of its projection (\sin x, i.e., the height of the point on the arc) nearly coincide." This isn't a coincidence, but a direct consequence of the fact that the smaller the angle, the "straighter" the arc looks — on an infinitesimal scale, a circle is indistinguishable from its tangent line. The quantity (\sin x)/x is exactly the ratio of the "straight" distance to the "arc" distance, and the theorem's claim is that this ratio tends to a perfect match (one) as the angle shrinks to zero.
Пример из жизни. Представьте, что вы стоите на краю очень большого круглого стадиона (радиус — километр) и смотрите на соседа, который стоит чуть дальше по краю трибуны, на дуге, отстоящей от вас на угол x в один градус. Расстояние «по прямой» до соседа (хорда, тесно связанная с sin x) и расстояние «по дуге трибуны» (собственно x в радианах, умноженное на радиус) на глаз практически неотличимы — трибуна на таком коротком участке кажется почти прямой линией, хотя на самом деле изогнута. Если сосед отойдёт на угол в 90°, разница станет заметной — прямая и дуга разойдутся сильно. Именно эта интуиция («чем меньше угол, тем прямее выглядит дуга») и есть первый замечательный предел, только выраженная числами, а не взглядом со стадиона.A real-life example. Imagine standing at the edge of a very large circular stadium (radius — one kilometer) and looking at a neighbor standing a bit further along the edge of the stands, on an arc one degree of angle x away from you. The "straight-line" distance to your neighbor (the chord, closely tied to \sin x) and the "along-the-stands" distance (literally x in radians times the radius) are practically indistinguishable by eye — over such a short stretch, the stands look almost like a straight line, even though they're actually curved. If your neighbor moves to a 90° angle away, the difference becomes noticeable — the straight line and the arc diverge substantially. That very intuition ("the smaller the angle, the straighter the arc looks") is exactly the first remarkable limit, just expressed in numbers rather than a view from the stadium.
Всё доказательство опирается на то, что площадь сектора равна (1/2)x именно при измерении угла x в радианах (это определение радианной меры, связывающее угол с длиной дуги единичной окружности). Если по ошибке подставить x в градусах, площадь сектора нужно пересчитывать через (x°/360°)·π, и итоговый предел получится равным π/180, а не 1. Забыть про радианы — самая частая практическая ошибка при использовании этого предела в вычислениях.The entire proof relies on the sector's area equaling (1/2)x precisely when the angle x is measured in radians (this is the definition of radian measure, tying the angle to the arc length of the unit circle). If x is mistakenly plugged in as degrees, the sector's area must be recomputed via (x°/360°)·π, and the resulting limit comes out as π/180, not 1. Forgetting about radians is the most common practical mistake when using this limit in calculations.
Первый замечательный предел — это конкретное, доказанное геометрически равенство lim(sin x)/x=1, а не общий рецепт «предел вида sin(что-то)/(то же самое) всегда равен 1». Работает он именно потому, что аргумент внутри синуса и аргумент в знаменателе совпадают (Пример 17.1 показывает, как свести к этому совпадению домножением на константу) — если же аргументы структурно разные (например, (sin x)/x² или (sin x²)/x), результат вычисляется отдельно и, вообще говоря, не равен 1.The first remarkable limit is a specific, geometrically proven equality lim(\sin x)/x=1, not a general recipe "a limit of the form \sin(\text{something})/(\text{the same thing}) is always 1." It works precisely because the argument inside the sine matches the argument in the denominator (Example 17.1 shows how to reduce to that match by multiplying by a constant) — if the arguments are structurally different (e.g., (\sin x)/x² or (\sin x²)/x), the result is computed separately and, in general, isn't 1.
источникsource
Первый замечательный предел — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §17.5 «Первый замечательный предел», с. 139–140. Пример 17.1, связь с 14.3/16.2/17.4/18.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The first remarkable limit — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §17.5 "The First Remarkable Limit," pp. 139–140. Example 17.1, the connection to 14.3/16.2/17.4/18.1, and the "Gotchas" section, are original additions.