17.6 — Глава V, §17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)17.6 — Chapter V, §17. Infinitely Small Functions
В 15.4 число e было определено как предел последовательности (1+1/n)ⁿ при n→∞, доказанный через теорему Вейерштрасса. Здесь та же самая конструкция обобщается с последовательности (дискретный аргумент n∈ℕ) на функцию непрерывного аргумента x∈ℝ — переход, аналогичный переходу от 15.2 к 16.1 или от 15.4 к 17.4. Это ровно та неопределённость вида 1^∞, о которой предупреждали Грабли в 15.4.In 15.4, the number e was defined as the limit of the sequence (1+1/n)ⁿ as n→∞, proved via the Weierstrass theorem. Here the same construction is generalized from a sequence (discrete argument n∈ℕ) to a function of a continuous argument x∈ℝ — a transition analogous to going from 15.2 to 16.1, or from 15.4 to 17.4. This is exactly the 1^∞ indeterminate form the Gotchas in 15.4 warned about.
lim (1+1/x)ˣ = e, x→∞.
lim (1+t)^(1/t) = e, t→0 (замена t=1/x).Здесь e — то самое число из 15.4, e≈2.71828.... Вторая запись — та же формула с заменой переменной t=1/x (при x→∞, t→0), встречающаяся на практике не реже первой.Here e is the very same number from 15.4, e≈2.71828.... The second form is the same formula with the substitution t=1/x (as x→∞, t→0), which shows up in practice no less often than the first.
Идея обоснования опирается напрямую на 15.4: для целых n=⌊x⌋, зажимающих x между собой (n≤x<n+1), последовательности (1+1/n)ⁿ и (1+1/(n+1))ⁿ⁺¹ обе сходятся к e (это в точности предел из 15.4), а функция (1+1/x)ˣ оценивается сверху и снизу через эти две последовательности — снова теорема о зажатой функции (17.4), только на этот раз зажимающие «стены» сами являются пределами последовательностей, а не элементарными функциями, как в 17.5. Так дискретный результат 15.4 «протягивается» на непрерывный аргумент.The idea of the justification relies directly on 15.4: for integers n=⌊x⌋ squeezing x between them (n≤x<n+1), the sequences (1+1/n)ⁿ and (1+1/(n+1))ⁿ⁺¹ both converge to e (exactly the limit from 15.4), and the function (1+1/x)ˣ is bounded above and below by these two sequences — again the squeeze theorem (17.4), except this time the squeezing "walls" are themselves limits of sequences, not elementary functions as in 17.5. This is how the discrete result from 15.4 gets "stretched" onto a continuous argument.
Найти lim_{x→∞} (1+3/x)ˣ.Find lim_{x→∞} (1+3/x)ˣ.
Введём u=x/3, тогда x=3u, и при x→∞ также u→∞. Перепишем: (1+3/x)ˣ = (1+1/u)^(3u) = [(1+1/u)ᵘ]³. Внутренняя скобка — в точности второй замечательный предел с переменной u, стремящийся к e. По теореме о пределе степени с натуральным показателем (частный случай 17.3, применённый трижды подряд к произведению), lim [(1+1/u)ᵘ]³ = e³.Introduce u=x/3, so x=3u, and as x→∞ also u→∞. Rewrite: (1+3/x)ˣ = (1+1/u)^(3u) = [(1+1/u)ᵘ]³. The inner bracket is exactly the second remarkable limit with the variable u, tending to e. By the theorem on the limit of a power with a natural exponent (a special case of 17.3, applied three times in a row to a product), lim [(1+1/u)ᵘ]³ = e³.
Общий паттерн: lim_{x→∞}(1+k/x)ˣ = eᵏ для любой константы k — этот результат используется настолько часто (в частности, в формулах непрерывного начисления процентов и в решении дифференциальных уравнений вне текущего курса), что стоит запомнить его как готовый шаблон, а не пересчитывать заново каждый раз.The general pattern: lim_{x→∞}(1+k/x)ˣ = eᵏ for any constant k — this result comes up often enough (in particular, in continuous-compound-interest formulas and in solving differential equations outside the current course) that it's worth memorizing as a ready-made template rather than recomputing it every time.
В выражении (1+1/x)ˣ идёт незаметная на первый взгляд борьба двух противоположных тенденций. С одной стороны, основание 1+1/x при росте x стремится к 1 — а единица в любой степени остаётся единицей, что как будто тянет весь предел к 1. С другой стороны, показатель степени x растёт неограниченно — а возведение любого числа больше 1, сколь угодно близкого к единице, в неограниченно растущую степень тянет результат к бесконечности. Ни одна из этих тенденций не побеждает единолично: они уравновешивают друг друга не в ничью, а в конкретное конечное число e, ни 1, ни ∞ — именно это и делает предел «замечательным» и нетривиальным (в точности то, о чём предупреждали Грабли в 15.4).In the expression (1+1/x)ˣ, there's a tug-of-war between two opposing tendencies that isn't obvious at first glance. On one hand, the base 1+1/x tends to 1 as x grows — and one to any power stays one, which seems to pull the whole limit toward 1. On the other hand, the exponent x grows without bound — and raising any number greater than 1, however close to one, to an unboundedly growing power pulls the result toward infinity. Neither tendency wins outright: they balance each other out not into a draw, but into a specific finite number e, neither 1 nor ∞ — this is exactly what makes the limit "remarkable" and nontrivial (precisely what the Gotchas in 15.4 warned about).
Пример из жизни. Представьте банковский вклад в 1 рубль под 100% годовых, но начисляемых не раз в год, а x раз в год равными долями — то есть каждый раз добавляется 1/x от вклада. Через год вклад вырастет в (1+1/x)ˣ раз: чем чаще начисляют проценты, тем больше x. При начислении раз в год (x=1) получаем 2 рубля. При начислении раз в месяц (x=12) — уже ≈2.61 рубля. При начислении каждый день (x=365) — ≈2.7146. Кажется, что при непрерывном начислении (x→∞, проценты капают буквально каждое мгновение) сумма должна расти неограниченно — ведь начислений становится бесконечно много. Но каждое отдельное начисление при этом становится исчезающе малым (1/x→0), и в результате этой борьбы «бесконечно много начислений» против «исчезающе малый эффект каждого» сумма выходит на предел — она никогда не превысит e≈2.71828 рубля, сколько бы раз в год ни начисляли проценты.A real-life example. Picture a bank deposit of 1 ruble at 100% annual interest, but compounded not once a year, but x times a year in equal installments — each time adding 1/x of the deposit. After a year, the deposit grows by a factor of (1+1/x)ˣ: the more often interest compounds, the larger x. Compounding once a year (x=1) gives 2 rubles. Compounding monthly (x=12) gives ≈2.61 rubles. Compounding daily (x=365) gives ≈2.7146. It might seem that continuous compounding (x→∞, interest accruing literally every instant) should make the sum grow without bound — after all, there are infinitely many compounding events. But each individual compounding becomes vanishingly small at the same time (1/x→0), and the result of this tug-of-war between "infinitely many events" and "a vanishingly small effect from each" is that the sum levels off at a limit — it will never exceed e≈2.71828 rubles, no matter how many times a year the interest compounds.
Рис. 58. Рост вклада (1+1/x)ˣ в зависимости от числа начислений в год x: x=1 даёт 2, x=12 — ≈2.61, x=365 — ≈2.7146, а при x→∞ (непрерывное начисление) сумма стремится к e≈2.71828, но никогда его не превышает.Fig. 58. The growth of the deposit (1+1/x)ˣ as a function of the number of compounding events per year x: x=1 gives 2, x=12 gives ≈2.61, x=365 gives ≈2.7146, and as x→∞ (continuous compounding) the sum tends toward e≈2.71828, but never exceeds it.
Второй замечательный предел работает только при точном соответствии структуры «единица плюс обратная величина к переменной, возведённая в степень с той же переменной». Выражение вида (1+1/x)^(2x) — уже не готовый шаблон e, а требует того же приёма замены переменной, что и в Примере 17.2 (даст e²). А выражение (1+2/x)ˣ даёт e² по общему паттерну из Примера 17.2, а вовсе не e — путать константу в числителе дроби и в показателе степени с самим числом e напрямую — частая ошибка при беглом применении шаблона без проверки структуры.The second remarkable limit only works with an exact match of the structure "one plus a reciprocal of the variable, raised to a power with that same variable." An expression like (1+1/x)^(2x) isn't already the ready-made e template — it needs the same variable-substitution trick as in Example 17.2 (giving e²). And the expression (1+2/x)ˣ gives e² by the general pattern from Example 17.2, not e at all — conflating a constant in the numerator of the fraction or in the exponent with the number e itself directly is a common mistake when applying the template hastily without checking the structure.
Подстановка какого угодно конкретного, пусть и очень большого x (например, x=10⁹) в (1+1/x)ˣ даёт лишь приближение к e, а не само число e — предел описывает поведение выражения при x→∞, а не значение при каком-то конкретном (пусть и огромном) x. Это та же логика, что уже разбиралась на пальцах в 16.1: значение функции в точке (или «около бесконечности») и предел — разные вещи, даже если численно они очень близки. Число e — конкретное иррациональное число (13.2, 15.4), существующее независимо от того, при каком x его пытаются приблизить.Plugging in any specific, however large, x (say, x=10⁹) into (1+1/x)ˣ only gives an approximation to e, not the number e itself — the limit describes the expression's behavior as x→∞, not its value at some specific (however huge) x. This is the same logic already discussed in plain language in 16.1: a function's value at a point (or "near infinity") and its limit are different things, even if numerically very close. The number e is a specific irrational number (13.2, 15.4), existing independently of whatever x is used to approximate it.
источникsource
Второй замечательный предел — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §17.6 «Второй замечательный предел», с. 140–141. Пример 17.2, связь с 15.4/17.3/20.6, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The second remarkable limit — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §17.6 "The Second Remarkable Limit," pp. 140–141. Example 17.2, the connection to 15.4/17.3/20.6, and the "Gotchas" section, are original additions.