Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e. Натуральные логарифмыThe limit of a monotonic bounded sequence. The number e. Natural logarithms

Идея доказательства (для возрастающей последовательности): множество значений {xₙ} ограничено сверху (по условию), значит по аксиоме полноты (13.2) у него существует точная верхняя грань a=sup{xₙ} — то самое число, гарантированное полнотой ℝ, без которого (как отмечалось в 13.2) последовательность рациональных приближений √2 не имела бы предела внутри ℚ. Далее показывается, что именно это a и есть предел последовательности: по определению супремума, для любого ε>0 найдётся член x_N>a-ε (иначе a-ε было бы меньшей верхней гранью), а по монотонности все последующие члены xₙ≥x_N>a-ε, и одновременно xₙ≤a<a+ε (супремум — верхняя грань) — оба неравенства вместе дают |xₙ-a|<ε, в точности определение предела из 15.2.The idea of the proof (for an increasing sequence): the set of values {xₙ} is bounded above (by hypothesis), so by the completeness axiom (13.2) it has a least upper bound a=sup{xₙ} — exactly the number guaranteed by the completeness of ℝ, without which (as noted in 13.2) the sequence of rational approximations to √2 would have no limit within ℚ. It's then shown that this very a is the sequence's limit: by the definition of a supremum, for any ε>0 there's a term x_N>a-ε (otherwise a-ε would be a smaller upper bound), and by monotonicity every subsequent term xₙ≥x_N>a-ε, while also xₙ≤a<a+ε (the supremum is an upper bound) — both inequalities together give |xₙ-a|<ε, exactly the definition of a limit from 15.2.

Ключевая особенность теоремы — она устанавливает существование предела без вычисления его значения, чисто из монотонности и ограниченности. Это принципиально отличается от Примера 15.1 в 15.2, где предел был известен заранее (0) и требовалось лишь его подтвердить. Теорема Вейерштрасса даёт инструмент для случаев, когда явную формулу предела найти не удаётся вовсе, — именно так определяется число e ниже.The theorem's key feature — it establishes the limit's existence without computing its value, purely from monotonicity and boundedness. This is fundamentally different from Example 15.1 in 15.2, where the limit was known in advance (0) and only needed confirming. The Weierstrass theorem provides a tool for cases where an explicit formula for the limit can't be found at all — exactly how the number e is defined below.

Рассмотрим последовательность xₙ = (1+1/n)ⁿ. Можно показать (используя бином Ньютона для раскрытия степени), что эта последовательность строго возрастает и ограничена сверху (например, числом 3). По теореме Вейерштрасса выше, она сходится к некоторому пределу.Consider the sequence xₙ = (1+1/n)ⁿ. It can be shown (using the binomial theorem to expand the power) that this sequence is strictly increasing and bounded above (say, by the number 3). By the Weierstrass theorem above, it converges to some limit.

e = lim (1+1/n)ⁿ,   n→∞.

Это прямое применение всего аппарата, выстроенного выше: монотонность и ограниченность проверяются конкретно для этой последовательности, а дальше вступает теорема Вейерштрасса, гарантирующая, что предел существует как некоторое действительное число — конкретно, иррациональное (что согласуется с иерархией из 13.2: e∈ℝ\ℚ, как и √2, только доказательство иррациональности e устроено сложнее). То, что этот предел получает специальное имя (e) и не выражается через уже известные числа и операции, — не недостаток определения, а типичная ситуация в анализе: многие важные константы вводятся именно как пределы, а не как результат вычисления по формуле.This is a direct application of the entire apparatus built above: monotonicity and boundedness are checked specifically for this sequence, and then the Weierstrass theorem kicks in, guaranteeing the limit exists as some real number — specifically, an irrational one (consistent with the hierarchy from 13.2: e∈ℝ\ℚ, like √2, though the proof of e's irrationality is more involved). That this limit gets a special name (e) and isn't expressible through already-known numbers and operations isn't a shortcoming of the definition but a typical situation in analysis: many important constants are introduced precisely as limits, not as the result of computing a formula.

Логарифм по основанию e называют натуральным логарифмом и обозначают ln x вместо logₑ x — частный случай логарифмической функции из 14.6, где основание зафиксировано именно этим особым числом. Как уже отмечалось в 14.6, выбор a=e — не произвольный: он окажется тем основанием, при котором производная логарифма устроена проще всего (это будет доказано в 20.6), что и оправдывает специальное обозначение и особый статус этой функции во всём дальнейшем курсе.The logarithm base e is called the natural logarithm and denoted ln x instead of logₑ x — a special case of the logarithmic function from 14.6, where the base is fixed at precisely this special number. As already noted in 14.6, the choice a=e isn't arbitrary: it will turn out to be the base for which the logarithm's derivative is simplest (this will be proved in 20.6), which justifies the special notation and privileged status of this function throughout the rest of the course.