20.6 — Глава V, §20. Производная функции20.6 — Chapter V, §20. The Derivative of a Function
20.4–20.5 дали инструменты для дифференцирования комбинаций функций через производные их частей. Здесь наконец выводятся сами эти «части» — производные каждой из основных элементарных функций (14.6), уже неоднократно использованные без доказательства в примерах 20.2–20.4. После этого пункта таблица производных (собранная в единый список в 20.8) закрывает практически весь курс дифференцирования элементарных функций.20.4–20.5 gave tools for differentiating combinations of functions from the derivatives of their parts. Here those very "parts" are finally derived — the derivatives of each basic elementary function (14.6), already used repeatedly without proof in Examples 20.2–20.4. After this item, the table of derivatives (assembled into a single list in 20.8) covers practically the entire scope of differentiating elementary functions.
Обобщая Пример 20.1 ((x²)'=2x) на произвольный показатель, степенная функция y=xⁿ имеет производную (xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹ — формула, доказываемая биномом Ньютона для целых n и распространяемая на произвольные вещественные показатели через 20.5 (запись xⁿ=e^{n ln x} и цепное правило) и 20.6 ниже (производная eˣ, ln x).Generalizing Example 20.1 ((x²)'=2x) to an arbitrary exponent, the power function y=xⁿ has the derivative (xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹ — a formula proved via the binomial theorem for integer n and extended to arbitrary real exponents through 20.5 (writing xⁿ=e^{n \ln x} and the chain rule) and 20.6 below (the derivatives of eˣ, \ln x).
Производная y=sin x вычисляется напрямую по определению (20.2), и здесь наконец в дело вступает первый замечательный предел (17.5):The derivative of y=\sin x is computed directly from the definition (20.2), and here the first remarkable limit (17.5) finally comes into play:
Δy = sin(x+Δx) - sin x = 2·cos(x+Δx/2)·sin(Δx/2) (формула разности синусов)
Δy/Δx = cos(x+Δx/2) · sin(Δx/2)/(Δx/2)
lim_{Δx→0} Δy/Δx = cos x · 1 = cos x,где cos(x+Δx/2)→cos x по непрерывности косинуса (19.4), а sin(Δx/2)/(Δx/2)→1 — это в точности первый замечательный предел (17.5) с заменой переменной u=Δx/2→0. Аналогично, используя cos x=sin(π/2-x) и цепное правило (20.5), получают (cos x)'=-sin x. Производные tg x и ctg x следуют из правила частного (20.4), применённого к tg x=sin x/cos x.where \cos(x+Δx/2)→\cos x by the continuity of cosine (19.4), and \sin(Δx/2)/(Δx/2)→1 is exactly the first remarkable limit (17.5) with the substitution u=Δx/2→0. Similarly, using \cos x=\sin(π/2-x) and the chain rule (20.5), one gets (\cos x)'=-\sin x. The derivatives of \tan x and \cot x follow from the quotient rule (20.4), applied to \tan x=\sin x/\cos x.
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(tg x)' = 1/cos²x
(ctg x)' = -1/sin²x
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(\sin x)' = \cos x
(\cos x)' = -\sin x
(\tan x)' = 1/\cos^2 x
(\cot x)' = -1/\sin^2 x
Производная y=ln x по определению:The derivative of y=\ln x from the definition:
Δy/Δx = [ln(x+Δx)-ln x]/Δx = (1/Δx)·ln[(x+Δx)/x] = (1/x)·(x/Δx)·ln(1+Δx/x)Введя t=Δx/x→0 при Δx→0, последний множитель — ln(1+t)/t, и это в точности таблица эквивалентностей из 18.2 (ln(1+t)~t, откуда lim ln(1+t)/t=1) — прямое следствие второго замечательного предела (17.6). Значит lim_{Δx→0}Δy/Δx = 1/x. Именно здесь окупается выбор основания e, отмеченный ещё в 14.6 и 15.4: для ln x (основание e) формула получается предельно простой, 1/x, без дополнительного множителя.Introducing t=Δx/x→0 as Δx→0, the last factor is \ln(1+t)/t, and this is exactly the equivalence table from 18.2 (\ln(1+t)~t, giving lim \ln(1+t)/t=1) — a direct consequence of the second remarkable limit (17.6). So lim_{Δx→0}Δy/Δx = 1/x. This is precisely where the choice of base e, already flagged back in 14.6 and 15.4, pays off: for \ln x (base e), the formula comes out maximally simple, 1/x, with no extra factor.
Для произвольного основания, y=log_a x = ln x/ln a (формула перехода между основаниями), и по правилу (cu)'=cu' (20.4): (log_a x)' = 1/(x ln a) — здесь и виден лишний множитель 1/ln a, отсутствующий при a=e (поскольку ln e=1), что и обещало 14.6.For an arbitrary base, y=\log_a x = \ln x/\ln a (the change-of-base formula), and by the rule (cu)'=cu' (20.4): (\log_a x)' = 1/(x \ln a) — here the extra factor 1/\ln a is visible, absent when a=e (since \ln e=1), exactly as promised in 14.6.
Производная y=eˣ выводится через обратную функцию (20.5): eˣ обратна к ln x, и по теореме о производной обратной функции, (eˣ)'_x = 1/(ln y)'_y, где y=eˣ. Так как (ln y)'_y=1/y, получаем (eˣ)'=1/(1/y)=y=eˣ — показательная функция с основанием e совпадает со своей собственной производной, единственная элементарная функция с этим свойством. Для произвольного основания a, используя aˣ=e^{x ln a} и цепное правило (20.5): (aˣ)'=aˣ·ln a.The derivative of y=eˣ is derived via the inverse function (20.5): eˣ is inverse to \ln x, and by the theorem on the derivative of an inverse function, (eˣ)'_x = 1/(\ln y)'_y, where y=eˣ. Since (\ln y)'_y=1/y, this gives (eˣ)'=1/(1/y)=y=eˣ — the exponential function with base e coincides with its own derivative, the only elementary function with this property. For an arbitrary base a, using aˣ=e^{x \ln a} and the chain rule (20.5): (aˣ)'=aˣ·\ln a.
(ln x)' = 1/x
(log_a x)' = 1/(x ln a)
(eˣ)' = eˣ
(aˣ)' = aˣ·ln a
(\ln x)' = 1/x
(\log_a x)' = 1/(x \ln a)
(eˣ)' = eˣ
(aˣ)' = aˣ·\ln a
Найти производную y=e^{sin x}.Find the derivative of y=e^{\sin x}.
Композиция f(u)=eᵘ и u=φ(x)=sin x. По цепному правилу (20.5): y'=e^{sin x}·(sin x)'=e^{sin x}·cos x — производная eᵘ «переносится» без изменений (поскольку eᵘ — своя собственная производная), а множитель cos x берётся из таблицы выше.A composition of f(u)=eᵘ and u=φ(x)=\sin x. By the chain rule (20.5): y'=e^{\sin x}·(\sin x)'=e^{\sin x}·\cos x — the derivative of eᵘ "carries over" unchanged (since eᵘ is its own derivative), and the factor \cos x is taken from the table above.
Большинство функций при дифференцировании превращаются во что-то другое: x² становится 2x, sin x становится cos x. Функция eˣ — уникальное исключение: её скорость роста в каждой точке в точности равна её собственному значению в этой точке. Это можно понять как самоподдерживающийся процесс: чем больше значение функции, тем быстрее она растёт — а поскольку она растёт именно с такой скоростью, какой является её собственное значение, рост «раскручивается» экспоненциально сам собой, без внешнего управления. Именно эта самоподдерживающаяся структура и есть содержательный смысл выбора e как «естественного» основания, отмеченного ещё в 15.4 и 14.6: только при этом конкретном основании скорость роста в точности совпадает со значением, без искажающего множителя ln a.Most functions turn into something else under differentiation: x² becomes 2x, \sin x becomes \cos x. The function eˣ is a unique exception: its rate of growth at every point exactly equals its own value at that point. This can be understood as a self-sustaining process: the larger the function's value, the faster it grows — and since it grows at exactly the rate that is its own value, the growth "spins itself up" exponentially with no external control. This self-sustaining structure is precisely the substantive meaning of choosing e as the "natural" base, already flagged back in 15.4 and 14.6: only at this specific base does the growth rate exactly match the value, with no distorting factor \ln a.
Пример из жизни. Представьте банковский вклад с непрерывно начисляемыми процентами (17.6 уже разбирало похожую ситуацию для числа e как предела): скорость прироста суммы на счету в любой момент пропорциональна текущей сумме — чем больше денег уже накоплено, тем больше в абсолютных рублях прирастает за секунду, хотя относительная ставка процента постоянна. Если процентная ставка подобрана так, что коэффициент пропорциональности равен ровно единице (то есть каждая единица суммы приносит ровно единицу прироста в единицу времени — тот самый «естественный» темп роста), баланс счёта в момент времени t — это в точности e^t, и скорость его роста в любой момент буквально равна текущему балансу. Именно эта самоподдерживающаяся связь «скорость роста = текущий размер» и есть смысл формулы (eˣ)'=eˣ.A real-life example. Picture a bank deposit with continuously compounded interest (17.6 already examined a similar situation for the number e as a limit): the rate at which the account balance grows at any moment is proportional to the current balance — the more money already accumulated, the more it grows in absolute currency per second, even though the relative interest rate stays constant. If the interest rate is set so the proportionality constant is exactly one (i.e., each unit of balance yields exactly one unit of growth per unit of time — the "natural" growth rate), the account balance at time t is exactly e^t, and its rate of growth at any moment literally equals the current balance. That self-sustaining relationship "rate of growth = current size" is precisely the meaning of the formula (eˣ)'=eˣ.
Рис. 72. График y=eˣ: наклон касательной в каждой точке в точности равен высоте графика в этой же точке — там, где функция мала, рост пологий; там, где функция велика, рост крутой, ровно пропорционально текущему значению.Fig. 72. The graph of y=eˣ: the tangent's slope at every point exactly equals the graph's height at that same point — where the function is small, growth is gentle; where the function is large, growth is steep, exactly proportional to the current value.
Формулы (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ (степенная функция: переменная в основании, показатель постоянный) и (aˣ)'=aˣln a (показательная функция: переменная в показателе, основание постоянное) — структурно разные объекты, несмотря на внешнее сходство обозначений. Применить степенное правило к 2ˣ (написав, скажем, x·2ˣ⁻¹) — грубая ошибка: 2ˣ вообще не является степенной функцией в смысле 14.6, это показательная функция, и её нужно дифференцировать по совершенно другой формуле из этого пункта. Различать, «что» является переменной — основание или показатель, — первый шаг перед выбором формулы.The formulas (xⁿ)'=nx^{n-1} (power function: variable in the base, constant exponent) and (aˣ)'=aˣ\ln a (exponential function: variable in the exponent, constant base) are structurally different objects, despite superficial notational similarity. Applying the power rule to 2ˣ (writing, say, x·2^{x-1}) is a crude mistake: 2ˣ isn't a power function at all in the sense of 14.6, it's an exponential function, and must be differentiated by a completely different formula from this section. Distinguishing "what" is the variable — the base or the exponent — is the first step before choosing a formula.
Выражение xˣ — ни степенная функция (показатель не постоянный), ни показательная (основание не постоянное) в смысле определений выше, и напрямую в таблицу этого пункта не укладывается. Такие функции требуют отдельного приёма (логарифмическое дифференцирование — тема §22, следующая за материалом этой главы), сводящего задачу к уже известным правилам через предварительное логарифмирование обеих частей равенства y=f(x)^{g(x)}. Пытаться применить напрямую степенное или показательное правило к xˣ — методологическая ошибка, не имеющая формального обоснования ни в одной из выведенных здесь формул.The expression xˣ is neither a power function (the exponent isn't constant) nor an exponential function (the base isn't constant) in the sense of the definitions above, and doesn't fit directly into this section's table. Such functions require a separate technique (logarithmic differentiation — the topic of §22, following the material in this chapter), reducing the problem to already-known rules by first taking the logarithm of both sides of y=f(x)^{g(x)}. Trying to apply the power rule or the exponential rule directly to xˣ is a methodological error with no formal justification in any of the formulas derived here.
источникsource
Производные основных элементарных функций — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §20.6 «Производные основных элементарных функций», с. 158–162. Примеры 20.5, связь с 17.5/17.6/18.2/19.4/20.5/20.7, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Derivatives of the basic elementary functions — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §20.6 "Derivatives of the Basic Elementary Functions," pp. 158–162. Example 20.5, the connection to 17.5/17.6/18.2/19.4/20.5/20.7, and the "Gotchas" section, are original additions.