20.7 — Глава V, §20. Производная функции20.7 — Chapter V, §20. The Derivative of a Function
14.6 перечислило тригонометрические функции как одну из пяти семей основных элементарных функций, но не упомянуло их менее очевидных «родственников» — гиперболические функции, построенные не из окружности, а из показательной функции eˣ, чью производную только что вывели в 20.6. Здесь эти функции вводятся впервые и сразу дифференцируются — производные оказываются даже проще тригонометрических, именно потому что построены напрямую из eˣ, не требуя первого замечательного предела.14.6 listed the trigonometric functions as one of five families of basic elementary functions, but didn't mention their less obvious "relatives" — the hyperbolic functions, built not from the circle but from the exponential function eˣ, whose derivative was just derived in 20.6. Here these functions are introduced for the first time and immediately differentiated — the derivatives turn out even simpler than the trigonometric ones, precisely because they're built directly from eˣ, requiring no first remarkable limit.
sh x = (eˣ - e⁻ˣ)/2 (гиперболический синус)
ch x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 (гиперболический косинус)
th x = sh x/ch x (гиперболический тангенс)
cth x = ch x/sh x (гиперболический котангенс, при x≠0)
\sinh x = (eˣ - e⁻ˣ)/2 (hyperbolic sine)
\cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 (hyperbolic cosine)
\tanh x = \sinh x/\cosh x (hyperbolic tangent)
\coth x = \cosh x/\sinh x (hyperbolic cotangent, for x≠0)
Название «гиперболические» связано с тем, что точка (ch t; sh t) при изменении t пробегает правую ветвь гиперболы x²-y²=1 (это проверяется напрямую: ch²t-sh²t = [(eᵗ+e⁻ᵗ)/2]²-[(eᵗ-e⁻ᵗ)/2]² = (e²ᵗ+2+e⁻²ᵗ)/4 - (e²ᵗ-2+e⁻²ᵗ)/4 = 1), точно так же, как (cos t; sin t) пробегает единичную окружность x²+y²=1 (12.9: канонические уравнения второго порядка). Формулы через eˣ и e⁻ˣ — не искусственная аналогия с тригонометрией, а самостоятельное, содержательное определение.The name "hyperbolic" comes from the fact that the point (\cosh t; \sinh t), as t varies, traces out the right branch of the hyperbola x²-y²=1 (verified directly: \cosh^2 t-\sinh^2 t = [(eᵗ+e⁻ᵗ)/2]²-[(eᵗ-e⁻ᵗ)/2]² = (e^{2t}+2+e^{-2t})/4 - (e^{2t}-2+e^{-2t})/4 = 1), exactly as (\cos t; \sin t) traces out the unit circle x²+y²=1 (12.9: canonical second-order equations). The formulas via eˣ and e⁻ˣ aren't an artificial analogy to trigonometry, but a standalone, substantive definition.
Производные вычисляются прямым применением уже известных правил — линейности (20.4) и (eˣ)'=eˣ, (e⁻ˣ)'=-e⁻ˣ (последнее по цепному правилу, 20.5, с внутренней функцией -x):The derivatives are computed by direct application of already-known rules — linearity (20.4) and (eˣ)'=eˣ, (e^{-x})'=-e^{-x} (the latter by the chain rule, 20.5, with inner function -x):
(sh x)' = [(eˣ-e⁻ˣ)/2]' = (eˣ+e⁻ˣ)/2 = ch x
(ch x)' = [(eˣ+e⁻ˣ)/2]' = (eˣ-e⁻ˣ)/2 = sh xПроизводные th x и cth x получаются из правила частного (20.4), применённого к sh x/ch x и ch x/sh x, с использованием тождества ch²x-sh²x=1 в упрощении числителя — совершенно тем же приёмом, каким в 20.6 из sin x/cos x получалась производная tg x.The derivatives of \tanh x and \coth x follow from the quotient rule (20.4), applied to \sinh x/\cosh x and \cosh x/\sinh x, using the identity \cosh^2 x-\sinh^2 x=1 to simplify the numerator — the exact same technique that gave the derivative of \tan x from \sin x/\cos x in 20.6.
(sh x)' = ch x
(ch x)' = sh x
(th x)' = 1/ch²x
(cth x)' = -1/sh²x
(\sinh x)' = \cosh x
(\cosh x)' = \sinh x
(\tanh x)' = 1/\cosh^2 x
(\coth x)' = -1/\sinh^2 x
Обычные sin и cos естественно возникают из вращения (угол на окружности, 12.9) — их периодичность (14.3) отражает тот факт, что после полного оборота всё повторяется. Гиперболические функции возникают из принципиально другого физического сюжета: не вращение, а комбинация «нарастающего» процесса eˣ и «затухающего» e⁻ˣ, каждый из которых по отдельности монотонен и не периодичен (14.3, 14.6). sh x и ch x — это, по сути, «полусумма» и «полуразность» роста и затухания, взятые в равных пропорциях — отсюда деление на 2 в определении.Ordinary \sin and \cos arise naturally from rotation (an angle on a circle, 12.9) — their periodicity (14.3) reflects the fact that everything repeats after a full turn. The hyperbolic functions arise from a fundamentally different physical setup: not rotation, but a combination of a "growing" process eˣ and a "decaying" one e^{-x}, each individually monotonic and non-periodic (14.3, 14.6). \sinh x and \cosh x are, in essence, the "half-sum" and "half-difference" of growth and decay, taken in equal proportion — hence the division by 2 in the definition.
Пример из жизни. Классический физический образ гиперболического косинуса — форма свободно провисающей цепи или кабеля, закреплённого на двух опорах (так называемая «цепная линия»): под действием силы тяжести и натяжения кабель провисает по форме, в точности описываемой графиком y=ch(x) (с подходящим масштабом). Это не метафора, а реальная физическая модель, выведенная из уравнений равновесия сил. Гиперболический тангенс, в свою очередь, — типичная форма «насыщающегося роста»: скорость роста популяции, изначально экспоненциальная, замедляется по мере приближения к некоторому пределу, и график th x — стандартная модель такого поведения в самых разных задачах (от роста нейронной активности до химических реакций с насыщением).A real-life example. The classic physical image of hyperbolic cosine is the shape of a freely hanging chain or cable, anchored at two supports (the so-called "catenary"): under gravity and tension, the cable sags into a shape exactly described by the graph of y=\cosh(x) (with a suitable scale). This isn't a metaphor but an actual physical model, derived from the equations of force equilibrium. Hyperbolic tangent, in turn, is a typical "saturating growth" shape: a population's growth rate, initially exponential, slows down as it approaches some limit, and the graph of \tanh x is a standard model for such behavior in a wide range of problems (from neural activation to saturating chemical reactions).
Рис. 73. Цепная линия — физическая форма свободно провисающего кабеля, закреплённого в двух точках, описывается графиком гиперболического косинуса y=ch(x).Fig. 73. The catenary — the physical shape of a freely hanging cable anchored at two points — is described by the graph of hyperbolic cosine y=\cosh(x).
Внешнее сходство обозначений (sh/ch напоминают sin/cos) провоцирует автоматически перенести знакомый паттерн (sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x (с минусом на втором шаге) на гиперболические аналоги. Но это неверно: (sh x)'=ch x и (ch x)'=sh x — оба без минуса. Минус в тригонометрии возникает из периодичности вращения (после полного цикла синус и косинус меняются местами со сдвигом фазы), а у гиперболических функций, не связанных с вращением (см. объяснение на пальцах выше), никакого аналогичного механизма для минуса нет.The superficial similarity in notation (\sinh/\cosh resemble \sin/\cos) invites automatically carrying over the familiar pattern (\sin x)'=\cos x, (\cos x)'=-\sin x (with a minus sign at the second step) to the hyperbolic analogues. But that's wrong: (\sinh x)'=\cosh x and (\cosh x)'=\sinh x — both without a minus sign. The minus sign in trigonometry arises from the periodicity of rotation (after a full cycle, sine and cosine swap places with a phase shift), and the hyperbolic functions, unrelated to rotation (see the plain-language explanation above), have no analogous mechanism producing a minus sign.
Ожидание, что ch x ведёт себя «как cos x, но гиперболический» (то есть колеблется в диапазоне, скажем, [-1;1]), в корне неверно — прямое следствие того, что ch x строится из суммы eˣ и e⁻ˣ, обе части которой положительны и одна из них неограниченно растёт при |x|→∞ (16.4). Минимум ch x достигается в x=0 (ch 0=1), а дальше функция монотонно и неограниченно растёт в обе стороны — прямая противоположность ограниченной, периодической природе cos x (14.3, 14.6). Название «косинус» здесь отражает лишь структурную (алгебраическую) аналогию — тождество ch²-sh²=1, похожее на cos²+sin²=1, — но не поведенческую.Expecting \cosh x to behave "like \cos x, but hyperbolic" (i.e., oscillating in some range, say [-1;1]), is fundamentally wrong — a direct consequence of \cosh x being built from the sum eˣ and e^{-x}, both positive parts, one of which grows without bound as |x|→∞ (16.4). The minimum of \cosh x is attained at x=0 (\cosh 0=1), and beyond that the function grows monotonically and without bound in both directions — the exact opposite of the bounded, periodic nature of \cos x (14.3, 14.6). The name "cosine" here reflects only a structural (algebraic) analogy — the identity \cosh^2-\sinh^2=1, resembling \cos^2+\sin^2=1 — not a behavioral one.
источникsource
Гиперболические функции и их производные — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §20.7 «Гиперболические функции и их производные», с. 162–163. Связь с 12.9/14.3/14.6/20.4/20.6, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Hyperbolic functions and their derivatives — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §20.7 "Hyperbolic Functions and Their Derivatives," pp. 162–163. The connection to 12.9/14.3/14.6/20.4/20.6, and the "Gotchas" section, are original additions.