20.8 — Глава V, §20. Производная функции20.8 — Chapter V, §20. The Derivative of a Function
20.1–20.7 выводили каждую формулу заново, с доказательством — правильный порядок для первого знакомства, но неудобный для практического применения. Этот последний пункт §20 не вводит ничего нового: он просто собирает результаты предыдущих семи пунктов (плюс производные обратных тригонометрических функций, полученные тем же приёмом, что arcsin x в 20.5) в единый справочный список — рабочий инструмент, к которому обращаются, не пересчитывая доказательства каждый раз.20.1–20.7 derived each formula from scratch, with proof — the right order for a first encounter, but inconvenient for practical use. This final item of §20 introduces nothing new: it simply gathers the results of the previous seven items (plus the derivatives of the inverse trigonometric functions, obtained by the same technique as \arcsin x in 20.5) into a single reference list — a working tool to consult without recomputing proofs every time.
(u±v)' = u'±v' · (cu)' = cu' · (uv)' = u'v+uv' · (u/v)' = (u'v-uv')/v² · (f(φ(x)))' = f'(φ(x))·φ'(x)
(u±v)' = u'±v' · (cu)' = cu' · (uv)' = u'v+uv' · (u/v)' = (u'v-uv')/v² · (f(φ(x)))' = f'(φ(x))·φ'(x)
Пример 20.4 вывел (arcsin x)'=1/√(1-x²) через теорему о производной обратной функции (20.5). Тем же приёмом — с той же логикой отражения относительно y=x, объяснённой на пальцах там — получаются оставшиеся три:Example 20.4 derived (\arcsin x)'=1/\sqrt{1-x²} via the theorem on the derivative of an inverse function (20.5). The same technique — with the same reflection-across-y=x logic explained in plain language there — gives the remaining three:
(arcsin x)' = 1/√(1-x²)
(arccos x)' = -1/√(1-x²)
(arctg x)' = 1/(1+x²)
(arcctg x)' = -1/(1+x²)
(\arcsin x)' = 1/\sqrt{1-x²}
(\arccos x)' = -1/\sqrt{1-x²}
(\arctan x)' = 1/(1+x²)
(\text{arccot}\, x)' = -1/(1+x²)
Пары arcsin/arccos и arctg/arcctg отличаются только знаком — это прямое следствие тождеств arcsin x+arccos x=π/2 и arctg x+arcctg x=π/2 (14.6): если сумма двух функций — постоянная π/2, их производные обязаны быть противоположны по знаку (правило суммы, 20.4, применённое к (f+g)'=(const)'=0).The pairs \arcsin/\arccos and \arctan/\text{arccot} differ only in sign — a direct consequence of the identities \arcsin x+\arccos x=π/2 and \arctan x+\text{arccot}\, x=π/2 (14.6): if the sum of two functions is the constant π/2, their derivatives must be opposite in sign (the sum rule, 20.4, applied to (f+g)'=(\text{const})'=0).
| ФункцияFunction | ПроизводнаяDerivative | ИсточникSource |
|---|---|---|
c | 0 | 20.4 |
xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | 20.6 |
sin x | cos x | 20.6 |
cos x | -sin x | 20.6 |
tg x | 1/cos²x | 20.6 |
ctg x | -1/sin²x | 20.6 |
arcsin x | 1/√(1-x²) | 20.5, 20.8 |
arccos x | -1/√(1-x²) | 20.8 |
arctg x | 1/(1+x²) | 20.8 |
arcctg x | -1/(1+x²) | 20.8 |
ln x | 1/x | 20.6 |
log_a x | 1/(x ln a) | 20.6 |
eˣ | eˣ | 20.6 |
aˣ | aˣ·ln a | 20.6 |
sh x | ch x | 20.7 |
ch x | sh x | 20.7 |
th x | 1/ch²x | 20.7 |
cth x | -1/sh²x | 20.7 |
Найти производную y = ln(arctg x) + x³·eˣ, используя только таблицу и правила, без обращения к пределам.Find the derivative of y = \ln(\arctan x) + x³·eˣ, using only the table and the rules, without appealing to limits.
Правило суммы (20.4) разбивает задачу на два независимых слагаемых. Первое — композиция ln(u) с u=arctg x, цепное правило (20.5): [ln(arctg x)]' = 1/(arctg x) · 1/(1+x²) (первый множитель — производная ln из таблицы, второй — производная arctg, тоже из таблицы). Второе — произведение x³ и eˣ, правило произведения (20.4): (x³·eˣ)' = 3x²·eˣ + x³·eˣ (обе производные — прямо из таблицы). Итог:The sum rule (20.4) splits the problem into two independent terms. The first is a composition \ln(u) with u=\arctan x, the chain rule (20.5): [\ln(\arctan x)]' = 1/(\arctan x) · 1/(1+x²) (the first factor is the derivative of \ln from the table, the second is the derivative of \arctan, also from the table). The second is a product of x³ and eˣ, the product rule (20.4): (x³·eˣ)' = 3x²·eˣ + x³·eˣ (both derivatives come straight from the table). The result:
y' = 1/[(arctg x)·(1+x²)] + 3x²·eˣ + x³·eˣ.Ни одного предела не вычислено напрямую — вся задача решена комбинированием пяти правил из 20.4–20.5 и таблицы значений из 20.6–20.7. Это и есть итоговая цель всего §20: превратить дифференцирование в механическую, алгоритмическую процедуру.Not a single limit was computed directly — the whole problem was solved by combining the five rules from 20.4–20.5 with the table of values from 20.6–20.7. This is exactly the ultimate goal of all of §20: turning differentiation into a mechanical, algorithmic procedure.
Путь §20 — это движение от «кустарного ремесла» к «сборочной линии». В 20.2 и 20.3 каждая производная высекалась вручную, через громоздкий предел отношения приращений (как в Примере 20.1 для простейшего x²) — трудоёмкий, но необходимый этап, дающий понимание, откуда вообще берётся вся эта механика. В 20.4–20.7 это ручное мастерство было один раз применено к каждому базовому «кирпичику» (степенным, тригонометрическим, показательным, гиперболическим функциям) и к каждому способу их соединения (сумма, произведение, частное, композиция) — и зафиксировано в виде готовых, проверенных правил. Здесь, в 20.8, кустарное ремесло окончательно упаковано в сборочную линию: дифференцирование почти любой встречающейся в задачах функции превращается в набор механических подстановок по таблице, без единого обращения к исходному определению через предел.The arc of §20 is a movement from "artisanal craft" to an "assembly line." In 20.2 and 20.3, every derivative was hand-carved via the cumbersome limit of a ratio of increments (as in Example 20.1 for the simplest x²) — a laborious but necessary stage, giving insight into where this whole machinery even comes from. In 20.4–20.7, that hand-craftsmanship was applied once to each basic "building block" (power, trigonometric, exponential, hyperbolic functions) and each way of combining them (sum, product, quotient, composition) — and locked in as ready-made, verified rules. Here, in 20.8, the artisanal craft is finally packaged into an assembly line: differentiating almost any function encountered in problems becomes a set of mechanical table lookups, with not a single appeal to the original limit-based definition.
Пример из жизни. Ровно та же логика — в переходе от кулинарного искусства к промышленной кухне быстрого питания. Шеф-повар однажды разрабатывает и оттачивает рецепт (аналог доказательства формулы через предел, 20.2–20.3, 20.6–20.7) — трудоёмкий, творческий, требующий понимания химии готовки процесс. После этого рецепт записывается в виде точной инструкции (таблица), и дальше любой сотрудник кухни может собрать блюдо, просто комбинируя готовые ингредиенты по инструкции — не изобретая рецепт заново каждый раз и не обязательно понимая, почему именно такое сочетание температур и пропорций работает. Таблица производных играет для дифференцирования ту же роль, что стандартизированное меню для кухни быстрого питания: превращает творческую, штучную работу в надёжную, воспроизводимую процедуру.A real-life example. Exactly the same logic applies in the shift from culinary artistry to an industrial fast-food kitchen. A chef develops and perfects a recipe once (the analogue of proving a formula via a limit, 20.2–20.3, 20.6–20.7) — a laborious, creative process requiring an understanding of cooking chemistry. After that, the recipe is written down as a precise instruction (the table), and from then on any kitchen worker can assemble the dish just by combining ready-made ingredients according to the instructions — without reinventing the recipe every time or necessarily understanding why that particular combination of temperatures and proportions works. The table of derivatives plays the same role for differentiation that a standardized menu plays for a fast-food kitchen: it turns creative, one-off work into a reliable, repeatable procedure.
Строка (sin x)'=cos x верна дословно только когда аргумент синуса совпадает с переменной дифференцирования. Если аргумент сложнее (например, sin(3x) или sin(x²), как в Примере 20.3), таблицу нельзя применить напрямую, не пройдя через цепное правило (20.5) — то есть нужно домножить на производную внутренней функции. Забыть об этом и написать [sin(3x)]'=cos(3x) (без множителя 3) — систематическая ошибка, уже разбиравшаяся в Граблях 20.5, но особенно легко всплывающая именно при беглом использовании таблицы как «шпаргалки», без сверки со структурой выражения.The row (\sin x)'=\cos x is literally true only when the sine's argument coincides with the variable of differentiation. If the argument is more complex (e.g., \sin(3x) or \sin(x²), as in Example 20.3), the table can't be applied directly without going through the chain rule (20.5) — that is, multiplying by the inner function's derivative. Forgetting this and writing [\sin(3x)]'=\cos(3x) (without the factor 3) is a systematic mistake, already discussed in the Gotchas of 20.5, but especially prone to resurfacing exactly when the table is used carelessly as a "cheat sheet," without checking the expression's structure.
Формулы таблицы часто верны лишь на части области определения исходной функции: (tg x)'=1/cos²x не определена там, где cos x=0 (те же точки, где не определён и сам tg x, 14.6); (arcsin x)'=1/√(1-x²) не определена при x=±1 (концы области определения arcsin, где подкоренное выражение обращается в ноль — деление на ноль) — хотя сам arcsin x в этих точках определён. Механическая подстановка в формулу без проверки, не попадает ли конкретное значение x в исключённую область, — источник формально «вычисленных», но бессмысленных ответов.The table's formulas are often valid only on part of the original function's domain: (\tan x)'=1/\cos^2 x is undefined where \cos x=0 (the same points where \tan x itself is undefined, 14.6); (\arcsin x)'=1/\sqrt{1-x²} is undefined at x=±1 (the endpoints of \arcsin's domain, where the expression under the root becomes zero — division by zero) — even though \arcsin x itself is defined at those points. Mechanically plugging into the formula without checking whether a specific value of x falls into the excluded region is a source of formally "computed" but meaningless answers.
источникsource
Таблица производных (сводный список) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §20.8 «Таблица производных», с. 163–164. Пример 20.6, связь с 20.4/20.5/20.6/20.7/21.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Table of derivatives (consolidated list) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §20.8 "Table of Derivatives," pp. 163–164. Example 20.6, the connection to 20.4/20.5/20.6/20.7/21.1, and the "Gotchas" section, are original additions.