21.1 — Глава V, §21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций21.1 — Chapter V, §21. Differentiating Implicit and Parametrically Defined Functions
Вся таблица производных из 20.8 предполагала функцию в явном виде y=f(x) — формулу, где y выражен через x напрямую. Но не каждое уравнение, связывающее x и y, разрешимо относительно y в элементарных функциях (14.6) — например, уравнение окружности x²+y²=1 (12.9) в принципе не задаёт единую функцию y=f(x) без дополнительных оговорок (одному x отвечают два значения y, что нарушает само определение функции из 14.1). Здесь вводится способ находить y', не решая уравнение относительно y вовсе.The entire table of derivatives from 20.8 assumed a function in explicit form y=f(x) — a formula with y expressed directly in terms of x. But not every equation relating x and y can be solved for y in elementary functions (14.6) — for example, the equation of a circle x²+y²=1 (12.9) doesn't, in principle, define a single function y=f(x) without extra stipulations (one x corresponds to two values of y, violating the very definition of a function from 14.1). Here a way of finding y' is introduced that doesn't require solving the equation for y at all.
Функция y=y(x) называется заданной неявно, если она определена уравнением вида F(x,y)=0, не разрешённым относительно y (в отличие от явного задания y=f(x) из 14.2).A function y=y(x) is called implicitly defined if it's determined by an equation of the form F(x,y)=0, not solved for y (as opposed to the explicit form y=f(x) from 14.2).
Метод нахождения y': обе части уравнения F(x,y)=0 дифференцируются по x, рассматривая y как функцию от x (то есть каждый раз, когда встречается y, применяется цепное правило 20.5 — производная выражения с y домножается на y', поскольку y сама зависит от x, даже если эта зависимость не выписана явной формулой). Получившееся уравнение затем решается относительно y' как относительно обычной алгебраической неизвестной.The method for finding y': both sides of the equation F(x,y)=0 are differentiated with respect to x, treating y as a function of x (that is, whenever y appears, the chain rule from 20.5 is applied — the derivative of an expression containing y gets multiplied by y', since y itself depends on x, even though that dependence isn't written out as an explicit formula). The resulting equation is then solved for y' as an ordinary algebraic unknown.
Найти y' для окружности x²+y²=1 (12.9) в точке (√2/2; √2/2).Find y' for the circle x²+y²=1 (12.9) at the point (\sqrt{2}/2; \sqrt{2}/2).
Дифференцируем обе части по x: (x²)'+(y²)'=(1)'. Первое слагаемое — обычная степенная функция (20.6): (x²)'=2x. Второе — композиция y²y зависит от x: по цепному правилу (20.5), (y²)'=2y·y' (внешняя функция «возвести в квадрат», внутренняя — сама y(x), производную которой мы и ищем). Правая часть — производная константы (20.4): (1)'=0. Уравнение принимает вид:Differentiate both sides with respect to x: (x²)'+(y²)'=(1)'. The first term is an ordinary power function (20.6): (x²)'=2x. The second is a composition y², where y depends on x: by the chain rule (20.5), (y²)'=2y·y' (the outer function is "square," the inner one is y(x) itself, whose derivative we're looking for). The right side is the derivative of a constant (20.4): (1)'=0. The equation becomes:
2x + 2y·y' = 0 ⟹ y' = -x/y.В точке (√2/2;√2/2): y'=-(√2/2)/(√2/2)=-1. Геометрически это означает, что касательная к окружности в этой точке имеет угловой коэффициент -1 — что согласуется с известным фактом: радиус в эту точку имеет угловой коэффициент 1 (прямая через начало координат и точку с равными координатами), а касательная к окружности перпендикулярна радиусу (20.2: k₁k₂=-1), так что k_кас=-1/1=-1 — результат неявного дифференцирования совпадает с независимой геометрической проверкой.At the point (\sqrt{2}/2;\sqrt{2}/2): y'=-(\sqrt{2}/2)/(\sqrt{2}/2)=-1. Geometrically this means the tangent to the circle at this point has slope -1 — consistent with a known fact: the radius to this point has slope 1 (a line through the origin and a point with equal coordinates), and the tangent to a circle is perpendicular to the radius (20.2: k₁k₂=-1), so k_{\text{tan}}=-1/1=-1 — the result of implicit differentiation matches an independent geometric check.
Представьте уравнение F(x,y)=0 как условие равновесия — «то, что стоит по одну сторону знака равенства, всегда равно тому, что по другую, каким бы x и связанным с ним y вы ни взяли». Если это равновесие держится для всех допустимых пар (x,y), то оно обязано держаться и после того, как обе стороны слегка «пошевелить» одинаковым образом — то есть продифференцировать. Не нужно сначала «развязывать» уравнение, выражая y явно (что для окружности вообще невозможно сделать одной формулой, а для более сложных F может быть попросту неразрешимо аналитически) — можно сразу отслеживать, как меняются обе стороны, помня лишь, что y — не независимая переменная, а тоже «плывёт» вместе с x.Picture the equation F(x,y)=0 as a balance condition — "whatever stands on one side of the equals sign always equals what's on the other, whatever x and its associated y you pick." If that balance holds for all valid pairs (x,y), it must also hold after both sides are nudged the same way — that is, differentiated. There's no need to first "untangle" the equation by expressing y explicitly (which for a circle can't even be done with a single formula, and for more complex F may simply be analytically unsolvable) — you can track how both sides change directly, just remembering that y isn't an independent variable, but "drifts along" with x too.
Пример из жизни. Представьте качели-балансир: расстояние от точки опоры до левого груза x и расстояние до правого груза y связаны условием равновесия x·m₁=y·m₂ (произведение расстояния на массу одинаково с обеих сторон) — это в точности уравнение F(x,y)=0 в виде xm₁-ym₂=0, неявно связывающее x и y. Если сдвинуть левый груз на Δx, чтобы качели остались в равновесии, правый груз должен сдвинуться на некоторое согласованное Δy — и найти отношение Δy/Δx (то есть y') можно, не решая заново всё уравнение равновесия с нуля каждый раз, а просто продифференцировав условие равновесия целиком, отслеживая, что оба расстояния меняются согласованно.A real-life example. Picture a balance-beam seesaw: the distance from the fulcrum to the left weight x and the distance to the right weight y are related by the equilibrium condition x·m₁=y·m₂ (distance times mass is equal on both sides) — exactly the equation F(x,y)=0 in the form xm₁-ym₂=0, implicitly relating x and y. If the left weight is shifted by Δx to keep the seesaw balanced, the right weight must shift by some matching Δy — and the ratio Δy/Δx (i.e., y') can be found without re-solving the entire equilibrium equation from scratch every time, just by differentiating the equilibrium condition as a whole, tracking how both distances change in tandem.
Рис. 74. Окружность x²+y²=1 — не функция в явном виде (одному x соответствуют два y), но неявное дифференцирование даёт производную y'=-x/y в любой точке без решения уравнения относительно y. В точке (√2/2;√2/2): y'=-1, что согласуется с перпендикулярностью касательной и радиуса.Fig. 74. The circle x²+y²=1 isn't a function in explicit form (one x corresponds to two y's), but implicit differentiation gives the derivative y'=-x/y at any point without solving the equation for y. At the point (\sqrt{2}/2;\sqrt{2}/2): y'=-1, consistent with the tangent being perpendicular to the radius.
В Примере 21.1 соблазнительно написать (y²)'=2y вместо правильного (y²)'=2y·y', забыв, что y — не независимая переменная, а сама функция от x (ровно та же ошибка, что уже разбиралась в Граблях 20.5 и 20.8 про пропуск множителя во внутренней производной цепного правила — здесь внутренняя функция просто безымянна, называется y, но правило остаётся тем же). Результат без множителя y' — качественно неверное уравнение, не дающее возможности вообще выразить y' (переменная попросту исчезнет из уравнения).In Example 21.1 it's tempting to write (y²)'=2y instead of the correct (y²)'=2y·y', forgetting that y isn't an independent variable but a function of x itself (exactly the same mistake already discussed in the Gotchas of 20.5 and 20.8 about dropping the inner-derivative factor in the chain rule — here the inner function is simply unnamed, called y, but the rule stays the same). The result without the factor y' is a qualitatively wrong equation, one that offers no way to express y' at all (the variable simply vanishes from the equation).
Формула y'=-x/y из Примера 21.1 не определена при y=0 — а на окружности такие точки есть: (1;0) и (-1;0). В этих точках касательная к окружности вертикальна (ровно тот же случай, что уже отмечался в Граблях 20.5 про x³ и его обратную функцию: горизонтальная и вертикальная касательные — взаимно исключающие крайности одной и той же геометрии). Формальная запись y'=-x/y не «ломается» произвольно — она честно сигнализирует о том, что в этих особых точках производная (в смысле конечного числа) не существует, и это нужно проверять отдельно, а не автоматически подставлять любые координаты кривой в общую формулу.The formula y'=-x/y from Example 21.1 is undefined at y=0 — and the circle has such points: (1;0) and (-1;0). At these points, the tangent to the circle is vertical (exactly the same case already noted in the Gotchas of 20.5 about x³ and its inverse function: horizontal and vertical tangents are mutually exclusive extremes of the same geometry). The formal expression y'=-x/y doesn't "break" arbitrarily — it honestly signals that at these special points the derivative (in the sense of a finite number) doesn't exist, and this needs to be checked separately, not automatically plugged into the general formula for any coordinates on the curve.
источникsource
Неявно заданная функция, метод неявного дифференцирования — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §21.1 «Неявно заданная функция», с. 165–166. Пример 21.1, связь с 12.9/14.1/20.2/20.5/20.8, раздел «Грабли» — авторское дополнение.An implicitly defined function, the method of implicit differentiation — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §21.1 "An Implicitly Defined Function," pp. 165–166. Example 21.1, the connection to 12.9/14.1/20.2/20.5/20.8, and the "Gotchas" section, are original additions.