20.5 — Глава V, §20. Производная функции20.5 — Chapter V, §20. The Derivative of a Function
20.4 покрыло четыре арифметические операции над функциями (сумма, разность, произведение, частное), но не пятую операцию из 14.5 — композицию. Здесь выводится правило для неё («цепное правило»), а заодно — правило для производной обратной функции (14.4). Вместе с 20.4 это полностью закрывает арифметику производных: любую функцию, собранную из основных элементарных (14.6) конечным числом этих пяти операций, теперь можно дифференцировать чисто механически.20.4 covered four arithmetic operations on functions (sum, difference, product, quotient), but not the fifth operation from 14.5 — composition. Here the rule for it is derived (the "chain rule"), along with the rule for the derivative of an inverse function (14.4). Together with 20.4, this completely closes the arithmetic of derivatives: any function assembled from the basic elementary functions (14.6) via a finite number of these five operations can now be differentiated purely mechanically.
Если y=f(u) дифференцируема по u, а u=φ(x) дифференцируема по x, то сложная функция y=f(φ(x)) (14.5) дифференцируема по x, иIf y=f(u) is differentiable with respect to u, and u=φ(x) is differentiable with respect to x, then the composite function y=f(φ(x)) (14.5) is differentiable with respect to x, and
y'_x = y'_u · u'_x, т.е. dy/dx = dy/du · du/dx.Идея доказательства: приращение Δx аргумента x вызывает приращение Δu промежуточной переменной u=φ(x) (по непрерывности φ, вытекающей из её дифференцируемости, 20.3), а приращение Δu, в свою очередь, вызывает приращение Δy. Формально:The idea of the proof: an increment Δx of the argument x causes an increment Δu of the intermediate variable u=φ(x) (by the continuity of φ, following from its differentiability, 20.3), and the increment Δu, in turn, causes an increment Δy. Formally:
Δy/Δx = (Δy/Δu)·(Δu/Δx) (при Δu≠0),и при Δx→0 также Δu→0 (непрерывность φ), так что по теореме 17.3 о пределе произведения предел правой части — это y'_u·u'_x. Строгое доказательство (учитывающее случай Δu=0 при Δx≠0, когда деление на Δu в промежуточном шаге некорректно) технически сложнее, но приводит к тому же результату — обычно опускается на этом уровне курса.and as Δx→0, also Δu→0 (the continuity of φ), so by the theorem in 17.3 on the limit of a product, the limit of the right side is y'_u·u'_x. A rigorous proof (accounting for the case Δu=0 while Δx≠0, where dividing by Δu in the intermediate step is invalid) is technically more involved but leads to the same result — usually omitted at this level of the course.
Для композиции трёх и более функций правило применяется последовательно, звено за звеном — отсюда название «цепное»: если y=f(g(h(x))), то y'_x = f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x), каждый множитель — производная одного «звена» по своему непосредственному аргументу.For the composition of three or more functions, the rule applies successively, link by link — hence the name "chain rule": if y=f(g(h(x))), then y'_x = f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x), each factor being the derivative of one "link" with respect to its immediate argument.
Найти производную y=sin(x²).Find the derivative of y=\sin(x²).
Внешняя функция f(u)=sin u (f'(u)=cos u), внутренняя u=φ(x)=x² (u'=2x, Пример 20.1). По цепному правилу:The outer function is f(u)=\sin u (f'(u)=\cos u), the inner one is u=φ(x)=x² (u'=2x, Example 20.1). By the chain rule:
y' = cos(x²)·2x = 2x·cos(x²).Сравните с Граблями в 14.5: sin(x²)≠(sin x)² — это разные функции с разными производными; здесь дифференцируется именно первая, где x² — аргумент синуса, а не квадрат синуса.Compare with the Gotchas in 14.5: \sin(x²)≠(\sin x)² — these are different functions with different derivatives; here it's specifically the first one that's differentiated, where x² is the sine's argument, not the sine's square.
Если y=f(x) строго монотонна (14.3) и дифференцируема в точке x, причём f'(x)≠0, то обратная функция x=f⁻¹(y) (14.4) дифференцируема в соответствующей точке y, иIf y=f(x) is strictly monotonic (14.3) and differentiable at a point x, with f'(x)≠0, then the inverse function x=f⁻¹(y) (14.4) is differentiable at the corresponding point y, and
(f⁻¹)'(y) = 1/f'(x).Идея: график обратной функции — это график исходной, отражённый относительно прямой y=x (14.4). При таком отражении оси меняются ролями, и «подъём/пробег» секущей (20.1) переворачивается в «пробег/подъём» — угловой коэффициент обратной функции оказывается обратной величиной к угловому коэффициенту исходной. Формально: Δx/Δy = 1/(Δy/Δx), и при Δy→0 (что равносильно Δx→0 в силу непрерывности f и f⁻¹, 20.3) правая часть стремится к 1/f'(x).The idea: the graph of the inverse function is the graph of the original one, reflected across the line y=x (14.4). Under such a reflection, the axes swap roles, and the secant's "rise/run" (20.1) flips into "run/rise" — the inverse function's slope turns out to be the reciprocal of the original's slope. Formally: Δx/Δy = 1/(Δy/Δx), and as Δy→0 (equivalent to Δx→0, given the continuity of f and f⁻¹, 20.3), the right side tends to 1/f'(x).
Зная (sin x)'=cos x, найти производную y=arcsin x (14.6: обратная к sin x на [-π/2;π/2]).Knowing (\sin x)'=\cos x, find the derivative of y=\arcsin x (14.6: inverse to \sin x on [-π/2;π/2]).
По теореме: (arcsin y)'_y = 1/(sin x)'_x = 1/cos x (записано через x, где x=arcsin y). Чтобы выразить ответ через y, используем cos x = √(1-sin²x) = √(1-y²) (знак «+», так как cos x≥0 на [-π/2;π/2]). Переобозначая переменную y обратно на стандартное x:By the theorem: (\arcsin y)'_y = 1/(\sin x)'_x = 1/\cos x (written in terms of x, where x=\arcsin y). To express the answer in terms of y, use \cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{1-y²} (the "+" sign, since \cos x≥0 on [-π/2;π/2]). Relabeling the variable y back to the standard x:
(arcsin x)' = 1/√(1-x²).Цепное правило удобно представлять как цепь зубчатых передач: если колесо φ поворачивается со скоростью u' относительно колеса x (сколько оборотов u приходится на один оборот x), а колесо f поворачивается со скоростью y' относительно колеса u, то итоговая скорость колеса f относительно самого первого колеса x — это произведение передаточных чисел y'_u·u'_x, а не их сумма: если первая шестерёнка ускоряет вращение вдвое, а вторая — ещё втрое, итоговое ускорение — вшестеро, потому что эффекты умножаются, проходя по цепочке.The chain rule is convenient to picture as a gear train: if gear φ turns at rate u' relative to gear x (how many turns of u per one turn of x), and gear f turns at rate y' relative to gear u, then the resulting rate of gear f relative to the very first gear x is the product of the gear ratios y'_u·u'_x, not their sum: if the first gear doubles the rotation speed, and the second triples it further, the overall speed-up is sixfold, because the effects multiply as they pass down the chain.
Правило обратной функции, в свою очередь, удобно представлять зеркалом: если исходный график поднимается «круто» (большая производная), его отражение относительно диагонали y=x поднимается «полого» (маленькая производная) — крутизна и пологость меняются местами при отражении. Ровно как для лестницы: если оригинальная лестница круто идёт вверх (мало метров вперёд на метр вверх), то «зеркальная» лестница (пойти по той же лестнице, но считая шаги в обратную сторону — сколько метров вперёд на метр подъёма) окажется пологой, и наоборот — оба описания одной и той же лестницы, просто с обратными ролями осей.The inverse function rule, in turn, is conveniently pictured as a mirror: if the original graph climbs "steeply" (a large derivative), its reflection across the diagonal y=x climbs "gently" (a small derivative) — steepness and gentleness swap places under reflection. Exactly like a staircase: if the original staircase rises steeply (few meters forward per meter of rise), the "mirrored" staircase (walking the same staircase but counting steps the other way around — meters forward per meter of rise) turns out gentle, and vice versa — both are descriptions of the same staircase, just with the roles of the axes swapped.
Пример из жизни. Представьте конвертацию единиц: скорость автомобиля можно измерять в км/ч или в «минутах на километр» (обратная величина, привычная бегунам — темп). Если машина едет со скоростью 60 км/ч (это dy/dx, если y — расстояние, x — время), темп в минутах на километр — это ровно обратная величина: 1 час/60 км = 1 минута/км. Чем быстрее машина (больше dy/dx), тем меньше времени на километр (меньше dx/dy) — это и есть (f⁻¹)'=1/f' в чистом виде, просто применённое к темпу и скорости вместо абстрактных x и y.A real-life example. Picture converting units: a car's speed can be measured in km/h or in "minutes per kilometer" (the reciprocal quantity, familiar to runners — pace). If the car travels at 60 km/h (that's dy/dx, if y is distance and x is time), the pace in minutes per kilometer is exactly the reciprocal: 1 hour/60 km = 1 minute/km. The faster the car (the larger dy/dx), the less time per kilometer (the smaller dx/dy) — that's (f⁻¹)'=1/f' in its pure form, just applied to pace and speed instead of the abstract x and y.
Рис. 71. График f(x) (сиреневая, крутой) и его зеркальное отражение относительно y=x — обратная функция f⁻¹(x) (зелёная, пологая): чем круче исходный график, тем более пологим оказывается отражённый, в точном соответствии с (f⁻¹)'=1/f'.Fig. 71. The graph of f(x) (lavender, steep) and its mirror reflection across y=x — the inverse function f⁻¹(x) (green, gentle): the steeper the original graph, the gentler the reflected one turns out, in exact accordance with (f⁻¹)'=1/f'.
В Примере 20.3 соблазнительно написать y'=cos(x²), продифференцировав только «внешнюю оболочку» и забыв про множитель u'=(x²)'=2x, идущий от внутренней функции. Это ровно тот же паттерн ошибки, что уже разбирался в Граблях 18.3 про подстановку аргумента: работа с композицией (14.5) требует учитывать оба уровня — и то, что делает внешняя функция, и то, как быстро меняется её аргумент. Пропуск множителя u' — не мелкая техническая недоработка, а структурная ошибка, дающая качественно неверный ответ.In Example 20.3 it's tempting to write y'=\cos(x²), differentiating only the "outer shell" and forgetting the factor u'=(x²)'=2x coming from the inner function. This is exactly the same error pattern already discussed in the Gotchas of 18.3 about argument substitution: working with a composition (14.5) requires accounting for both levels — what the outer function does, and how fast its argument changes. Dropping the factor u' isn't a minor technical slip, but a structural mistake giving a qualitatively wrong answer.
Если f'(x)=0 (касательная горизонтальна, ровно случай, разобранный в Граблях 20.2 про уравнение нормали), формула (f⁻¹)'(y)=1/f'(x) требует деления на ноль и неприменима. Геометрически это согласуется с отражением из объяснения на пальцах: горизонтальная касательная при отражении относительно y=x превращается в вертикальную — а вертикальная касательная означает, что обратная функция в этой точке не дифференцируема вовсе (её угловой коэффициент был бы «бесконечным»). Пример: f(x)=x³ имеет f'(0)=0, и обратная функция f⁻¹(y)=∛y действительно не дифференцируема в y=0 — график ∛y имеет вертикальную касательную в начале координат.If f'(x)=0 (a horizontal tangent, exactly the case discussed in the Gotchas of 20.2 about the normal's equation), the formula (f⁻¹)'(y)=1/f'(x) requires dividing by zero and doesn't apply. Geometrically this is consistent with the reflection from the plain-language explanation: a horizontal tangent, under reflection across y=x, becomes vertical — and a vertical tangent means the inverse function isn't differentiable at that point at all (its slope would be "infinite"). Example: f(x)=x³ has f'(0)=0, and the inverse function f⁻¹(y)=\sqrt[3]{y} is indeed not differentiable at y=0 — the graph of \sqrt[3]{y} has a vertical tangent at the origin.
источникsource
Производная сложной функции (цепное правило), производная обратной функции — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §20.5 «Производная сложной и обратной функций», с. 156–158. Примеры 20.3, 20.4, связь с 14.4/14.5/20.3/20.6, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The derivative of a composite function (the chain rule), the derivative of an inverse function — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §20.5 "The Derivative of a Composite and an Inverse Function," pp. 156–158. Examples 20.3, 20.4, the connection to 14.4/14.5/20.3/20.6, and the "Gotchas" section, are original additions.