20.4 — Глава V, §20. Производная функции20.4 — Chapter V, §20. The Derivative of a Function
Пример 20.1 вычислял f'(x₀)=2x₀ для x² напрямую по определению — трудоёмко даже для многочлена второй степени. Здесь, ровно как арифметика пределов 17.3 избавила от повторных ε-δ-доказательств, а арифметика непрерывных функций 19.4 — от повторных проверок непрерывности, выводится арифметика производных: правила, позволяющие находить производную комбинации функций через производные её частей, без обращения к пределу приращений каждый раз.Example 20.1 computed f'(x₀)=2x₀ for x² directly from the definition — laborious even for a second-degree polynomial. Here, just as the arithmetic of limits in 17.3 eliminated repeated ε-δ proofs, and the arithmetic of continuous functions in 19.4 eliminated repeated continuity checks, the arithmetic of derivatives is derived: rules that let you find the derivative of a combination of functions from the derivatives of its parts, without appealing to the limit of increments every time.
Пусть u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке x (20.2), и c — постоянная. Тогда:Let u=u(x) and v=v(x) be differentiable at a point x (20.2), and let c be a constant. Then:
1. (c)' = 0 (производная постоянной равна нулю).
2. (u±v)' = u'±v'.
3. (c·u)' = c·u'.
4. (u·v)' = u'v + uv' (правило произведения).
5. (u/v)' = (u'v - uv')/v², при v(x)≠0 (правило частного).
1. (c)' = 0 (the derivative of a constant is zero).
2. (u±v)' = u'±v'.
3. (c·u)' = c·u'.
4. (u·v)' = u'v + uv' (the product rule).
5. (u/v)' = (u'v - uv')/v², for v(x)≠0 (the quotient rule).
Доказательство правила суммы — прямое применение теоремы 17.3 (предел суммы равен сумме пределов) к отношению приращений: Δ(u+v)/Δx = Δu/Δx + Δv/Δx, и предел правой части при Δx→0 — это u'+v' по определению (20.2) и по теореме 17.3. Правило произведения устроено тоньше — приращение произведения не раскладывается так же прямолинейно:The proof of the sum rule is a direct application of the theorem in 17.3 (the limit of a sum equals the sum of the limits) to the ratio of increments: Δ(u+v)/Δx = Δu/Δx + Δv/Δx, and the limit of the right side as Δx→0 is u'+v' by definition (20.2) and by the theorem in 17.3. The product rule is subtler — the increment of a product doesn't decompose as straightforwardly:
Δ(uv) = u(x+Δx)v(x+Δx) - u(x)v(x)
= u(x+Δx)v(x+Δx) - u(x)v(x+Δx) + u(x)v(x+Δx) - u(x)v(x)
= Δu·v(x+Δx) + u(x)·Δv.Ключевой трюк — прибавить и вычесть один и тот же член u(x)v(x+Δx), чтобы искусственно разбить приращение произведения на две части, каждая из которых уже содержит только одно из приращений Δu или Δv. Разделив на Δx и устремив Δx→0: Δu/Δx→u', Δv/Δx→v', а v(x+Δx)→v(x) по теореме из 20.3 (дифференцируемость v влечёт непрерывность v) — именно здесь теорема 20.3 впервые применяется как рабочий инструмент, а не абстрактный факт. Итог: (uv)'=u'v+uv'.The key trick is adding and subtracting the same term u(x)v(x+Δx), artificially splitting the product's increment into two parts, each already containing only one of the increments Δu or Δv. Dividing by Δx and letting Δx→0: Δu/Δx→u', Δv/Δx→v', and v(x+Δx)→v(x) by the theorem from 20.3 (the differentiability of v implies the continuity of v) — this is where the theorem in 20.3 is first applied as a working tool, not an abstract fact. The result: (uv)'=u'v+uv'.
Найти производную f(x)=x²·sin x.Find the derivative of f(x)=x²·\sin x.
Применяем правило произведения с u=x² (u'=2x, из Примера 20.1) и v=sin x (v'=cos x, будет выведено в 20.6, но используется здесь как известный факт из таблицы):Apply the product rule with u=x² (u'=2x, from Example 20.1) and v=\sin x (v'=\cos x, to be derived in 20.6, but used here as a known fact from the table):
f'(x) = (x²)'·sin x + x²·(sin x)' = 2x·sin x + x²·cos x.Сравните с попыткой вычислить это напрямую по определению (20.2) — раскрытие (x+Δx)²sin(x+Δx) и работа с формулой синуса суммы была бы значительно более громоздкой, чем механическое применение правила произведения к уже известным производным множителей.Compare with trying to compute this directly from the definition (20.2) — expanding (x+Δx)²\sin(x+Δx) and working with the sine-of-a-sum formula would be considerably more cumbersome than mechanically applying the product rule to the already-known derivatives of the factors.
Правило суммы интуитивно очевидно: если один процесс растёт со скоростью u', а другой — со скоростью v', их сумма растёт со скоростью u'+v' (в точности пример с двумя кранами из 17.3, только теперь применённый к скоростям изменения, а не к пределам вообще). Но с произведением так не работает — и вот почему: представьте прямоугольник со сторонами u(x) и v(x), растущими со временем x. Площадь прямоугольника — это u·v. Когда обе стороны чуть-чуть подрастают, площадь увеличивается не просто на «сумму независимых вкладов» — прямоугольник растёт в двух направлениях сразу: добавляется узкая полоска вдоль одной стороны (пропорциональная Δu и текущей длине v) и узкая полоска вдоль другой (пропорциональная Δv и текущей длине u). Именно эти две полоски и есть u'v и uv' в правиле произведения — геометрически осязаемая причина, почему появляются оба слагаемых, а не одно.The sum rule is intuitively obvious: if one process grows at rate u' and another at rate v', their sum grows at rate u'+v' (exactly the two-faucets example from 17.3, now applied to rates of change rather than limits in general). But it doesn't work that way for a product — and here's why: picture a rectangle with sides u(x) and v(x), both growing with x. The rectangle's area is u·v. When both sides grow a little, the area doesn't simply increase by "the sum of independent contributions" — the rectangle grows in two directions at once: a thin strip is added along one side (proportional to Δu and the current length v), and a thin strip along the other (proportional to Δv and the current length u). These exact two strips are u'v and uv' in the product rule — a geometrically tangible reason why both terms appear, not just one.
Пример из жизни. Представьте выручку магазина как произведение «числа посетителей» на «средний чек» — оба множителя со временем растут: посетителей становится больше (рекламная кампания), и средний чек тоже растёт (инфляция или расширение ассортимента). Прирост выручки складывается из двух эффектов сразу: (1) больше посетителей приходит и каждый тратит примерно прежнюю сумму — это u'·v (изменение числа посетителей, умноженное на текущий средний чек); (2) прежнее число посетителей начинает тратить больше — это u·v' (текущее число посетителей, умноженное на изменение чека). Оба эффекта происходят параллельно и складываются — именно поэтому нельзя просто перемножить «скорость роста числа посетителей» на «скорость роста чека», нужно учесть оба вклада отдельно, ровно как в формуле (uv)'=u'v+uv'.A real-life example. Picture a store's revenue as the product of "number of visitors" and "average ticket size" — both factors grow over time: more visitors come (an ad campaign), and the average ticket also grows (inflation or a wider product range). The revenue increase comes from two effects at once: (1) more visitors arrive and each spends roughly the same as before — that's u'·v (the change in visitor count, times the current average ticket); (2) the same number of visitors starts spending more — that's u·v' (the current visitor count, times the change in ticket size). Both effects happen in parallel and add up — that's exactly why you can't just multiply "the growth rate of visitor count" by "the growth rate of the ticket," you have to account for both contributions separately, exactly as in the formula (uv)'=u'v+uv'.
Рис. 70. Площадь прямоугольника u·v при росте обеих сторон: прирост складывается из полоски u'v (сиреневая), полоски uv' (жёлтая) и исчезающе малого уголка Δu·Δv (более высокого порядка малости, 18.1, пренебрежимого в пределе) — отсюда правило (uv)'=u'v+uv'.Fig. 70. The area of a rectangle u·v as both sides grow: the increase consists of a strip u'v (lavender), a strip uv' (yellow), and a vanishingly small corner Δu·Δv (a higher order of smallness, 18.1, negligible in the limit) — hence the rule (uv)'=u'v+uv'.
Правило суммы (u+v)'=u'+v' настолько простое и симметричное, что провоцирует ожидание такой же простоты для произведения — «раз для суммы производные складываются, для произведения должны перемножаться». Но, как показано на Рис. 70, это неверно: правильная формула u'v+uv' содержит оба множителя u и v в исходном (не продифференцированном) виде, а не только их производные. Проверка на Примере 20.2: если бы работало u'v', получилось бы 2x·cos x — совсем другой (и неверный) ответ по сравнению с правильным 2x sin x + x² cos x.The sum rule (u+v)'=u'+v' is so simple and symmetric that it invites the expectation of similar simplicity for a product — "if derivatives add for a sum, they should multiply for a product." But, as shown in Fig. 70, this is wrong: the correct formula u'v+uv' contains both factors u and v in their original (non-differentiated) form, not just their derivatives. Checking against Example 20.2: if u'v' worked, the result would be 2x·\cos x — a completely different (and wrong) answer compared to the correct 2x\sin x + x²\cos x.
В отличие от произведения (которое коммутативно: uv=vu, и правило (uv)' симметрично относительно перестановки u и v), деление некоммутативно (u/v≠v/u в общем случае), и формула (u/v)'=(u'v-uv')/v² это отражает: перестановка знаков в числителе (u'v-uv' вместо u'v+uv') — не опечатка и не произвольный выбор, а необходимое следствие направления деления. Путать знак в этой формуле (писать + вместо -, машинально по аналогии с правилом произведения) — распространённая техническая ошибка.Unlike a product (which is commutative: uv=vu, and the rule (uv)' is symmetric under swapping u and v), division is non-commutative (u/v≠v/u in general), and the formula (u/v)'=(u'v-uv')/v² reflects this: the sign flip in the numerator (u'v-uv' instead of u'v+uv') isn't a typo or an arbitrary choice, but a necessary consequence of the direction of division. Mixing up the sign in this formula (writing + instead of -, mechanically by analogy with the product rule) is a common technical mistake.
источникsource
Производная суммы, разности, произведения и частного функций — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §20.4 «Производная суммы, разности, произведения и частного функций», с. 154–156. Пример 20.2, связь с 17.3/19.4/20.1/20.3/20.5, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The derivative of a sum, difference, product, and quotient of functions — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §20.4 "The Derivative of a Sum, Difference, Product, and Quotient of Functions," pp. 154–156. Example 20.2, the connection to 17.3/19.4/20.1/20.3/20.5, and the "Gotchas" section, are original additions.