20.3 — Глава V, §20. Производная функции20.3 — Chapter V, §20. The Derivative of a Function
Грабли в 20.1 уже предупреждали: непрерывность графика не гарантирует существования касательной (пример |x|). Здесь это утверждение доказывается как строгая теорема, а не остаётся наблюдением — устанавливается точное отношение включения между двумя классами функций, введёнными в §19 и §20: дифференцируемость оказывается строго более требовательным условием, чем непрерывность.The Gotchas in 20.1 already warned: continuity of a graph doesn't guarantee a tangent exists (the |x| example). Here that claim is proved as a rigorous theorem, not left as an observation — establishing the precise inclusion relation between the two classes of functions introduced in §19 and §20: differentiability turns out to be a strictly more demanding condition than continuity.
Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ (20.2), то она непрерывна в этой точке.If a function f(x) is differentiable at a point x₀ (20.2), it's continuous at that point.
Доказательство — прямое применение теоремы 17.2 (f(x)=A+α(x)). По условию существует конечный предел lim_{Δx→0}Δy/Δx=f'(x₀), значит по теореме 17.2 можно записать Δy/Δx=f'(x₀)+α(Δx), где α(Δx) — бесконечно малая (17.1) при Δx→0. Умножив обе части на Δx: Δy=f'(x₀)·Δx+α(Δx)·Δx. Правая часть — сумма двух бесконечно малых при Δx→0 (первое слагаемое — произведение постоянной на б.м.ф., второе — произведение двух б.м.ф., оба случая покрыты теоремой 17.1), значит Δy→0 при Δx→0 — а это в точности определение непрерывности через приращения из 19.1.The proof is a direct application of the theorem in 17.2 (f(x)=A+α(x)). By hypothesis, the finite limit lim_{Δx→0}Δy/Δx=f'(x₀) exists, so by the theorem in 17.2 one can write Δy/Δx=f'(x₀)+α(Δx), where α(Δx) is infinitesimal (17.1) as Δx→0. Multiplying both sides by Δx: Δy=f'(x₀)·Δx+α(Δx)·Δx. The right side is a sum of two infinitesimals as Δx→0 (the first term — a constant times an i.s.f., the second — a product of two i.s.f.'s, both cases covered by the theorem in 17.1), so Δy→0 as Δx→0 — exactly the increment-based definition of continuity from 19.1.
Функция f(x)=|x| непрерывна в x=0 (19.1: lim_{x→0}|x|=0=f(0)), но не дифференцируема там. Вычислим Δy/Δx=|Δx|/Δx: при Δx>0 это Δx/Δx=1, при Δx<0 это -Δx/Δx=-1. Односторонние пределы (16.2) существуют, но не равны: lim_{Δx→0-0}Δy/Δx=-1≠1=lim_{Δx→0+0}Δy/Δx — по теореме 16.2, двустороннего предела нет, значит f'(0) не существует. Геометрически это в точности «излом» из Граблей в 20.1: секущие слева и справа стремятся к разным предельным положениям (наклон -1 и наклон 1).The function f(x)=|x| is continuous at x=0 (19.1: lim_{x→0}|x|=0=f(0)), but not differentiable there. Compute Δy/Δx=|Δx|/Δx: for Δx>0 this is Δx/Δx=1, for Δx<0 this is -Δx/Δx=-1. The one-sided limits (16.2) exist, but disagree: lim_{Δx→0-0}Δy/Δx=-1≠1=lim_{Δx→0+0}Δy/Δx — by the theorem in 16.2, there's no two-sided limit, so f'(0) doesn't exist. Geometrically this is exactly the "kink" from the Gotchas in 20.1: the secants from the left and right tend to different limiting positions (slope -1 and slope 1).
Вспоминая аналогию из 19.1 («карандаш, не отрывающийся от бумаги») — непрерывность требует лишь не отрывать карандаш. Она ничего не говорит о том, как именно карандаш движется в момент прохождения точки: можно плавно повернуть, а можно резко «переломить» направление, не поднимая при этом руки с бумаги — как при рисовании галочки «✓» одним росчерком. Дифференцируемость — куда более строгое требование: не просто «без разрывов», а «без изломов», то есть направление движения карандаша не должно скачком меняться в момент прохождения точки. График |x| нарисован одним росчерком (непрерывен), но именно в нуле резко меняет направление (не дифференцируем) — ровно как перо, вычерчивающее «✓», нигде не отрывается от бумаги, но в нижней точке буквы направление движения меняется мгновенно и резко.Recalling the analogy from 19.1 ("a pencil that never leaves the paper") — continuity only requires not lifting the pencil. It says nothing about how exactly the pencil moves as it passes through the point: it can turn smoothly, or it can sharply "break" direction without ever lifting the hand from the paper — as when drawing a checkmark "✓" in one stroke. Differentiability is a much stricter requirement: not just "unbroken," but "kink-free," meaning the pencil's direction of travel mustn't change abruptly at the point. The graph of |x| is drawn in one stroke (continuous), but sharply changes direction right at zero (not differentiable) — exactly like a pen tracing a "✓" never lifts off the paper, but at the letter's bottom point the direction of travel changes instantly and sharply.
Пример из жизни. Представьте траекторию мяча, который упруго отскакивает от пола. Высота мяча h(t) как функция времени непрерывна: мяч не телепортируется, в момент касания пола его высота честно равна нулю, и до, и после удара высота плавно стремится к этому нулю. Но скорость изменения высоты в момент удара меняется мгновенно и резко: прямо перед ударом мяч падает вниз с какой-то скоростью, прямо после — взлетает вверх с почти той же по модулю, но противоположной по знаку скоростью. Высота непрерывна (никакого скачка положения), но производная высоты (то есть сама скорость мяча) в момент удара не определена как единое число — слева и справа от удара скорость разная, без плавного перехода. Мяч «не отрывается от пола резинкой», но резко «переламывает» направление движения в момент касания — в точности как график |x| в нуле.A real-life example. Picture the trajectory of a ball bouncing elastically off the floor. The ball's height h(t) as a function of time is continuous: the ball doesn't teleport, at the moment it touches the floor its height is honestly zero, and both before and after the bounce the height smoothly tends to that zero. But the rate of change of height at the moment of impact changes instantly and sharply: right before impact, the ball is falling downward at some speed; right after, it's shooting upward at almost the same magnitude but opposite-signed speed. The height is continuous (no jump in position), but the derivative of the height (i.e., the ball's actual velocity) at the moment of impact isn't defined as a single number — the speed before and after the bounce differs, with no smooth transition. The ball "doesn't detach from the floor," but it sharply "kinks" its direction of motion at the moment of contact — exactly like the graph of |x| at zero.
Рис. 69. Высота отскакивающего мяча h(t): непрерывна везде (без разрывов положения), но в момент удара о пол производная не существует — касательная слева (сиреневая, падение) и справа (зелёная, взлёт) имеют разные наклоны.Fig. 69. The height of a bouncing ball h(t): continuous everywhere (no position jumps), but at the moment of floor impact the derivative doesn't exist — the tangent from the left (lavender, falling) and from the right (green, rising) have different slopes.
Из «f дифференцируема в x₀» законно заключить «f непрерывна в x₀» — но из «f непрерывна в x₀» нельзя заключить «f дифференцируема в x₀» (контрпример |x| выше). Это классическая логическая асимметрия импликации: «A влечёт B» не даёт «B влечёт A» без отдельного доказательства (сравните с 15.2, где «сходимость влечёт ограниченность», но не наоборот, и с Граблями там же, предупреждавшими именно об этой ошибке). Проверка непрерывности — необходимый, но не финальный шаг при исследовании дифференцируемости: она отсеивает точки разрыва (19.3), но ничего не говорит про изломы.From "f is differentiable at x₀" it's valid to conclude "f is continuous at x₀" — but from "f is continuous at x₀," one cannot conclude "f is differentiable at x₀" (the |x| counterexample above). This is the classic logical asymmetry of implication: "A implies B" doesn't give "B implies A" without separate proof (compare with 15.2, where "convergence implies boundedness," but not the reverse, and the Gotchas there, warning about exactly this mistake). Checking continuity is a necessary but not final step when investigating differentiability: it filters out discontinuities (19.3), but says nothing about kinks.
Пример |x| создаёт впечатление, что недифференцируемость — редкое, изолированное явление (один «излом» на всей числовой прямой). На деле существуют куда более патологичные конструкции — непрерывные всюду функции (типа функции Вейерштрасса, построенной как бесконечная сумма всё более мелких «зубцов»), которые не имеют производной ни в одной точке своей области определения. Такие примеры выходят за рамки данного курса, но важны как напоминание: интуиция «непрерывная функция почти всегда гладкая, за редким исключением» — geometрически удобная, но формально не гарантированная теоремами этого пункта; сама теорема утверждает лишь одностороннюю импликацию, без каких-либо количественных оценок «насколько часто» встречаются исключения.The |x| example creates the impression that non-differentiability is a rare, isolated phenomenon (one "kink" on the entire real line). In reality, far more pathological constructions exist — functions continuous everywhere (like the Weierstrass function, built as an infinite sum of ever-finer "teeth") that have no derivative at any point of their domain. Such examples lie outside this course, but matter as a reminder: the intuition "a continuous function is almost always smooth, with rare exceptions" is geometrically convenient but not formally guaranteed by this section's theorems; the theorem itself only asserts a one-way implication, with no quantitative estimate of "how often" exceptions occur.
источникsource
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §20.3 «Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции», с. 154. Связь с 15.2/16.2/17.1/17.2/19.1/20.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The relation between continuity and differentiability of a function — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §20.3 "The Relation Between Continuity and Differentiability of a Function," p. 154. The connection to 15.2/16.2/17.1/17.2/19.1/20.1, and the "Gotchas" section, are original additions.