20.2 — Глава V, §20. Производная функции20.2 — Chapter V, §20. The Derivative of a Function
20.1 показало, что две разные задачи приводят к одному и тому же пределу отношения приращений. Здесь этот общий предел получает имя — производная — и формальное определение, после чего обе интерпретации из 20.1 (скорость и наклон касательной) становятся просто двумя прочтениями одного и того же числа, а не двумя разными вычислениями.20.1 showed that two different problems lead to the same limit of a ratio of increments. Here that common limit gets a name — the derivative — and a formal definition, after which both interpretations from 20.1 (speed and the tangent's slope) become simply two readings of the same number, not two separate calculations.
Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует и конечен):The derivative of a function y=f(x) at a point x₀ is the limit of the ratio of the increment of the function to the increment of the argument, as the latter tends to zero (if this limit exists and is finite):
f'(x₀) = lim_{Δx→0} Δy/Δx = lim_{Δx→0} [f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx.Обозначения: f'(x₀), y'(x₀), dy/dx|_{x=x₀}. Функция называется дифференцируемой в точке x₀, если у неё есть производная в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием.Notation: f'(x₀), y'(x₀), dy/dx|_{x=x₀}. A function is called differentiable at a point x₀ if it has a derivative there; the operation of finding a derivative is called differentiation.
Это в точности формула из 20.1, просто освобождённая от конкретного физического или геометрического контекста — общая математическая операция, применимая к любой функции, независимо от того, что она описывает. Как и все пределы, f'(x₀) — это предел, существование которого нужно проверять (16.1), а не автоматическая характеристика любой функции; функции, у которых он не существует, называются недифференцируемыми в соответствующей точке.This is exactly the formula from 20.1, simply stripped of any specific physical or geometric context — a general mathematical operation, applicable to any function, regardless of what it describes. Like every limit, f'(x₀) is a limit whose existence must be checked (16.1), not an automatic characteristic of every function; functions for which it doesn't exist are called non-differentiable at the corresponding point.
s'(t₀) — мгновенная скорость движения в момент t₀, если s(t) — путь как функция времени (20.1).s'(t₀) is the instantaneous speed of motion at the moment t₀, if s(t) is distance as a function of time (20.1).
f'(x₀) — угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ox) касательной к графику y=f(x) в точке (x₀;f(x₀)) (20.1).f'(x₀) is the slope (tangent of the angle of inclination to the Ox-axis) of the tangent line to the graph y=f(x) at the point (x₀;f(x₀)) (20.1).
Из геометрического смысла напрямую следует уравнение касательной — прямой, проходящей через (x₀;f(x₀)) с угловым коэффициентом f'(x₀) (12.4: уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту):The geometric meaning directly gives the equation of the tangent line — a line through (x₀;f(x₀)) with slope f'(x₀) (12.4: the point-slope equation of a line):
y - f(x₀) = f'(x₀)·(x - x₀) (уравнение касательной / the tangent equation).Нормаль к кривой в точке (x₀;f(x₀)) — это прямая, перпендикулярная касательной в этой же точке. Поскольку угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны условием k₁·k₂=-1 (это следует непосредственно из формул для угла между прямыми, вводимых при изучении прямой на плоскости), при f'(x₀)≠0:The normal to a curve at the point (x₀;f(x₀)) is the line perpendicular to the tangent at that same point. Since the slopes of perpendicular lines are related by k₁·k₂=-1 (this follows directly from the formulas for the angle between lines, introduced when studying lines in the plane), for f'(x₀)≠0:
y - f(x₀) = -1/f'(x₀) · (x - x₀) (уравнение нормали / the normal equation).Найти f'(x₀) для f(x)=x² в произвольной точке x₀ по определению; составить уравнения касательной и нормали в точке x₀=2.Find f'(x₀) for f(x)=x² at an arbitrary point x₀ by definition; write the equations of the tangent and normal at the point x₀=2.
Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)=(x₀+Δx)²-x₀²=2x₀Δx+(Δx)². Значит Δy/Δx=2x₀+Δx, и f'(x₀)=lim_{Δx→0}(2x₀+Δx)=2x₀ (используя непрерывность многочлена, 19.4, для вычисления предела).Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)=(x₀+Δx)²-x₀²=2x₀Δx+(Δx)². So Δy/Δx=2x₀+Δx, and f'(x₀)=lim_{Δx→0}(2x₀+Δx)=2x₀ (using the continuity of the polynomial, 19.4, to compute the limit).
При x₀=2: f(2)=4, f'(2)=2·2=4. Касательная: y-4=4(x-2), то есть y=4x-4. Нормаль: y-4=-1/4·(x-2), то есть y=-x/4+9/2.At x₀=2: f(2)=4, f'(2)=2·2=4. Tangent: y-4=4(x-2), i.e., y=4x-4. Normal: y-4=-1/4·(x-2), i.e., y=-x/4+9/2.
Производная в точке — это одно-единственное число, отвечающее на вопрос «насколько круто идёт вверх (или вниз) график прямо здесь». Положительное число — график поднимается, отрицательное — опускается, чем больше по модулю — тем круче подъём или спуск, ноль — график в этой точке горизонтален (ни растёт, ни падает мгновенно). Это число не зависит от того, что происходит далеко от точки — только от локального поведения непосредственно вокруг неё, ровно как предел из 16.1 не интересуется поведением функции вдалеке от x₀.The derivative at a point is a single number answering the question "how steeply does the graph go up (or down) right here." A positive number — the graph is rising, negative — falling, the larger in absolute value — the steeper the climb or descent, zero — the graph is momentarily horizontal at that point (neither rising nor falling). This number doesn't depend on what happens far from the point — only on local behavior immediately around it, just as the limit in 16.1 doesn't care about the function's behavior far from x₀.
Пример из жизни. Представьте профиль горного маршрута — высоту тропы как функцию пройденного расстояния. Производная в конкретной точке маршрута — это в точности то число, которое показывает уклономер на велосипеде или в приложении для бега: «сейчас уклон 8%» означает крутой подъём именно в этом месте, а не в среднем по всему маршруту (средний уклон всего похода — это, по сути, аналог средней скорости из 20.1, а не производной). Уклон может резко меняться от участка к участку — пологий подъём сменяется крутым обрывом — и уклономер честно показывает именно локальное значение прямо под ногами, а не смазанное среднее. Именно поэтому уклономер, а не «средняя крутизна маршрута», нужен велосипедисту в реальном времени: чтобы понимать, готовиться ли к рывку прямо сейчас.A real-life example. Picture the profile of a mountain trail — the trail's elevation as a function of distance covered. The derivative at a specific point on the trail is exactly the number a bike computer's or running app's grade meter shows: "grade is 8% now" means a steep climb right at that spot, not on average over the whole route (the average grade of the whole hike is, in essence, an analogue of the average speed from 20.1, not the derivative). The grade can change sharply from stretch to stretch — a gentle rise giving way to a steep drop — and the grade meter honestly shows the local value right underfoot, not a smeared-out average. That's exactly why a grade meter, not "the route's average steepness," is what a cyclist needs in real time: to know whether to brace for a surge right now.
Рис. 68. Профиль маршрута h(x) и касательные (уклон) в разных точках: пологий подъём — небольшая положительная производная, крутой подъём — большая положительная, плато — производная равна нулю, спуск — отрицательная производная. Все четыре — локальные, независимые от остального маршрута значения.Fig. 68. The trail profile h(x) and tangents (grade) at different points: a gentle rise — a small positive derivative, a steep climb — a large positive one, a plateau — a derivative of zero, a descent — a negative derivative. All four are local values, independent of the rest of the route.
В Примере 20.1 сначала вычислялась f'(x₀)=2x₀ — формула, зависящая от произвольно выбранной точки x₀. Если переобозначить x₀ просто через x, получается новая функция f'(x)=2x, определённая на той же области (или её части), что и исходная f — это и называется просто «производной функции» без указания конкретной точки, объект, к которому вернутся в 20.4 при выводе правил дифференцирования. Путать одно конкретное число f'(2)=4 и функцию f'(x)=2x, из которой это число получено подстановкой x=2, — источник ошибок в обозначениях.In Example 20.1, f'(x₀)=2x₀ was first computed — a formula depending on the arbitrarily chosen point x₀. Relabeling x₀ simply as x gives a new function f'(x)=2x, defined on the same domain (or part of it) as the original f — this is simply called "the derivative of the function" without specifying a particular point, an object that 20.4 returns to when deriving the rules of differentiation. Confusing one specific number f'(2)=4 with the function f'(x)=2x it was obtained from by substituting x=2 is a source of notational errors.
Формула нормали содержит 1/f'(x₀) в знаменателе — при f'(x₀)=0 (горизонтальная касательная, как в точке плато на Рис. 68) это выражение не определено, и формулу нужно заменить отдельным рассуждением: нормаль к горизонтальной касательной вертикальна, то есть её уравнение — просто x=x₀ (12.4: вертикальная прямая не может быть задана угловым коэффициентом вовсе, ровно тот же случай, что уже отмечался при изучении прямой на плоскости). Механическая подстановка f'(x₀)=0 в общую формулу нормали даёт деление на ноль, а не осмысленный результат — этот особый случай нужно распознавать заранее.The normal's formula contains 1/f'(x₀) in the denominator — when f'(x₀)=0 (a horizontal tangent, as at the plateau point in Fig. 68), this expression is undefined, and the formula must be replaced by a separate argument: the normal to a horizontal tangent is vertical, i.e., its equation is simply x=x₀ (12.4: a vertical line can't be given a slope at all, the exact same case already noted when studying lines in the plane). Mechanically plugging f'(x₀)=0 into the general normal formula gives division by zero, not a meaningful result — this special case must be recognized in advance.
источникsource
Определение производной, механический и геометрический смысл, уравнение касательной и нормали — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §20.2 «Определение производной; её механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой», с. 152–154. Пример 20.1, связь с 12.4/19.4/20.1/20.3, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Definition of the derivative, mechanical and geometric meaning, the equation of the tangent and normal — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §20.2 "Definition of the Derivative; Its Mechanical and Geometric Meaning. The Equation of the Tangent and Normal to a Curve," pp. 152–154. Example 20.1, the connection to 12.4/19.4/20.1/20.3, and the "Gotchas" section, are original additions.