17.2 — Глава V, §17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)17.2 — Chapter V, §17. Infinitely Small Functions
17.1 дало имя ситуации «предел равен нулю». Здесь этот частный случай оборачивается в общий инструмент: любую функцию с конечным пределом можно записать как «предел плюс бесконечно малая» — f(x)=A+α(x). Это переформулировка ε-δ-определения предела (16.1) в алгебраическом, а не логическом виде, и именно эта запись станет рабочей формой предела почти во всех последующих доказательствах §17–20.17.1 gave a name to the situation "the limit equals zero." Here that special case turns into a general tool: any function with a finite limit can be written as "limit plus an infinitesimal" — f(x)=A+α(x). This is a recasting of the ε-δ definition of a limit (16.1) into algebraic rather than logical form, and this notation becomes the working form of a limit in nearly every proof throughout §17–20.
lim_{x→x₀}f(x)=A тогда и только тогда, когда функцию f(x) можно представить в виде f(x)=A+α(x), где α(x) — бесконечно малая при x→x₀ (17.1).lim_{x→x₀}f(x)=A if and only if the function f(x) can be written as f(x)=A+α(x), where α(x) is infinitesimal as x→x₀ (17.1).
Доказательство в обе стороны — прямая переформулировка определений. Если lim f(x)=A, положим α(x)=f(x)-A: тогда |α(x)-0|=|f(x)-A|<ε при 0<|x-x₀|<δ — в точности определение б.м.ф. из 17.1, значит α(x) бесконечно мала, и f(x)=A+α(x) по построению. Обратно, если f(x)=A+α(x) с бесконечно малой α, то |f(x)-A|=|α(x)|<ε при 0<|x-x₀|<δ — снова в точности определение предела 16.1. Ни одна сторона не добавляет ничего нового к 16.1 — теорема просто узаконивает алгебраическую запись того же факта.The proof in both directions is a direct restatement of the definitions. If lim f(x)=A, set α(x)=f(x)-A: then |α(x)-0|=|f(x)-A|<ε for 0<|x-x₀|<δ — exactly the definition of an i.s.f. from 17.1, so α(x) is infinitesimal, and f(x)=A+α(x) by construction. Conversely, if f(x)=A+α(x) with infinitesimal α, then |f(x)-A|=|α(x)|<ε for 0<|x-x₀|<δ — again exactly the definition of the limit from 16.1. Neither direction adds anything new to 16.1 — the theorem simply legitimizes an algebraic notation for the same fact.
Всё определение предела (16.1) целиком описывает, как f(x) ведёт себя относительно числа A. Теорема просто предлагает удобный способ увидеть это относительное поведение: вычтите из f(x) его пункт назначения A — и останется «остаток», α(x)=f(x)-A, который показывает, насколько f(x) ещё не доехала до A. Утверждение «предел равен A» — это ровно утверждение «этот остаток стремится к нулю»: чем ближе x к x₀, тем меньше остаётся «недоезда».The whole definition of a limit (16.1) describes how f(x) behaves relative to the number A. The theorem just offers a convenient way to see that relative behavior: subtract from f(x) its destination A — and what's left is a "remainder," α(x)=f(x)-A, showing how far f(x) still hasn't arrived at A. The statement "the limit equals A" is exactly the statement "this remainder tends to zero": the closer x gets to x₀, the less "distance left to travel" remains.
Пример из жизни. Вы едете на машине к дому друга, который находится ровно в 200 км от старта. Пусть f(t) — показания одометра (счётчика пройденного пути) в момент времени t. Пункт назначения по расстоянию — это A=200. Разница α(t)=f(t)-200 — сколько км ещё осталось проехать (со знаком минус, раз вы ещё не доехали). В начале пути α(0)=-200 (огромный «недоезд»), но по мере движения этот остаток стремится к нулю: α(t)→0, потому что вы приближаетесь к другу. Разложение f(t)=200+α(t) — это буквально «где вы сейчас = пункт назначения минус то, что осталось проехать». Если вы никогда не доедете (застрянете в пробке навсегда, скажем), остаток так и не стремится к нулю — и предел не будет равен 200.A real-life example. You're driving to a friend's house exactly 200 km from the start. Let f(t) be the odometer reading (distance traveled) at time t. The destination distance is A=200. The difference α(t)=f(t)-200 is how many km you still have left to go (negative, since you haven't arrived yet). At the start of the trip α(0)=-200 (a huge "shortfall"), but as you drive, this remainder tends to zero: α(t)→0, because you're getting closer to your friend. The decomposition f(t)=200+α(t) is literally "where you are now = the destination minus what's left to travel." If you never arrive (stuck in traffic forever, say), the remainder never tends to zero — and the limit won't equal 200.
Рис. 54. Одометр f(t) приближается к пункту назначения A=200 км. Разрыв между текущим показанием и целью — это α(t) (сиреневая скобка): чем дальше по времени, тем он меньше, и f(t)=A+α(t) с α(t)→0 — это в точности lim f(t)=A.Fig. 54. The odometer f(t) approaches the destination A=200 km. The gap between the current reading and the target is α(t) (lavender bracket): the further along in time, the smaller it gets, and f(t)=A+α(t) with α(t)→0 is exactly lim f(t)=A.
Разложение f(x)=A+α(x) имеет смысл только вместе с конкретным числом A, действительно являющимся пределом. Если взять произвольное число B≠A и написать f(x)=B+β(x), где β(x)=f(x)-B, то β(x) вовсе не обязана быть бесконечно малой — она стремится к A-B≠0, а не к нулю. Разложение работает только при правильном угадывании (или предварительном вычислении) настоящего предела A, а не при произвольном выборе точки отсчёта.The decomposition f(x)=A+α(x) only makes sense together with a specific number A that genuinely is the limit. Take an arbitrary number B≠A and write f(x)=B+β(x), where β(x)=f(x)-B — then β(x) isn't necessarily infinitesimal at all; it tends to A-B≠0, not to zero. The decomposition only works with a correct guess (or prior computation) of the actual limit A, not an arbitrary choice of reference point.
Легко принять теорему за метод вычисления предела: «представим f(x) как A+α(x), значит предел — это A». Но откуда взялось само A? Теорема — это критерий проверки уже предполагаемого предела (доказательство «⟸» выше), либо инструмент для дальнейших выкладок после того, как предел уже найден каким-то другим способом (например, через теоремы 17.3 или замечательные пределы 17.5–17.6). Сама по себе она не является алгоритмом поиска A — так же как определение 16.1 не подсказывает, какое именно число подставлять в качестве кандидата на предел, а только позволяет его проверить.It's easy to mistake the theorem for a method of computing a limit: "represent f(x) as A+α(x), so the limit is A." But where did that A come from in the first place? The theorem is a criterion for verifying an already-hypothesized limit (the "⟸" direction above), or a tool for further calculations once the limit has been found by some other means (e.g., via the theorems in 17.3 or the remarkable limits in 17.5–17.6). By itself it isn't an algorithm for finding A — just as the definition in 16.1 doesn't suggest which number to plug in as a candidate limit, only lets you verify one.
источникsource
Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой функции — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §17.2 «Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией», с. 136. Связь с 16.1/17.1/17.3, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The theorem on the relation of a function, its limit, and an infinitely small function — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §17.2 "The Relation Between a Function, Its Limit, and an Infinitely Small Function," p. 136. The connection to 16.1/17.1/17.3, and the "Gotchas" section, are original additions.