17.1 — Глава V, §17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)17.1 — Chapter V, §17. Infinitely Small Functions
В 16.4 бесконечно большая функция получилась как зеркало предела: значение не толпится вокруг конечного числа, а неограниченно растёт. Здесь рассматривается противоположный полюс — функция, значение которой стремится к нулю. Это не просто «ещё один частный случай предела»: бесконечно малые станут рабочим языком всего дальнейшего анализа — через них будут определены непрерывность (§19) и производная (§20).In 16.4, an infinitely large function turned out to be a mirror image of a limit: the value doesn't crowd around a finite number, it grows without bound. Here the opposite pole is considered — a function whose value tends toward zero. This isn't just "another special case of a limit": infinitesimals will become the working language of all the calculus that follows — continuity (§19) and the derivative (§20) will both be defined through them.
Функция α(x) называется бесконечно малой при x→x₀ (или при x→∞), если lim_{x→x₀}α(x)=0 (соответственно lim_{x→∞}α(x)=0) — то есть если она удовлетворяет обычному ε-δ-определению предела из 16.1 (или ε-M-определению из 16.3) с A=0.A function α(x) is called infinitely small as x→x₀ (or as x→∞) if lim_{x→x₀}α(x)=0 (respectively lim_{x→∞}α(x)=0) — that is, if it satisfies the ordinary ε-δ definition of a limit from 16.1 (or the ε-M definition from 16.3) with A=0.
Никакого нового определения здесь формально нет — «бесконечно малая» просто маркирует давно знакомую ситуацию «предел равен нулю» специальным именем, потому что этот частный случай встречается настолько часто и играет настолько особую роль, что заслуживает отдельного словаря. Записывая |α(x)|<ε при 0<|x-x₀|<δ (16.1 с A=0), видно: чем ближе x к x₀, тем меньше становится α(x) — не в смысле «маленькое число вообще», а в смысле «стремящееся к нулю».There's no formally new definition here — "infinitely small" just labels the long-familiar situation "the limit equals zero" with a special name, because this special case comes up so often and plays such a distinctive role that it deserves its own vocabulary. Writing |α(x)|<ε for 0<|x-x₀|<δ (16.1 with A=0), it's clear: the closer x gets to x₀, the smaller α(x) becomes — not in the sense of "a small number in general," but in the sense of "tending to zero."
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x→x₀ есть бесконечно малая при x→x₀. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию (14.3) есть бесконечно малая.The algebraic sum of a finite number of infinitesimals as x→x₀ is an infinitesimal as x→x₀. The product of an infinitesimal and a bounded function (14.3) is an infinitesimal.
Второе утверждение обманчиво простое, но именно оно окажется рабочей лошадкой: не нужно, чтобы оба множителя стремились к нулю — достаточно, чтобы один стремился к нулю, а второй просто не улетал в бесконечность (был ограничен, 14.3). Классический пример — x·sin(1/x) при x→0: множитель x бесконечно мал, а sin(1/x) вообще не имеет предела при x→0 (колеблется), но ограничен (|sin(1/x)|≤1) — и этого достаточно, чтобы всё произведение стремилось к нулю.The second statement is deceptively simple, but it's exactly what turns out to be the workhorse: it's not necessary for both factors to tend to zero — it suffices for one to tend to zero while the other simply doesn't fly off to infinity (is bounded, 14.3). A classic example is x·\sin(1/x) as x→0: the factor x is infinitesimal, and \sin(1/x) has no limit at all as x→0 (it oscillates), but it's bounded (|\sin(1/x)|≤1) — and that's enough for the whole product to tend to zero.
Слово «малая» здесь обманывает: α(x)=1000000 — тоже вполне может быть бесконечно малой, если она относится к аргументу, который стремится куда-то ещё, а сама α при этом стремящемся x в итоге падает к нулю. Дело не в том, «маленькое ли число прямо сейчас», а в том, к чему оно неумолимо движется по мере приближения x к x₀. Это прямая параллель с последовательностью xₙ=1/n из 15.2: она бесконечно велика на старте (x₁=1) — не такая уж «малая», — но её предел равен нулю, и именно предел, а не текущее значение, определяет название.The word "small" is misleading here: α(x)=1{,}000{,}000 can perfectly well be infinitesimal too, if it refers to an argument tending somewhere else, while α itself, as that x approaches, ultimately falls toward zero. It's not about "is the number small right now," but about what it's relentlessly heading toward as x approaches x₀. This directly parallels the sequence xₙ=1/n from 15.2: it's not small at all at the start (x₁=1) — but its limit is zero, and it's the limit, not the current value, that earns the name.
Пример из жизни. Представьте, что вы отпускаете качели после сильного толчка. В первую секунду угол отклонения огромный. С каждым следующим циклом трение и сопротивление воздуха забирают часть энергии — амплитуда качания α(t) (максимальный угол отклонения в момент времени t) становится всё меньше и меньше, стремясь к нулю по мере того, как t→∞. В любой конкретный момент качели ещё качаются на какой-то ненулевой угол — но сам процесс необратимо «сходит на нет». Это в точности бесконечно малая функция: не «маленькая прямо сейчас», а «неудержимо стремящаяся к нулю».A real-life example. Imagine releasing a swing after a hard push. In the first second, the swing angle is huge. With every following cycle, friction and air resistance drain off some energy — the swing amplitude α(t) (the maximum deflection angle at time t) gets smaller and smaller, tending to zero as t→∞. At any specific moment the swing is still moving through some nonzero angle — but the process itself is irreversibly "dying down." This is exactly an infinitesimal function: not "small right now," but "relentlessly tending toward zero."
Рис. 53. Угол отклонения затухающих качелей: сама величина колеблется, но огибающая амплитуды (сиреневый пунктир) стремится к нулю при t→∞ — это и есть бесконечно малая функция α(t).Fig. 53. The deflection angle of a damped swing: the value itself oscillates, but the amplitude envelope (dashed lavender) tends to zero as t→∞ — this is exactly the infinitesimal function α(t).
Нет такого объекта, как «одно конкретное бесконечно малое число» — есть только функции (или последовательности), которые бесконечно малы относительно определённого предельного перехода. Число 0.0001 само по себе не бесконечно малое — оно просто маленькое действительное число (13.2). А вот функция α(x)=0.0001·x при x→0 — бесконечно малая, потому что она стремится к нулю вместе с x. Путать «маленькое значение сейчас» с «предел равен нулю» — источник путаницы уже на уровне терминологии.There's no such object as "a single specific infinitesimal number" — there are only functions (or sequences) that are infinitesimal relative to a specific limiting process. The number 0.0001 by itself isn't infinitesimal — it's just a small real number (13.2). But the function α(x)=0.0001·x as x→0 is infinitesimal, because it tends to zero along with x. Confusing "a small value right now" with "the limit equals zero" is a source of confusion at the terminological level itself.
Теорема выше — про конечное число слагаемых. Взять, например, n копий функции α(x)=x и сложить их: сумма n·x при фиксированном конечном n — по-прежнему б.м.ф. при x→0. Но если число слагаемых само растёт вместе с приближением x к нулю (то есть предел берётся сразу по двум параметрам, а не по одному), гарантии теоремы перестают действовать без дополнительного анализа — это тонкость, которая станет системной в темах, связанных с бесконечными суммами (ряды — вне текущего курса, но сама оговорка «конечное число слагаемых» в теореме принципиальна уже здесь).The theorem above is about a finite number of terms. Take, say, n copies of the function α(x)=x and add them: the sum n·x for a fixed finite n is still an i.s.f. as x→0. But if the number of terms itself grows as x approaches zero (i.e., the limit is taken over two parameters at once rather than one), the theorem's guarantees no longer apply without further analysis — a subtlety that becomes systematic in topics involving infinite sums (series — outside the current course, but the theorem's caveat "a finite number of terms" already matters right here).
источникsource
Бесконечно малая функция, теорема о сумме и произведении б.м.ф. — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §17.1 «Определения и основные теоремы», с. 135–136. Связь с 14.3/16.4/17.2, раздел «Грабли» — авторское дополнение.An infinitely small function, the theorem on the sum and product of i.s.f.'s — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §17.1 "Definitions and Basic Theorems," pp. 135–136. The connection to 14.3/16.4/17.2, and the "Gotchas" section, are original additions.