16.4 — Глава V, §16. Предел функции16.4 — Chapter V, §16. The Limit of a Function
Все определения 16.1–16.3 требовали, чтобы предел A был конечным числом. Здесь рассматривается симметричная ситуация: не аргумент, а сама функция «уходит в бесконечность» — f(x) становится сколь угодно большой по модулю. Это не третий независимый случай, а завершение полного набора комбинаций «конечное/бесконечное значение аргумента ↔ конечное/бесконечное значение функции», который начал складываться ещё в 16.1 и 16.3.All the definitions in 16.1–16.3 required the limit A to be a finite number. Here the symmetric situation is considered: not the argument, but the function itself "goes to infinity" — f(x) becomes arbitrarily large in absolute value. This isn't a third independent case, but the completion of the full set of combinations "finite/infinite value of the argument ↔ finite/infinite value of the function," which started taking shape back in 16.1 and 16.3.
Функция f(x) называется бесконечно большой при x→x₀ (обозначается lim_{x→x₀}f(x)=∞), если для любого E>0 найдётся δ=δ(E)>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих 0<|x-x₀|<δ, выполняется |f(x)|>E. Если дополнительно f(x)>E (без модуля), пишут lim_{x→x₀}f(x)=+∞; если f(x)<-E — lim_{x→x₀}f(x)=-∞.A function f(x) is called infinitely large as x→x₀ (denoted lim_{x→x₀}f(x)=∞) if for any E>0 there exists δ=δ(E)>0 such that for all x satisfying 0<|x-x₀|<δ, |f(x)|>E holds. If additionally f(x)>E (without the absolute value), one writes lim_{x→x₀}f(x)=+∞; if f(x)<-E — lim_{x→x₀}f(x)=-∞.
Структура определения — та же логика «∀...∃...», что и во всех предыдущих пунктах §16, но роли ε и δ/M здесь ещё раз переставлены местами относительно 16.3: там ε контролировало близость значения к конечному A, а M задавало окрестность бесконечности для аргумента. Здесь же δ вернулась к своей роли из 16.1 (окрестность конечной точки x₀ для аргумента), а вот E — новый параметр, задающий «окрестность бесконечности» уже для значения функции: требование |f(x)|>E означает, что значение покидает любой наперёд заданный конечный отрезок [-E;E].The definition's structure is the same "∀...∃..." logic as in all the previous items of §16, but the roles of ε and δ/M are swapped once more here relative to 16.3: there, ε controlled the closeness of the value to a finite A, and M set the neighborhood of infinity for the argument. Here, δ returns to its role from 16.1 (a neighborhood of the finite point x₀ for the argument), while E is a new parameter, setting the "neighborhood of infinity" now for the function's value: the requirement |f(x)|>E means the value leaves any preassigned finite interval [-E;E].
Можно скомбинировать и то, и другое: lim_{x→∞}f(x)=∞ означает, что для любого E>0 найдётся M>0 такое, что |x|>M ⟹ |f(x)|>E — бесконечное поведение и по аргументу, и по значению одновременно. Все четыре комбинации (конечный/бесконечный аргумент × конечное/бесконечное значение) укладываются в один и тот же логический каркас «∀...∃...», меняются только объекты, к которым применяются кванторы.The two can be combined: lim_{x→∞}f(x)=∞ means that for any E>0 there exists M>0 such that |x|>M ⟹ |f(x)|>E — infinite behavior in both the argument and the value at once. All four combinations (finite/infinite argument × finite/infinite value) fit into the same logical framework "∀...∃...," only the objects the quantifiers apply to change.
До сих пор во всём §16 скептик просил «докажи мне точность» и получал в ответ окно, внутри которого функция гарантированно близка к какому-то числу A. Здесь всё наоборот: скептик просит «докажи мне высоту» — «докажи, что можешь сделать f(x) больше 1000, больше миллиона, больше чего угодно», а вы в ответ подбираете, насколько близко нужно подойти к x₀, чтобы гарантированно перевалить за эту высоту. Никакого «числа A, вокруг которого толпится функция», больше нет — вместо этого функция улетает всё выше и выше, и единственное, что можно гарантировать, — что она перескочит любую наперёд заданную планку E, если подойти к x₀ достаточно близко.Throughout §16 so far, the skeptic asked "prove me precision" and got back a window inside which the function is guaranteed close to some number A. Here it's the opposite: the skeptic asks "prove me height" — "prove you can make f(x) bigger than 1000, bigger than a million, bigger than anything," and you respond by figuring out how close to x₀ you need to get to guarantee clearing that height. There's no more "number A the function crowds around" — instead the function keeps flying higher and higher, and the only thing that can be guaranteed is that it clears any preassigned bar E, provided you get close enough to x₀.
Пример из жизни. Служба доставки берёт плату, зависящую от того, сколько времени осталось до дедлайна: чем меньше времени осталось (аргумент t — время до дедлайна — стремится к x₀=0), тем дороже доставка. За сутки — обычный тариф. За час — уже дорого. За пять минут — курьер соглашается только за огромную сумму, если вообще соглашается. Формально: пусть f(t) — минимальная цена доставки за оставшееся время t. Скептик говорит: «докажи, что можешь заставить цену превысить 100 000 ₽» (это его E). Вы отвечаете: «если до дедлайна осталось меньше 3 минут (это ваше δ), цена гарантированно выше 100 000 ₽». Скептик поднимает планку — «докажи больше миллиона» — и вы сужаете окно: «меньше 10 секунд — и цена превысит миллион». Какую бы высоту E ни назвал скептик, всегда находится достаточно узкое окно времени δ до дедлайна, при котором цена эту высоту превышает — именно это и означает lim_{t→0}f(t)=+∞.A real-life example. A delivery service charges a fee that depends on how much time is left before the deadline: the less time remains (the argument t — time left before the deadline — tends to x₀=0), the more expensive the delivery. A full day out, it's the standard rate. An hour out, it's already pricey. Five minutes out, a courier will only agree for an enormous sum, if at all. Formally: let f(t) be the minimum delivery price for the remaining time t. The skeptic says: "prove you can push the price above 100,000 ₽" (that's their E). You respond: "if less than 3 minutes remain before the deadline (that's your δ), the price is guaranteed to exceed 100,000 ₽." The skeptic raises the bar — "prove more than a million" — and you narrow the window: "less than 10 seconds — and the price exceeds a million." Whatever height E the skeptic names, a sufficiently narrow window of time δ before the deadline can always be found where the price clears that height — that's exactly what lim_{t→0}f(t)=+∞ means.
Рис. 52. Цена срочной доставки f(t) неограниченно растёт при t→0 (время до дедлайна стремится к нулю). Внутри δ-окна рядом с x₀=0 (сиреневая полоса) цена гарантированно превышает любую наперёд заданную планку E (зелёная линия).Fig. 52. The rush-delivery price f(t) grows without bound as t→0 (time before the deadline tends to zero). Inside the δ-window near x₀=0 (lavender band), the price is guaranteed to exceed any preassigned bar E (green line).
Доказать по определению, что lim_{x→0} (1/x²) = +∞.Prove by definition that lim_{x→0} (1/x²) = +∞.
Зафиксируем произвольное E>0. Нужно найти δ>0, при котором из 0<|x|<δ следует 1/x²>E, то есть x²<1/E, то есть |x|<1/√E. Возьмём δ=1/√E — тогда для всех 0<|x|<δ выполняется |x|<1/√E, а значит x²<1/E, откуда 1/x²>E. Более того, 1/x²>0 всегда, так что имеет место именно +∞, а не просто ∞ без знака.Fix an arbitrary E>0. Need to find δ>0 such that 0<|x|<δ implies 1/x²>E, i.e., x²<1/E, i.e., |x|<1/√E. Take δ=1/√E — then for all 0<|x|<δ, |x|<1/√E holds, hence x²<1/E, hence 1/x²>E. Moreover, 1/x²>0 always, so it's specifically +∞, not merely an unsigned ∞.
Если lim_{x→x₀}f(x)=∞ (в любом из знаковых вариантов), то прямая x=x₀ называется вертикальной асимптотой графика — аналог горизонтальной асимптоты из 16.3, но с ролями осей, поменянными местами. Пример 16.4 выше означает в точности, что прямая x=0 — вертикальная асимптота параболы y=1/x².If lim_{x→x₀}f(x)=∞ (in any signed variant), the line x=x₀ is called a vertical asymptote of the graph — an analogue of the horizontal asymptote from 16.3, but with the roles of the axes swapped. Example 16.4 above means precisely that the line x=0 is a vertical asymptote of the parabola y=1/x².
Между б.б.ф. и обратной ей функцией есть прямая связь, которая станет формальным определением бесконечно малой функции в 17.1: если f(x) — бесконечно большая при x→x₀, то 1/f(x) определена в некоторой проколотой окрестности x₀ (за исключением точек, где f(x)=0, каких вблизи x₀ нет, поскольку |f(x)|>E для любого E) и 1/f(x)→0 при x→x₀. Пример 16.4 в этом свете зеркален Примеру 16.3 (lim_{x→∞}(1/x)=0): там аргумент уходил в бесконечность, а функция стремилась к нулю; здесь функция уходит в бесконечность, потому что аргумент стремится к точке, где обратная функция была бы нулём.There's a direct connection between an i.l.f. and its reciprocal, which will become the formal definition of an infinitesimal function in 17.1: if f(x) is infinitely large as x→x₀, then 1/f(x) is defined in some punctured neighborhood of x₀ (except at points where f(x)=0, of which there are none near x₀, since |f(x)|>E for any E) and 1/f(x)→0 as x→x₀. Example 16.4 in this light mirrors Example 16.3 (lim_{x→∞}(1/x)=0): there the argument went to infinity while the function tended to zero; here the function goes to infinity because the argument tends to a point where the reciprocal function would be zero.
Определение предела в 16.1 требовало, чтобы A было конкретным числом — а ∞ числом не является (13.2: иерархия числовых множеств заканчивается на ℂ, символ ∞ в неё не входит). Запись lim_{x→x₀}f(x)=∞ — устоявшееся обозначение особого поведения функции, но говорить, что «предел существует и равен бесконечности», формально некорректно: правильнее говорить, что функция бесконечно большая, а обычный (конечный) предел в этой точке не существует. Различие терминологии важно при формулировке теорем — например, теорема о единственности предела (15.2) относится только к случаю конечного предела.The definition of a limit in 16.1 required A to be a specific number — and ∞ isn't a number (13.2: the hierarchy of number sets ends at ℂ; the symbol ∞ isn't part of it). The notation lim_{x→x₀}f(x)=∞ is an established shorthand for a specific kind of function behavior, but saying "the limit exists and equals infinity" is formally imprecise: it's more accurate to say the function is infinitely large, and the ordinary (finite) limit doesn't exist at that point. The terminological distinction matters when stating theorems — e.g., the uniqueness-of-limit theorem (15.2) applies only to the finite-limit case.
Функция f(x)=1/x при x→0 бесконечно большая в несигнированном смысле (|1/x|>E выполняется для всех малых |x|), но не имеет ни +∞, ни -∞ в качестве одностороннего направленного предела на всей проколотой окрестности сразу: слева 1/x→-∞, справа 1/x→+∞ (сравните с механизмом 16.2 — только там расхождение было между двумя конечными числами, а здесь между двумя бесконечностями разного знака). Запись lim_{x→0}(1/x)=∞ без знака корректна и часто используется, но означает буквально «модуль неограниченно растёт», не уточняя знак — уточнение знака требует раздельного рассмотрения x→0-0 и x→0+0.The function f(x)=1/x as x→0 is infinitely large in the unsigned sense (|1/x|>E holds for all small |x|), but has neither +∞ nor -∞ as a directed limit over the whole punctured neighborhood at once: on the left 1/x→-∞, on the right 1/x→+∞ (compare with the mechanism in 16.2 — except there the disagreement was between two finite numbers, and here it's between two infinities of opposite sign). The unsigned notation lim_{x→0}(1/x)=∞ is valid and commonly used, but literally means "the absolute value grows without bound," without specifying a sign — pinning down the sign requires considering x→0-0 and x→0+0 separately.
источникsource
Бесконечно большая функция, вертикальная асимптота — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §16.4 «Бесконечно большая функция (б.б.ф.)», с. 135. Пример 16.4, связь с 16.3/17.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.An infinitely large function, the vertical asymptote — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §16.4 "An Infinitely Large Function (i.l.f.)," p. 135. Example 16.4, the connection to 16.3/17.1, and the "Gotchas" section are original additions.