16.3 — Глава V, §16. Предел функции16.3 — Chapter V, §16. The Limit of a Function
В 16.1 аргумент x стремился к конечной точке x₀. Здесь рассматривается симметричный случай: x₀ заменяется на «окрестность бесконечности» из 13.3 (|x|>M), а сама функция при этом по-прежнему приближается к конечному числу A. Это прямой аналог предела последовательности из 15.2 — по сути, предел последовательности и есть частный случай этого понятия, где аргумент x принимает только натуральные значения.In 16.1, the argument x tended to a finite point x₀. Here the symmetric case is considered: x₀ is replaced by the "neighborhood of infinity" from 13.3 (|x|>M), while the function itself still approaches a finite number A. This is a direct analogue of the limit of a sequence from 15.2 — in essence, the limit of a sequence is exactly a special case of this notion, where the argument x takes only natural-number values.
Число A называется пределом f(x) при x→∞ (обозначается lim_{x→∞} f(x)=A), если функция определена при всех достаточно больших по модулю x, и для любого ε>0 найдётся M=M(ε)>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих |x|>M, выполняется |f(x)-A|<ε. Аналогично определяются lim_{x→+∞}f(x) (только x>M) и lim_{x→-∞}f(x) (только x<-M) — односторонние по знаку варианты, в прямой аналогии с 16.2.A number A is called the limit of f(x) as x→∞ (denoted lim_{x→∞} f(x)=A) if the function is defined for all sufficiently large x in absolute value, and for any ε>0 there exists M=M(ε)>0 such that for all x satisfying |x|>M, |f(x)-A|<ε holds. Similarly, lim_{x→+∞}f(x) (only x>M) and lim_{x→-∞}f(x) (only x<-M) are defined — sign-restricted one-sided variants, directly analogous to 16.2.
Роли поменялись местами по сравнению с 16.1: там δ ограничивало окрестность аргумента вокруг конечной точки, а M здесь задаёт «окрестность бесконечности» (13.3) — область |x|>M, вне какого бы то ни было конечного отрезка. Роль ε не меняется: по-прежнему контролирует близость значения функции к A. Формальное сходство с определением предела последовательности (15.2) не случайно: там роль M играл N, а условие |x|>M — это в точности n>N, только для последовательности x было ограничено натуральными числами и стремилось к +∞ исключительно.The roles have swapped compared to 16.1: there δ bounded the neighborhood of the argument around a finite point, while M here sets the "neighborhood of infinity" (13.3) — the region |x|>M, outside any finite interval whatsoever. The role of ε is unchanged: it still controls the closeness of the function's value to A. The formal resemblance to the definition of the limit of a sequence (15.2) is no accident: there, N played the role of M, and the condition |x|>M is exactly n>N, except for a sequence x was restricted to natural numbers and tended to +∞ exclusively.
В 16.1 аргумент бежал к конкретной финишной черте x₀ — можно было спросить «а что творится совсем рядом с финишем?». Здесь финишной черты нет вообще: x бежит и бежит, никогда не останавливаясь, и вопрос предела превращается в «на какое число в итоге похоже f(x), если бежать очень-очень долго, сколь угодно долго?». Игра со скептиком та же самая, только придирка «докажи мне точность ε» теперь встречает ответ не в виде окна вокруг точки, а в виде рубежа M: «пробеги достаточно далеко (дальше M) — и я гарантирую нужную точность, и дальше эта точность будет только держаться, а не портиться».In 16.1 the argument was racing toward a specific finish line x₀ — you could ask "what's happening right near the finish?" Here there's no finish line at all: x just keeps running, never stopping, and the limit question becomes "what number does f(x) end up resembling if you run for a very, very long time, arbitrarily long?" The game with the skeptic is the same, except the challenge "prove me precision ε" is now met not with a window around a point, but with a threshold M: "run far enough (past M) and I guarantee that precision — and it'll keep holding from then on, not degrade."
Пример из жизни. Парашютист прыгает и падает, набирая скорость. Сначала скорость растёт быстро, но чем дольше длится падение, тем меньше остаётся «свободного» ускорения: сопротивление воздуха растёт вместе со скоростью и в какой-то момент почти полностью уравновешивает силу тяжести. Скорость падения f(t) как функция времени падения t перестаёт заметно расти и «выходит на плато» около значения A≈55 м/с — это и есть предельная скорость (терминальная скорость свободного падения). Спросите скептика: «докажи, что скорость отличается от 55 м/с не больше чем на 0.5 м/с» — и ответ найдётся в виде рубежа по времени: «после 12 секунд падения гарантирую эту точность, и дальше она только улучшается». Чем жёстче требование к точности, тем позже (то есть при большем M) гарантия начинает работать — но она всегда находится, потому что скорость действительно стремится к конечному числу, просто никогда не достигая его в буквальном смысле за конечное время.A real-life example. A skydiver jumps and falls, picking up speed. At first the speed increases quickly, but the longer the fall lasts, the less "free" acceleration is left: air resistance grows along with the speed and at some point nearly balances gravity out entirely. The falling speed f(t), as a function of fall time t, stops noticeably increasing and "levels off" near a value A≈55 m/s — that's the terminal velocity of free fall. Challenge the skeptic: "prove the speed is within 0.5 m/s of 55 m/s" — and the answer comes as a time threshold: "after 12 seconds of falling, I guarantee that precision, and it only gets better after that." The stricter the precision demanded, the later (i.e., the larger M) the guarantee kicks in — but it's always found, because the speed genuinely tends toward a finite number, just never literally reaching it in finite time.
Рис. 51. Скорость падения парашютиста f(t) стремится к терминальной скорости A≈55 м/с при t→∞. После рубежа M (пунктирная сиреневая линия) кривая целиком лежит в ε-полосе вокруг A (зелёная полоса) — сколько бы ни продолжалось падение дальше, скорость эту полосу больше не покидает.Fig. 51. The skydiver's falling speed f(t) tends toward the terminal velocity A≈55 m/s as t→∞. Past the threshold M (dashed lavender line), the curve lies entirely within the ε-band around A (green band) — however much longer the fall continues, the speed never leaves that band again.
Доказать по определению, что lim_{x→∞} (1/x) = 0.Prove by definition that lim_{x→∞} (1/x) = 0.
Зафиксируем произвольное ε>0. Требуется найти M>0, при котором из |x|>M следует |1/x-0|<ε, то есть 1/|x|<ε, то есть |x|>1/ε. Достаточно взять M=1/ε — тогда для всех |x|>M выполняется |x|>1/ε, а значит 1/|x|<ε. Итак, lim_{x→∞}(1/x)=0.Fix an arbitrary ε>0. Need to find M>0 such that |x|>M implies |1/x-0|<ε, i.e., 1/|x|<ε, i.e., |x|>1/ε. It suffices to take M=1/ε — then for all |x|>M, |x|>1/ε holds, hence 1/|x|<ε. So, lim_{x→∞}(1/x)=0.
Сравните с Примером 15.1 из 15.2 (lim(1/n)=0 при n→∞) — вычисление дословно то же самое, с заменой N на M и n на x. Это не совпадение, а прямая иллюстрация того, что последовательность — частный случай функции (14.1, 15.1).Compare with Example 15.1 from 15.2 (lim(1/n)=0 as n→∞) — the calculation is word-for-word the same, with N replaced by M and n by x. This isn't a coincidence but a direct illustration that a sequence is a special case of a function (14.1, 15.1).
Если lim_{x→∞}f(x)=A, то прямая y=A называется горизонтальной асимптотой графика функции (14.2: график как множество точек Γ⊆X×Y) — график сколь угодно близко подходит к этой прямой при удалении от начала координат, никогда, вообще говоря, её не достигая. Пример 16.3 выше — это в точности утверждение, что прямая y=0 (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой гиперболы y=1/x. Полное исследование асимптот всех видов (в том числе наклонных) отложено до 25.7 — там этот геометрический факт станет одним из инструментов построения графика функции.If lim_{x→∞}f(x)=A, the line y=A is called a horizontal asymptote of the function's graph (14.2: the graph as the set of points Γ⊆X×Y) — the graph gets arbitrarily close to this line as it moves away from the origin, generally never reaching it. Example 16.3 above is exactly the statement that the line y=0 (the x-axis) is a horizontal asymptote of the hyperbola y=1/x. A full study of asymptotes of all kinds (including slant ones) is deferred to 25.7 — there this geometric fact will become one of the tools for graphing a function.
Точно так же, как в 16.2 двусторонний предел в конечной точке существует тогда и только тогда, когда совпадают пределы слева и справа, lim_{x→∞}f(x)=A существует тогда и только тогда, когда lim_{x→+∞}f(x)=lim_{x→-∞}f(x)=A. Функция f(x)=arctg x (14.6) — характерный пример: lim_{x→+∞}arctg x=π/2, а lim_{x→-∞}arctg x=-π/2 — оба конечны, но различны, поэтому lim_{x→∞}arctg x не существует, хотя график и имеет две разные горизонтальные асимптоты (по одной в каждую сторону).Just as in 16.2 the two-sided limit at a finite point exists if and only if the left- and right-hand limits coincide, lim_{x→∞}f(x)=A exists if and only if lim_{x→+∞}f(x)=lim_{x→-∞}f(x)=A. The function f(x)=\arctan x (14.6) is a characteristic example: lim_{x→+∞}\arctan x=π/2, while lim_{x→-∞}\arctan x=-π/2 — both finite but different, so lim_{x→∞}\arctan x doesn't exist, even though the graph has two distinct horizontal asymptotes (one in each direction).
В 15.2 номер N по смыслу был натуральным числом (или, по крайней мере, использовался как таковое — конкретное n сравнивалось с N в целых числах). Здесь M — произвольное положительное действительное число (13.3), а условие |x|>M проверяется для континуума значений x∈ℝ, а не для дискретной последовательности. Смешение этих двух объектов — источник ошибок при переносе интуиции «предел = устойчивое поведение после некоторого номера» на функции произвольного действительного аргумента, где никакого «номера» нет вовсе.In 15.2, the index N was in essence a natural number (or at least used as one — a specific integer n was compared against integer N). Here M is an arbitrary positive real number (13.3), and the condition |x|>M is checked for a continuum of values x∈ℝ, not for a discrete sequence. Conflating these two objects is a source of errors when carrying the intuition "limit = stable behavior past some index" over to functions of an arbitrary real argument, where there's no "index" at all.
источникsource
Предел функции при x→∞, горизонтальная асимптота — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §16.3 «Предел функции при x → ∞», с. 134. Пример 16.3, связь с 15.2/16.2/25.7, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The limit of a function as x→∞, the horizontal asymptote — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §16.3 "The Limit of a Function as x → ∞," p. 134. Example 16.3, the connection to 15.2/16.2/25.7, and the "Gotchas" section are original additions.