16.2 — Глава V, §16. Предел функции16.2 — Chapter V, §16. The Limit of a Function
Определение из 16.1 требует близости f(x) к A при подходе к x₀ с обеих сторон одновременно — слева и справа. Здесь это требование ослабляется: рассматривается поведение функции при подходе только с одной стороны, что немедленно даёт инструмент для описания «скачков» — точек, где слева и справа функция ведёт себя по-разному, и обычный (двусторонний) предел не существует.The definition from 16.1 requires f(x) to be close to A when approaching x₀ from both sides at once — left and right. Here that requirement is relaxed: the function's behavior is considered when approaching from only one side, which immediately gives a tool for describing "jumps" — points where the function behaves differently on the left and right, and the ordinary (two-sided) limit doesn't exist.
Предел слева: число A называется пределом f(x) при x→x₀ слева (обозначается lim_{x→x₀-0} f(x)=A или f(x₀-0)), если для любого ε>0 найдётся δ>0 такое, что для всех x из x₀-δ<x<x₀ выполняется |f(x)-A|<ε. Предел справа (lim_{x→x₀+0} f(x)=A, f(x₀+0)) определяется симметрично для x₀<x<x₀+δ.The left-hand limit: a number A is called the limit of f(x) as x→x₀ from the left (denoted lim_{x→x₀-0} f(x)=A or f(x₀-0)) if for any ε>0 there exists δ>0 such that for all x in x₀-δ<x<x₀, |f(x)-A|<ε holds. The right-hand limit (lim_{x→x₀+0} f(x)=A, f(x₀+0)) is defined symmetrically for x₀<x<x₀+δ.
Разница с определением 16.1 — только в форме окрестности: вместо полной проколотой окрестности 0<|x-x₀|<δ берётся её левая половина (x₀-δ;x₀) или правая (x₀;x₀+δ). Это буквально та же логическая конструкция «∀ε ∃δ», применённая к урезанной области подхода.The difference from the definition in 16.1 is only in the shape of the neighborhood: instead of the full punctured neighborhood 0<|x-x₀|<δ, its left half (x₀-δ;x₀) or right half (x₀;x₀+δ) is taken. This is literally the same logical construction "∀ε ∃δ," applied to a trimmed domain of approach.
В 16.1 скептик мог подходить к точке x₀ с любой стороны — слева, справа, вперемешку, — и требование было единым: как ни подходи, f(x) обязана оказаться близко к A. Здесь скептику связывают одну руку: ему разрешают приближаться только слева (для предела слева) или только справа (для предела справа). Это слабее исходного требования — и именно поэтому предел слева может существовать даже там, где обычный (двусторонний) предел не существует: функции достаточно вести себя прилично лишь с одной стороны.In 16.1 the skeptic could approach the point x₀ from any side — left, right, mixed — and the requirement was uniform: however you approach, f(x) must end up close to A. Here one of the skeptic's hands gets tied: they're only allowed to approach from the left (for the left-hand limit) or only from the right (for the right-hand limit). This is a weaker requirement than the original — and that's exactly why a left-hand limit can exist even where the ordinary (two-sided) limit doesn't: the function only has to behave decently on one side.
Пример из жизни. Представьте тариф такси по счётчику, который переключается со «стандартного» на «ночной» ровно в полночь (x₀=00:00). Пока время подходит к полуночи слева (скажем, 23:55, 23:58, 23:59:59), действует дневной тариф — стоимость поездки, начатой в этот момент, стремится к какому-то числу, скажем, 300 ₽/км. Это f(x₀-0)=300. А как только время переваливает за полночь и подходит к ней справа (00:00:01, 00:03, 00:05), уже действует ночной тариф — стоимость стремится к другому числу, 450 ₽/км. Это f(x₀+0)=450. Оба предела существуют — таксист вам их спокойно назовёт для любой близкой к полуночи минуты — но они разные, и потому «предел стоимости поездки при подходе времени к полуночи» как единое число не существует: смотря с какой стороны подходить, ответ разный. Это именно то, что происходит в Примере 16.2 с функцией x/|x| — только там роль «дневного/ночного тарифа» играют -1 и 1.A real-life example. Picture a taxi meter rate that switches from "standard" to "night" exactly at midnight (x₀=00:00). As the time approaches midnight from the left (say, 23:55, 23:58, 23:59:59), the day rate applies — the cost of a ride started at that moment tends toward some number, say 300 ₽/km. That's f(x₀-0)=300. But once the time passes midnight and approaches it from the right (00:00:01, 00:03, 00:05), the night rate applies — the cost tends toward a different number, 450 ₽/km. That's f(x₀+0)=450. Both limits exist — the driver could quote you either one for any minute close to midnight — but they differ, so "the limiting cost as time approaches midnight" as a single number doesn't exist: the answer depends on which side you approach from. This is exactly what happens in Example 16.2 with the function x/|x| — only there, -1 and 1 play the role of the "day/night rate."
Рис. 50. Тариф такси при подходе к полуночи: слева от x₀ предел равен 300 (дневной тариф, выколотый кружок — предел, а не факт «в этот момент»), справа — 450 (ночной тариф, закрашенный кружок — значение в самой точке совпадает с пределом справа). Односторонние пределы разные — двустороннего предела нет, налицо скачок.Fig. 50. The taxi rate as time approaches midnight: to the left of x₀ the limit is 300 (day rate, open circle — a limit, not the value "at" that instant), to the right it's 450 (night rate, filled circle — the value at the point itself coincides with the right-hand limit). The one-sided limits differ — there's no two-sided limit, a genuine jump.
lim_{x→x₀} f(x) = A существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны между собой: f(x₀-0) = f(x₀+0) = A.lim_{x→x₀} f(x) = A exists if and only if both one-sided limits exist and are equal to each other: f(x₀-0) = f(x₀+0) = A.
Эта теорема даёт практический критерий несуществования предела: достаточно показать, что f(x₀-0)≠f(x₀+0) (оба существуют, но разные), либо что хотя бы один из односторонних пределов не существует вовсе. Обратно, теорема Вейерштрасса для последовательностей (15.4) доказывала существование предела через монотонность и ограниченность — здесь же критерий устроен иначе: существование сводится к совпадению двух более простых объектов, а не к структурному свойству самой функции.This theorem gives a practical criterion for the nonexistence of a limit: it suffices to show that f(x₀-0)≠f(x₀+0) (both exist but differ), or that at least one of the one-sided limits doesn't exist at all. By contrast, the Weierstrass theorem for sequences (15.4) proved existence via monotonicity and boundedness — here the criterion works differently: existence reduces to the coincidence of two simpler objects, rather than a structural property of the function itself.
Для функции f(x) = x/|x| (знак числа, не определена в x₀=0) найти f(0-0) и f(0+0).For the function f(x) = x/|x| (the sign of the number, undefined at x₀=0) find f(0-0) and f(0+0).
При x<0: |x|=-x, значит f(x)=x/(-x)=-1 для всех таких x — постоянная функция на левой полуокрестности, поэтому f(0-0)=-1. При x>0: |x|=x, значит f(x)=x/x=1 для всех таких x, поэтому f(0+0)=1.For x<0: |x|=-x, so f(x)=x/(-x)=-1 for all such x — a constant function on the left half-neighborhood, hence f(0-0)=-1. For x>0: |x|=x, so f(x)=x/x=1 for all such x, hence f(0+0)=1.
Оба односторонних предела существуют, но не равны (-1≠1) — по теореме выше, lim_{x→0} f(x) не существует, несмотря на то что каждый из односторонних пределов — вполне определённое, конечное число. Это типичный пример точки «скачка» (терминология будет уточнена в 19.2 при классификации разрывов).Both one-sided limits exist but are not equal (-1≠1) — by the theorem above, lim_{x→0} f(x) does not exist, even though each one-sided limit is a perfectly well-defined, finite number. This is a typical example of a "jump" point (terminology to be refined in 19.2 when classifying discontinuities).
Пример 16.2 выше — прямая иллюстрация: f(0-0) и f(0+0) оба существуют как конечные числа, но не равны, и потому lim_{x→0}f(x) не существует. Ошибка «раз оба односторонних предела конечны — значит и обычный предел есть» пропускает именно условие равенства, которое является частью теоремы, а не автоматическим следствием существования.Example 16.2 above is a direct illustration: f(0-0) and f(0+0) both exist as finite numbers, but aren't equal, so lim_{x→0}f(x) doesn't exist. The mistake "since both one-sided limits are finite, the ordinary limit must exist too" skips exactly the equality condition, which is part of the theorem, not an automatic consequence of existence.
Если область определения функции — отрезок [a;b], то в точке x=a определён только предел справа (слева от a функция попросту не задана — не «предел не существует», а «предела слева не может быть по постановке задачи», так как окрестности слева нет в области определения вовсе). Путать эту ситуацию с Примером 16.2 (где оба односторонних предела существуют, но не совпадают) — значит смешивать два разных сценария: «предела с одной стороны нет, потому что там нет функции» и «пределы есть с обеих сторон, но разные».If a function's domain is a closed interval [a;b], then at the point x=a only the right-hand limit is defined (to the left of a the function simply isn't defined — not "the limit doesn't exist," but "there can be no left-hand limit given the setup," since there's no domain to the left at all). Confusing this situation with Example 16.2 (where both one-sided limits exist but disagree) means conflating two different scenarios: "there's no limit on one side because the function isn't there" versus "limits exist on both sides, but differ."
источникsource
Односторонние пределы, теорема о связи двустороннего и односторонних пределов — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §16.2 «Односторонние пределы», с. 133–134. Пример 16.2, связь с 16.1/19.2, раздел «Грабли» — авторское дополнение.One-sided limits, the theorem relating the two-sided and one-sided limits — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §16.2 "One-Sided Limits," pp. 133–134. Example 16.2, the connection to 16.1/19.2, and the "Gotchas" section are original additions.