19.3 — Глава V, §19. Непрерывность функций19.3 — Chapter V, §19. Continuity of Functions
19.1 назвало три условия непрерывности: определённость в точке, существование предела, их совпадение. Здесь систематизируется, что происходит, когда хотя бы одно из них нарушается — не как единая «поломка», а как несколько принципиально разных сценариев, каждый из которых уже встречался порознь в §16 (Пример 16.2 — скачок; 16.4 — уход в бесконечность) и здесь наконец получает общее имя и структуру.19.1 named three conditions for continuity: being defined at the point, the limit existing, and the two coinciding. Here what happens when at least one of them fails is systematized — not as a single "breakdown," but as several fundamentally different scenarios, each already encountered separately in §16 (Example 16.2 — a jump; 16.4 — going to infinity) and now finally given a common name and structure.
Точка x₀ называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела (16.2) f(x₀-0) и f(x₀+0) существуют и конечны, но нарушено хотя бы одно из: (а) f(x₀-0)≠f(x₀+0) — тогда это точка разрыва (скачка); (б) f(x₀-0)=f(x₀+0)≠f(x₀) или f(x₀) не определено — тогда это точка устранимого разрыва.A point x₀ is called a discontinuity of the first kind if both one-sided limits (16.2) f(x₀-0) and f(x₀+0) exist and are finite, but at least one of the following fails: (a) f(x₀-0)≠f(x₀+0) — then it's a jump discontinuity; (b) f(x₀-0)=f(x₀+0)≠f(x₀) or f(x₀) is undefined — then it's a removable discontinuity.
Точка x₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x₀-0), f(x₀+0) либо бесконечен (16.4), либо не существует вовсе.A point x₀ is called a discontinuity of the second kind if at least one of the one-sided limits f(x₀-0), f(x₀+0) is either infinite (16.4) or doesn't exist at all.
Три сценария первого рода и второго рода — не произвольный список, а полная классификация: она проверяет ровно те же три условия из 19.1 (определённость, существование предела, совпадение), только систематически перебирая, какое именно из них нарушено. Скачок из Примера 16.2 (f(x)=x/|x| в x=0: f(0-0)=-1≠f(0+0)=1) — классический разрыв первого рода. Функция f(x)=1/x² в x=0 (Пример 16.4: lim_{x→0}1/x²=+∞) — классический разрыв второго рода.The three scenarios of the first kind and the second kind aren't an arbitrary list, but a complete classification: it checks exactly the same three conditions from 19.1 (being defined, the limit existing, coinciding), just systematically going through which one fails. The jump from Example 16.2 (f(x)=x/|x| at x=0: f(0-0)=-1≠f(0+0)=1) is a classic discontinuity of the first kind. The function f(x)=1/x² at x=0 (Example 16.4: lim_{x→0}1/x²=+∞) is a classic discontinuity of the second kind.
Классифицировать точку x₀=1 для функции f(x)=(x²-1)/(x-1).Classify the point x₀=1 for the function f(x)=(x²-1)/(x-1).
Это ровно та функция из Примера в 16.1: не определена в x=1 (деление на ноль), но при x≠1 сокращается до f(x)=x+1. Значит, lim_{x→1-0}f(x)=lim_{x→1+0}f(x)=2 — оба односторонних предела существуют, конечны и совпадают между собой. Но f(1) не определено вовсе — нарушено условие (1) из 19.1. По классификации выше это точка устранимого разрыва: достаточно доопределить f(1)=2, и функция станет непрерывной в этой точке (отсюда и название — разрыв «устраняется» одним изменением значения в одной точке).This is exactly the function from the example in 16.1: undefined at x=1 (division by zero), but reducing to f(x)=x+1 for x≠1. So lim_{x→1-0}f(x)=lim_{x→1+0}f(x)=2 — both one-sided limits exist, are finite, and coincide. But f(1) isn't defined at all — condition (1) from 19.1 fails. By the classification above, this is a removable discontinuity: it suffices to extend the definition to f(1)=2, and the function becomes continuous at that point (hence the name — the discontinuity is "removed" by a single change of value at a single point).
Вспоминая аналогию из 19.1: непрерывность — это когда карандаш можно провести через точку, не отрывая от бумаги. Разрывы первого рода — это два разных, но одинаково «безобидных» способа испортить эту картинку: скачок — когда линия слева и линия справа подходят к разным высотам, и карандаш физически приходится переставлять (дырка настоящая, обе стороны знают, куда стремятся, просто в разные места); устранимый разрыв — когда обе стороны линии стремятся к одной и той же высоте, но именно в этой точке кто-то по ошибке поставил точку в другом месте (или вообще забыл её поставить) — «почти нарисовано», просто с опечаткой ровно в одной точке. Разрыв второго рода — куда серьёзнее: график вообще улетает за пределы листа (бесконечность) или начинает дрожать настолько быстро, что непонятно, куда он вообще «целится» — тут нет речи о «почти нарисовано», сама идея подвести карандаш к какой-то определённой высоте не работает.Recalling the analogy from 19.1: continuity is when a pencil can be drawn through a point without lifting it from the paper. Discontinuities of the first kind are two different but equally "harmless" ways to spoil that picture: a jump — when the line from the left and the line from the right approach different heights, and the pencil physically has to be repositioned (a real gap, both sides know where they're headed, just to different places); a removable discontinuity — when both sides of the line tend toward the same height, but right at that point someone mistakenly placed a dot somewhere else (or forgot to place one at all) — "almost drawn," just with a typo at exactly one point. A discontinuity of the second kind is far more serious: the graph flies right off the edge of the page (infinity) or starts trembling so fast it's unclear where it's even "aiming" — there's no talk of "almost drawn" here, the very idea of bringing the pencil to some definite height simply doesn't work.
Пример из жизни. Три сценария из жизни лифта. Скачок: табло этажей в лифте показывает целые числа — если считать «показание табло» функцией высоты кабины, при пересечении границы между 3-м и 4-м этажом показание мгновенно перескакивает с «3» на «4», без промежуточных значений — классический разрыв первого рода со скачком. Устранимый: представьте датчик, который вышел из строя ровно на границе этажей и на долю секунды показывает случайный мусорный символ, хотя до и после границы (с обеих сторон) показания стремятся к одному и тому же значению — стоит «залатать» этот единственный дефектный момент правильным значением, и всё становится согласованным. Второго рода: представьте, что трос лифта обрывается, и скорость кабины устремляется к бесконечности при приближении к моменту падения на дно шахты — тут нет «скачка на конечную величину», сам масштаб происходящего перестаёт быть конечным.A real-life example. Three real-life elevator scenarios. Jump: an elevator's floor display shows whole numbers — if the "display reading" is treated as a function of the cabin's height, at the boundary between floors 3 and 4 the reading instantly jumps from "3" to "4," with no intermediate values — a classic first-kind jump discontinuity. Removable: imagine a sensor that glitches out exactly at a floor boundary and briefly shows a random garbage symbol for a split second, even though before and after the boundary (on both sides) the readings tend toward the same value — patch that single defective moment with the correct value, and everything becomes consistent. Second kind: imagine the elevator cable snaps, and the cabin's speed rushes toward infinity as the moment of hitting the shaft floor approaches — there's no "jump by a finite amount" here, the very scale of what's happening stops being finite.
Рис. 64. Три типа разрыва: скачок (сиреневая, разные пределы слева/справа), устранимый разрыв (зелёная, пределы совпадают, но значение в точке «не туда»), разрыв второго рода (жёлтая, уход в бесконечность).Fig. 64. Three types of discontinuity: a jump (lavender, different left/right limits), a removable discontinuity (green, limits agree but the point's value is "misplaced"), a second-kind discontinuity (yellow, blowing up to infinity).
Функция f(x)=(x²-1)/(x-1) из Примера 19.3 — по умолчанию имеет разрыв в x=1, а не непрерывна: слово «устранимый» описывает потенциал (можно устранить одной заменой значения), а не свершившийся факт. Пока никто явно не доопределил f(1)=2, функция остаётся разрывной в этой точке — и если в задаче не сказано «доопределить по непрерывности», нельзя молча считать разрыв устранённым и использовать 19.1 как если бы условие уже выполнялось.The function f(x)=(x²-1)/(x-1) from Example 19.3 — by default has a discontinuity at x=1, not continuity: the word "removable" describes a potential (it can be removed by a single change of value), not an accomplished fact. Until someone explicitly extends the definition with f(1)=2, the function remains discontinuous at that point — and unless a problem explicitly says "extend by continuity," it's wrong to silently assume the discontinuity has been removed and use 19.1 as if the condition already held.
Легко представить себе классификацию как шкалу «размера» разрыва: маленький скачок — первый род, большой — второй. На самом деле различие не количественное, а качественное: первый род требует, чтобы оба односторонних предела существовали и были конечны (просто, возможно, разными) — второй род означает, что хотя бы один из них либо бесконечен, либо не существует вовсе (например, из-за неограниченных колебаний, как sin(1/x) при x→0, где предела нет ни в каком смысле, даже бесконечном). Скачок величиной в миллион (первый род, если оба предела конечны) и «дрожание без предела» (второй род) — разные явления, а не точки одной шкалы.It's tempting to picture the classification as a scale of discontinuity "size": a small jump — first kind, a big one — second kind. In reality the distinction isn't quantitative but qualitative: the first kind requires both one-sided limits to exist and be finite (just possibly different) — the second kind means at least one of them is either infinite or doesn't exist at all (e.g., due to unbounded oscillation, like \sin(1/x) as x→0, where there's no limit in any sense, even an infinite one). A jump of a million (first kind, if both limits are finite) and "trembling with no limit" (second kind) are different phenomena, not points on one scale.
источникsource
Точки разрыва функции и их классификация — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §19.3 «Точки разрыва функции и их классификация», с. 146–148. Пример 19.3, связь с 16.2/16.4/19.1/19.4, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Points of discontinuity of a function and their classification — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §19.3 "Points of Discontinuity of a Function and Their Classification," pp. 146–148. Example 19.3, the connection to 16.2/16.4/19.1/19.4, and the "Gotchas" section, are original additions.