19.2 — Глава V, §19. Непрерывность функций19.2 — Chapter V, §19. Continuity of Functions
19.1 определило непрерывность в одной точке. Здесь понятие распространяется на целые множества точек — интервал и отрезок (13.3). Разница между ними не формальность: на концах отрезка проколотой двусторонней окрестности попросту не существует (16.2), и определение непрерывности приходится аккуратно подгонять под односторонний случай — та же задача, что уже решалась в 16.2 для пределов.19.1 defined continuity at a single point. Here the notion is extended to entire sets of points — an interval and a closed interval (13.3). The difference between them isn't a formality: at the endpoints of a closed interval, a two-sided punctured neighborhood simply doesn't exist (16.2), and the definition of continuity has to be carefully adapted to the one-sided case — the same problem already solved in 16.2 for limits.
Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a;b), если она непрерывна (19.1) в каждой точке этого интервала. Функция называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на интервале (a;b), непрерывна справа в точке a (lim_{x→a+0}f(x)=f(a)) и непрерывна слева в точке b (lim_{x→b-0}f(x)=f(b)).A function f(x) is called continuous on an interval (a;b) if it's continuous (19.1) at every point of that interval. A function is called continuous on a closed interval [a;b] if it's continuous on the interval (a;b), continuous from the right at the point a (lim_{x→a+0}f(x)=f(a)), and continuous from the left at the point b (lim_{x→b-0}f(x)=f(b)).
Почему концы требуют отдельной оговорки: в точке a у функции, определённой только на [a;b], вообще нет соседей слева — область определения туда не простирается, и требовать двустороннего предела (19.1) было бы просто невозможно выполнить в принципе, а не только на практике (в точности то же затруднение, что уже разбиралось в Граблях 16.2 про полуинтервал). Односторонняя непрерывность на концах — не ослабленная версия «полной» непрерывности, а единственно осмысленное требование в этой ситуации.Why the endpoints need a separate stipulation: at the point a, a function defined only on [a;b] has no neighbors to the left at all — the domain doesn't extend there, and demanding a two-sided limit (19.1) would be simply impossible to satisfy in principle, not just in practice (exactly the same difficulty already discussed in the Gotchas of 16.2 about a half-interval). One-sided continuity at the endpoints isn't a weakened version of "full" continuity — it's the only requirement that makes sense in this situation.
Функция f(x)=√x определена на [0;+∞). Проверить непрерывность на отрезке [0;4].The function f(x)=\sqrt{x} is defined on [0;+∞). Verify continuity on the closed interval [0;4].
На интервале (0;4) непрерывность в каждой точке следует из общих теорем о непрерывности элементарных функций (полное обоснование — в 19.4). На левом конце x=0 двустороннего предела нет и быть не может (слева от нуля √x не определён — область определения обрывается), но предел справа существует: lim_{x→0+0}√x=0=f(0) — непрерывность справа выполнена. На правом конце x=4: lim_{x→4-0}√x=2=f(4) — непрерывность слева выполнена. Значит, f(x)=√x непрерывна на всём отрезке [0;4].On the interval (0;4), continuity at every point follows from the general theorems on the continuity of elementary functions (full justification in 19.4). At the left endpoint x=0, a two-sided limit doesn't exist and can't exist (to the left of zero, \sqrt{x} isn't defined — the domain simply stops), but the right-hand limit exists: lim_{x→0+0}\sqrt{x}=0=f(0) — right-continuity holds. At the right endpoint x=4: lim_{x→4-0}\sqrt{x}=2=f(4) — left-continuity holds. So f(x)=\sqrt{x} is continuous on the entire closed interval [0;4].
Непрерывность на отрезке — это требование «дорога без единой ямы и трещины на всём протяжении от a до b». В любой внутренней точке дороги вы можете проверить качество покрытия, оглядываясь и вперёд, и назад (двусторонний предел, 19.1). Но на самом въезде (x=a) позади дороги просто нет — там ничего не существует, глядеть назад некуда, и вы вынуждены судить о качестве только по тому, что впереди (предел справа). Аналогично на самом выезде (x=b) — судить можно только по тому, что позади. Требование «непрерывна на отрезке» — это гарантия, что дорога ровная везде, где о ней вообще имеет смысл спрашивать, включая аккуратный, без ям, стык на въезде и выезде с тем, что «должно было бы там быть».Continuity on a closed interval is the requirement "a road with not a single pothole or crack anywhere from a to b." At any interior point of the road, you can check the pavement quality by looking both forward and backward (a two-sided limit, 19.1). But right at the entrance (x=a), there's simply no road behind it — nothing exists there, there's nowhere to look back at, and you can only judge quality by what's ahead (the right-hand limit). Similarly, at the very exit (x=b) — you can only judge by what's behind. The requirement "continuous on a closed interval" guarantees the road is smooth everywhere it even makes sense to ask about it, including a clean, pothole-free joint at the entrance and exit with whatever "should have been there."
Пример из жизни. Представьте эскалатор в торговом центре, работающий с 9:00 до 22:00 (это его «отрезок определения» — вне этих часов эскалатор просто выключен и не существует как функционирующий объект). Скорость эскалатора v(t) в течение дня плавно выходит на рабочий режим сразу после включения в 9:00 и плавно снижается перед выключением в 22:00 — никаких резких скачков посреди дня. На левом конце (9:00) нет смысла спрашивать, какая была скорость «за секунду до открытия» — эскалатора тогда попросту не было; единственный осмысленный вопрос — плавно ли скорость выходит на рабочее значение сразу после 9:00. Аналогично на правом конце (22:00) важно только то, что происходит непосредственно до закрытия. Это в точности одностороннее требование на концах отрезка.A real-life example. Picture a mall escalator running from 9:00 to 22:00 (that's its "domain of a closed interval" — outside those hours the escalator is simply off and doesn't exist as a functioning object). The escalator's speed v(t) over the course of the day smoothly ramps up to operating speed right after switching on at 9:00 and smoothly winds down before switching off at 22:00 — no sudden jumps mid-day. At the left endpoint (9:00), it makes no sense to ask what the speed was "a second before opening" — the escalator simply didn't exist then; the only sensible question is whether the speed ramps up smoothly right after 9:00. Similarly, at the right endpoint (22:00), only what happens right before closing matters. That's exactly the one-sided requirement at the endpoints of a closed interval.
Рис. 63. Скорость эскалатора v(t) непрерывна на отрезке [a;b]: плавный выход на режим сразу после a (непрерывность справа) и плавное снижение перед b (непрерывность слева); за пределами отрезка функция не определена вовсе (пунктир).Fig. 63. The escalator speed v(t) is continuous on the closed interval [a;b]: a smooth ramp-up right after a (right-continuity) and a smooth ramp-down before b (left-continuity); outside the interval the function isn't defined at all (dashed).
Функция может быть идеально непрерывной на всём открытом интервале (a;b) и при этом либо не быть определена в самих a и b, либо иметь там разрыв — открытый интервал (13.3: без концов) попросту не накладывает никаких требований на граничные точки, потому что формально они в него не входят. Пример: f(x)=1/x непрерывна на (0;1), но не определена в x=0 и не может быть доопределена там непрерывно (16.4: б.б.ф.). Утверждение «непрерывна на (a;b)» и утверждение «непрерывна на [a;b]» — принципиально разные по силе, и путать их — частая ошибка при формулировке теорем (в частности, ключевых теорем 19.5, которые требуют именно отрезка, а не интервала).A function can be perfectly continuous on the entire open interval (a;b) while either being undefined at a and b themselves, or having a discontinuity there — an open interval (13.3: without endpoints) simply imposes no requirements on the boundary points, because formally they aren't part of it. Example: f(x)=1/x is continuous on (0;1), but undefined at x=0 and can't be continuously extended there (16.4: an i.l.f.). The statement "continuous on (a;b)" and the statement "continuous on [a;b]" differ fundamentally in strength, and confusing them is a common mistake when stating theorems (in particular, the key theorems in 19.5, which require specifically a closed interval, not an open one).
Определение непрерывности на [a;b] не запрещает функции быть определённой и вне этого отрезка — оно лишь описывает поведение внутри [a;b] и на его границах. Функция f(x)=x² определена и непрерывна на всей числовой прямой, и в частности — непрерывна на отрезке [0;4] (Пример 19.2 работал бы точно так же для неё); утверждение «непрерывна на [a;b]» — это утверждение про ограничение функции на этот отрезок, а не про её область определения целиком.The definition of continuity on [a;b] doesn't forbid a function from being defined outside that interval too — it only describes behavior inside [a;b] and at its boundaries. The function f(x)=x² is defined and continuous on the entire real line, and in particular — continuous on the closed interval [0;4] (Example 19.2 would work identically for it); the statement "continuous on [a;b]" is a statement about the function's restriction to that interval, not about its whole domain.
источникsource
Непрерывность функции в интервале и на отрезке — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §19.2 «Непрерывность функции в интервале и на отрезке», с. 146. Пример 19.2, связь с 13.3/16.2/19.1/19.5, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Continuity of a function on an interval and on a closed interval — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §19.2 "Continuity of a Function on an Interval and on a Closed Interval," p. 146. Example 19.2, the connection to 13.3/16.2/19.1/19.5, and the "Gotchas" section, are original additions.