19.5 — Глава V, §19. Непрерывность функций19.5 — Chapter V, §19. Continuity of Functions
19.2 подчеркнуло, что непрерывность на отрезке [a;b] — более сильное требование, чем на интервале (a;b), именно из-за замкнутости концов. Здесь эта замкнутость наконец окупается: две глубокие теоремы, неверные для открытого интервала, становятся истинными именно на отрезке — это тот же механизм «полнота ℝ даёт гарантии, которых не было бы без неё», что уже работал в 13.2 и 15.4, только теперь применённый к функциям, а не числам или последовательностям.19.2 stressed that continuity on a closed interval [a;b] is a stronger requirement than on an open interval (a;b), precisely because of the closed endpoints. Here that closedness finally pays off: two deep theorems, false for an open interval, become true precisely on a closed one — the same mechanism "the completeness of ℝ provides guarantees that wouldn't otherwise exist," already seen at work in 13.2 and 15.4, now applied to functions rather than numbers or sequences.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] (19.2), то она ограничена на этом отрезке (14.3), и достигает на нём своих точных верхней и нижней граней — то есть существуют точки x₁,x₂∈[a;b], такие что f(x₁)=max f и f(x₂)=min f на [a;b].If a function f(x) is continuous on a closed interval [a;b] (19.2), it's bounded on that interval (14.3), and attains its least upper bound and greatest lower bound on it — that is, there exist points x₁,x₂∈[a;b] such that f(x₁)=\max f and f(x₂)=\min f on [a;b].
Эта теорема — прямой аналог теоремы Вейерштрасса для последовательностей (15.4): там полнота ℝ гарантировала существование sup для монотонной ограниченной последовательности; здесь та же полнота, применённая уже не к одной последовательности, а к целой непрерывной функции на замкнутом множестве, гарантирует, что супремум не просто существует как число, но и достигается — реализуется в какой-то конкретной точке отрезка. Слово «достигает» здесь ключевое: обычная ограниченная функция может иметь супремум, к которому лишь приближается, никогда не касаясь его (14.3), а непрерывность на замкнутом отрезке исключает такую возможность.This theorem is a direct analogue of the Weierstrass theorem for sequences (15.4): there, the completeness of ℝ guaranteed the existence of a sup for a monotonic bounded sequence; here that same completeness, applied not to a single sequence but to an entire continuous function on a closed set, guarantees that the supremum not only exists as a number but also is attained — realized at some specific point of the interval. The word "attains" is key here: an ordinary bounded function can have a supremum it only approaches, never touching it (14.3), and continuity on a closed interval rules out that possibility.
Функция f(x)=1/x непрерывна на интервале (0;1) (19.2), но не ограничена на нём (стремится к +∞ при x→0+0, 16.4) — теорема Вейерштрасса здесь неприменима именно потому, что (0;1) не отрезок: у него нет левого конца, где полнота могла бы «упереться» в границу. Даже функция f(x)=x на (0;1) — ограничена, но не достигает ни sup=1, ни inf=0 ни в одной точке интервала: оба этих значения «исключены» открытостью концов. На замкнутом же [0;1] та же функция достигает обоих: f(0)=0, f(1)=1.The function f(x)=1/x is continuous on the interval (0;1) (19.2), but unbounded on it (tending to +∞ as x→0+0, 16.4) — the Weierstrass theorem doesn't apply here precisely because (0;1) isn't a closed interval: it has no left endpoint where completeness could "bump up against" the boundary. Even the function f(x)=x on (0;1) — bounded, but attaining neither \sup=1 nor \inf=0 at any point of the interval: both values are "excluded" by the open endpoints. On the closed [0;1], the same function attains both: f(0)=0, f(1)=1.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(a)≠f(b), то для любого числа C, лежащего между f(a) и f(b), найдётся точка c∈[a;b] такая, что f(c)=C. В частности (частный случай при C=0), если f(a) и f(b) имеют разные знаки, то на (a;b) найдётся хотя бы один корень уравнения f(x)=0.If a function f(x) is continuous on a closed interval [a;b] and f(a)≠f(b), then for any number C lying between f(a) and f(b), there exists a point c∈[a;b] such that f(c)=C. In particular (the special case C=0), if f(a) and f(b) have opposite signs, then on (a;b) there's at least one root of the equation f(x)=0.
Эта теорема — формальный аналог интуиции «карандаш, не отрывающийся от бумаги» из 19.1, доведённой до логического предела: если линия начинается ниже уровня C и заканчивается выше него (или наоборот), а рисуется без отрыва карандаша, она обязана пересечь уровень C хотя бы один раз. Формальное доказательство опирается на ту же аксиому полноты ℝ (13.2), что и теорема Вейерштрасса: множество точек, где f(x)<C, ограничено сверху точкой b, у него есть точная верхняя грань c, и непрерывность f в этой точке c вынуждает f(c)=C — иначе супремум можно было бы либо увеличить, либо уменьшить, что противоречило бы его точности.This theorem is a formal analogue of the "pencil that never leaves the paper" intuition from 19.1, carried to its logical conclusion: if a line starts below the level C and ends above it (or vice versa), and is drawn without lifting the pencil, it must cross the level C at least once. The formal proof relies on the same completeness axiom of ℝ (13.2) as the Weierstrass theorem: the set of points where f(x)<C is bounded above by the point b, has a least upper bound c, and the continuity of f at that point c forces f(c)=C — otherwise the supremum could be either increased or decreased, contradicting its exactness.
Показать, что уравнение x³-3x+1=0 имеет корень на отрезке [0;1].Show that the equation x³-3x+1=0 has a root on the interval [0;1].
f(x)=x³-3x+1 — элементарная функция (многочлен), непрерывна на всей числовой прямой (19.4), в частности на [0;1]. Вычислим значения на концах: f(0)=0-0+1=1>0, f(1)=1-3+1=-1<0. Знаки противоположны — по теореме Больцано — Коши (частный случай C=0), на интервале (0;1) найдётся точка c, для которой f(c)=0.f(x)=x³-3x+1 is an elementary function (a polynomial), continuous on the entire real line (19.4), in particular on [0;1]. Compute the values at the endpoints: f(0)=0-0+1=1>0, f(1)=1-3+1=-1<0. The signs are opposite — by the Bolzano–Cauchy theorem (the special case C=0), there's a point c on the interval (0;1) for which f(c)=0.
Теорема гарантирует существование корня, но не указывает его точное значение и не говорит, сколько всего корней на этом отрезке (может быть несколько) — это чистый аналог теоремы Вейерштрасса из 15.4, которая тоже доказывала существование предела e, не вычисляя его. Найти c численно (например, делением отрезка пополам, используя эту же теорему рекурсивно) — отдельная вычислительная задача за рамками этого пункта.The theorem guarantees the root's existence but doesn't pin down its exact value or say how many roots there are on this interval in total (there could be several) — a pure analogue of the Weierstrass theorem from 15.4, which likewise proved the existence of the limit e without computing it. Finding c numerically (e.g., by repeated bisection, applying this same theorem recursively) is a separate computational task beyond this item.
Теорема о промежуточном значении формализует до боли очевидный факт: если утром температура на улице была -5°C, а вечером того же дня стала +10°C, то в какой-то момент между утром и вечером температура обязательно прошла через 0°C — не могла же она «перепрыгнуть» через ноль, не задев его, если менялась непрерывно (а физическая температура именно так и меняется — плавно, без телепортации, ровно как обсуждалось в 19.1 на примере роста человека). Строгость теоремы — именно в том, что эта очевидность доказывается формально и распространяется на любую непрерывную функцию, а не только на интуитивно понятные физические величины.The intermediate value theorem formalizes a painfully obvious fact: if the outdoor temperature was -5°C in the morning and became +10°C by evening of the same day, at some point between morning and evening the temperature must have passed through 0°C — it couldn't have "jumped over" zero without touching it, if it changed continuously (and physical temperature does change that way — smoothly, without teleporting, exactly as discussed in 19.1 with the example of a person's height). The theorem's rigor lies precisely in the fact that this obvious observation is proved formally and extended to any continuous function, not just intuitively obvious physical quantities.
Пример из жизни. Вы поднимаетесь на гору, и высота вашего положения h(t) в момент времени t меняется непрерывно (вы физически не можете телепортироваться). Если в начале маршрута ваша высота была 500 м, а на вершине — 2000 м, то для любой промежуточной высоты, скажем, 1200 м, был момент времени, когда вы находились ровно на этой высоте — даже если маршрут петлял, где-то поднимался быстрее, где-то медленнее, и вы понятия не имеете, в какой именно момент это произошло. Теорема не говорит «когда» (аналогично тому, как теорема Вейерштрасса в 15.4 не говорила «чему равно e» — только что предел существует) — она говорит только «был такой момент, и это неизбежно, раз высота менялась непрерывно от 500 до 2000».A real-life example. You're climbing a mountain, and your height h(t) at time t changes continuously (you physically can't teleport). If your height was 500 m at the start of the route and 2000 m at the summit, then for any intermediate height, say 1200 m, there was a moment when you were at exactly that height — even if the route zigzagged, climbed faster in places and slower in others, and you have no idea exactly when it happened. The theorem doesn't say "when" (just as the Weierstrass theorem in 15.4 didn't say "what e equals" — only that the limit exists) — it only says "such a moment existed, and inevitably so, given that the height changed continuously from 500 to 2000."
Рис. 66. Высота подъёма h(t) непрерывно меняется от 500 (в t=a) до 2000 (в t=b), петляя по пути. По теореме о промежуточном значении, для любого C между 500 и 2000 (например, 1200) существует хотя бы один момент c, где h(c)=C — на графике таких пересечений может быть даже несколько.Fig. 66. The climbing height h(t) changes continuously from 500 (at t=a) to 2000 (at t=b), zigzagging along the way. By the intermediate value theorem, for any C between 500 and 2000 (e.g., 1200), there's at least one moment c where h(c)=C — the graph may cross that level several times.
В Примере 19.4 теорема гарантирует хотя бы одну точку c, но не запрещает существование нескольких. Многочлен x³-3x+1 на самом деле имеет три различных вещественных корня, и на отрезке [0;1] находится ровно один из них — но чтобы узнать, что корень единственно именно на этом отрезке, а не только «хотя бы один», нужен дополнительный анализ (например, показать монотонность функции на этом отрезке через производную, §20, или сузить отрезок дальнейшим делением пополам). Сама теорема отвечает только на вопрос существования, не единственности.In Example 19.4, the theorem guarantees at least one point c, but doesn't rule out several. The polynomial x³-3x+1 actually has three distinct real roots, and exactly one of them lies on [0;1] — but to know the root is unique specifically on this interval, not just "at least one," additional analysis is needed (e.g., showing the function is monotonic on this interval via the derivative, §20, or narrowing the interval by further bisection). The theorem itself only answers the existence question, not uniqueness.
Легко ошибочно решить, что для теоремы Больцано — Коши достаточно проверить знаки f(a) и f(b) — но это лишь необходимое условие для применения частного случая с C=0, а не замена требования непрерывности на всём отрезке [a;b], включая внутренние точки. Если функция имеет разрыв где-то внутри (a;b) (19.3), теорема неприменима, даже если знаки на концах противоположны: классический контрпример — f(x)=1/x при доопределении f(0) произвольным значением на отрезке, скажем, [-1;1] — f(-1)=-1<0, f(1)=1>0, знаки противоположны, но никакого корня f(x)=0 на этом отрезке нет вовсе (уравнение 1/x=0 решений не имеет) — теорема не работает именно потому, что в x=0 у функции разрыв второго рода (19.3).It's easy to mistakenly think checking the signs of f(a) and f(b) is enough for the Bolzano–Cauchy theorem — but that's only the necessary condition for applying the C=0 special case, not a substitute for continuity requirement on the entire interval [a;b], including interior points. If the function has a discontinuity somewhere inside (a;b) (19.3), the theorem doesn't apply, even if the endpoint signs are opposite: a classic counterexample — f(x)=1/x, extended with an arbitrary value at f(0), on the interval [-1;1] — f(-1)=-1<0, f(1)=1>0, opposite signs, but there's no root of f(x)=0 on this interval at all (the equation 1/x=0 has no solutions) — the theorem fails precisely because f has a discontinuity of the second kind at x=0 (19.3).
источникsource
Свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема Вейерштрасса, теорема Больцано — Коши) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §19.5 «Свойства функций, непрерывных на отрезке», с. 149–150. Пример 19.4, связь с 13.2/14.3/15.4/19.2/20.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Properties of functions continuous on a closed interval (the Weierstrass theorem, the Bolzano–Cauchy theorem) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §19.5 "Properties of Functions Continuous on a Closed Interval," pp. 149–150. Example 19.4, the connection to 13.2/14.3/15.4/19.2/20.1, and the "Gotchas" section, are original additions.